Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas - Linha Elástica e Deslocamentos

ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTÁTICAS Linha elástica para calcular deslocamentos Prof Dr Vinnicius Dordenoni Pizzol INTRODUÇÃO Em relação ao eixo x ANTES DA APLICAÇÃO DA CARGA APÓS A APLICAÇÃO DA CARGA Definese como flexão a solicitação que provoca ou tende a provocar curvatura nas peças O principal esforço solicitante responsável por esse comportamento é o Momento Fletor FLEXÃO DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO DE UM ELEMENTO RETO Quando um momento fletor é aplicado as linhas longitudinais da barra se tornam curvas e as transversais verticais continuam retas porém sofrem rotação Considere uma barra reta de seção transversal constante SUPERFÍCIE NEUTRA Por consequência entre essas duas regiões deve existir uma superfície denominada superfície neutra na qual não ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras longitudinais do material O comportamento de qualquer barra deformável sujeita a um momento fletor 1 Alongamento do material na parte inferior da barra Tração 2 Aproximação do material na porção superior da barra Compressão DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO DE UM ELEMENTO RETO Os deslocamentos exagerados são inaceitáveis acima de limites estabelecidos para o perfeito funcionamento da estrutura As estruturas devem ser dimensionadas para que isso não aconteça Deslocamentos decorrentes das deformações de uma barra DESLOCAMENTOS NUMA BARRA FLETIDA A linha tracejada indica numa escala ampliada o aspecto do seu eixo deformado em decorrência do carregamento A figura mostra uma viga reta AB sobre dois apoios isostática representada como usual por seu eixo submetida a um carregamento transversal LINHA ELÁSTICA Denominase LINHA ELÁSTICA a configuração do eixo deformado da viga O valor genérico de φ na seção da abscissa x pode definirse como o ângulo formado pela tangente geométrica à curva da linha elástica naquele ponto com direção do eixo inicial Sendo assim a definição geométrica da derivada de uma curva qualquer fornece dydx tgφ Por serem muito pequenos é usual e aceitável adotar na prática os deslocamentos angulares iguais a dydx φ PREMISSAS 1 O eixo longitudinal x que se encontra no interior da superfície neutra não sofre nenhuma mudança no comprimento apenas tornase uma curva 2 Todas as seções transversais da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal durante a deformação 3 Qualquer deformação da seção transversal dentro de seu próprio plano será desprezada OBSERVAÇÕES Semelhança de triângulos FÓRMULA DA FLEXÃO Positivoconvenção FÓRMULA DA FLEXÃO Negativocompressão FÓRMULA DA FLEXÃO Onde σmax tensão normal máxima no elemento que ocorre em um ponto na área da seção transversal mais afastado do eixo neutro M momento interno resultante determinado pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio e calculado em torno do eixo neutro da seção transversal I momento de inércia da área da seção transversal calculada em torno do eixo neutro c distância perpendicular do eixo neutro a um ponto mais afastado do eixo neutro onde σmax age y distância perpendicular do eixo neutro a um ponto qualquer considerado onde σ age A linha elástica é causada principalmente pelo momento fletor mas não exclusivamente por ele Para o efeito do momento as seções transversais de uma barra passam a ser perpendiculares ao novo eixo ou seja normais à linha elástica Assim sendo θ a rotação de uma seção em particular e φ o deslocamento angular da linha elástica naquela seção ângulo da tangente à curva com a direção do eixo inicial temse θ φ A flecha y é apenas uma das componentes do deslocamento que ocorre em cada ponto da viga Embora nas barras retas seja a principal e superior à outra que tem a direção do próprio eixo da barra e denominase deslocamento longitudinal A figura mostra um elemento do eixo da barra dx em duas posições Situação inicial E após o deslocamento angular φ O deslocamento longitudinal du é dado por du dx1 cosφ LINHA ELÁSTICA DE BARRAS RETAS Representação de um trecho da barra fletida onde O eixo Ox coincide com o eixo reto inicial O eixo Oy está direcionado para o lado da barra após a sua flexão com o intuito de obterem valores positivos para as flechas y O centro da curvatura relativo às seções consideradas está representado por C O raio da curvatura corresponde a CA ou R LINHA ELÁSTICA DE BARRAS RETAS AB arco do eixo deformado AB ds 1 ε arco deformado em uma fibra genérica y distância da fibra genérica ao eixo deformado da barra O ângulo central dφ de acordo com a definição de um ângulo medido em radianos dφ ds R ds 1 ε R z LINHA ELÁSTICA DE BARRAS RETAS Considerando as diferenças entre os numeradores e entre os denominadores das duas frações temse dφ ds ds 1ε R R z dφ εz ds O arco ds da linha elástica pode ser confundido com a sua projeção sobre o eixo x para os materiais que deformam pouco portanto Se ds dx dφ εz dx dφ dx ε z 1 LINHA ELÁSTICA DE BARRAS RETAS De acordo com a Lei de Hooke σ E ε ε σ E 2 Além disso admitindose tratar de flexão normal simples as tensões são dadas por σ M z I 3 Sendo z distância entre o eixo da barra e a fibra genérica considerada Substituindo as equações 2 e 3 na equação 1 dφ dx ε z dφ dx σ E z dφ dx M z I E z dφ dx M EI Retomando a definição da derivada de um curva os deslocamentos angulares são iguais a dy dx φ Derivandose ambos os membros d²y dx² dφ dx M EI LINHA ELÁSTICA DE BARRAS RETAS Voltando a expressão simplificada do raio de curvatura R da linha elástica decorrente da própria definição de um ângulo medido em radianos dφ dsR E novamente considerando que o arco ds da linha elástica pode ser confundido com a sua projeção sobre o eixo x para os materiais que deformam pouco Ou seja ds dx dφ dxR dφdx 1R Sendo dφdx MEI subst em 4 R EIM INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIL DA LINHA ELÁSTICA CONVENÇÃO DE SINAIS Deslocamento y x Rotação ou inclinação φx Sentido horário da linha horizontal à linha elástica considerando o eixo y para baixo EQUAÇÕES DIFERENCIAIS POR INTEGRAÇÃO DIRETA Exemplo Exemplo 1 Determinar a equação da linha elástica da viga a seguir bem como a sua flecha máxima f que ocorre no meio do vão devido a simetria Calcule também as rotações nos apoios φA e φB Reações nos apoios da viga isostática Solução Esforço Solicitante Interno ESI Momento fletor Solução A equação diferencial da linha elástica cuja configuração mostrase em linha tracejada será Solução Equação da rotação Equação da flecha Sinal negativo Devido a orientação do eixo y para baixo Condições de contorno Solução Solução Substituindo as constantes nas equações da flecha y e da rotação φ Para C2 0 C1 pL3 24 Rotação dydx φ 1EI pL2 x22 px36 C1 φ 1EI pLx24 px36 pL324 φ p24EI L3 6Lx2 4x3 Flecha y 1EI pL2 x36 px424 C1x C2 y 1EI pLx312 px424 pL324 x 0 y p24EI 2Lx3 x4 L3x Por meio das expressões é possível obter as rotações e flechas em qualquer seção da viga Solução O sinal negativo corresponde ao sentido contrário do giro que movimenta o elemento para a esquerda Exemplo 2 Calcule o deslocamento vertical em C e em D após encontrar a equação da linha elástica para a viga biapoiada submetida a carga concentrada conforme mostra a figura abaixo Considere as seções transversais de inércia EI2500 kNm2 constante ao longo de todo o comprimento da viga Reações nos apoios da viga isostática Solução Esforço Solicitante Interno ESI Momento fletor Solução Esforço Solicitante Interno ESI Momento fletor Solução A equação diferencial da linha elástica cuja configuração mostrase em linha tracejada será Solução Equação da rotação Equação da flecha Sinal negativo Devido a orientação do eixo y para baixo A equação diferencial da linha elástica cuja configuração mostrase em linha tracejada será Solução Equação da rotação Equação da flecha Sinal negativo Devido a orientação do eixo y para baixo Condições de contorno Solução Condições de contorno 1º e de continuidade 2º Solução Substituindo as constantes nas equações da flecha y1 e y2 referente aos dois trechos Solução Por meio das expressões é possível obter as rotações e flechas em qualquer seção da viga Para obter o deslocamento vertical em C Solução O sinal negativo corresponde ao sentido para cima Sendo EI2500 kNm2 Para obter o deslocamento vertical em D Solução O sinal positivo corresponde ao sentido para baixo Sendo EI2500 kNm2 Exemplo 3 Para a estrutura ilustrada na figura a seguir determine o valor da flecha máxima e o seu ponto de ocorrência vinniciuspizzolprofunibhbr Dúvidas