A Integral Indefinida e as Regras de Integração

A INTEGRAL INDEFINIDA E AS REGRAS DE INTEGRAÇÃO Felipe Pereira Gomes A integral indefinida e as regras de integração 2 1 A INTEGRAL INDEFINIDA E AS REGRAS DE INTEGRAÇÃO Olá alunoa UNIFACEAR Seja muito bem vindoa a essa aula Nela vamos estudar um dos conceitos fundamentais da Matemática a integral indefinida Veremos o que é uma integral indefinida e suas principais propriedades Além disto conheceremos algumas das técnicas de integração como a regra da potência as fórmulas básicas de integração e também o método da substituição de variável Vamos lá 11 A INTEGRAL INDEFINIDA Um dos principais conceitos da Matemática é o conceito de integral Presente em importantes áreas como engenharia estatística e ciências o estudo das integrais surgiu da necessidade de se calcular a área de uma região sob uma curva no plano cartesiano As integrais são utilizadas para o cálculo de volumes comprimento de linhas curvas probabilidades entre outras aplicações Vamos iniciar nossos estudos sobre esse conteúdo a partir das integrais indefinidas Primeiramente vamos entender o conceito de função primitiva de uma função Uma função 𝐹𝑥 é classificada como uma primitiva de uma função 𝑓𝑥 em um determinado intervalo 𝐼 se para todo 𝑥 𝐼 temos que 𝐹𝑥 𝑓𝑥 A primitiva de uma função 𝑓𝑥 também é chamada de antiderivada da função 𝑓 Note que por essa definição que acabamos de estudar o processo de busca por uma função primitiva é o processo inverso da derivação Para entendermos melhor essa definição vejamos alguns exemplos Exemplo 1 A função 𝐹𝑥 𝑥3 3 é uma primitiva de 𝑓𝑥 𝑥2 em ℝ pois para todo 𝑥 ℝ temos que 𝐹𝑥 𝑥3 3 𝑥2 Repare que para toda constante 𝐶 com 𝐶 ℝ a função 𝐺𝑥 𝑥3 3 𝐶 também é uma primitiva da função 𝑓𝑥 pois pelas regras de derivação a derivada de uma constante é igual a zero A integral indefinida e as regras de integração 3 Exemplo 2 A função 𝐹𝑥 3𝑥2 𝐶 é uma primitiva de 𝑓𝑥 6𝑥 em ℝ pois para todo 𝑥 ℝ temos que 𝐹𝑥 3𝑥2 𝐶 6𝑥 Exemplo 3 A função 𝐹𝑥 9𝑥2 𝐶 é uma primitiva de 𝑓𝑥 3𝑥3 em ℝ pois para todo 𝑥 ℝ temos que 𝐹𝑥 9𝑥2 𝐶 3𝑥3 Pelos exemplos ilustrados anteriormente vemos que sendo 𝐹𝑥 uma primitiva de 𝑓 em um intervalo 𝐼 então para toda constante real 𝐶 a função 𝐹𝑥 𝐶 também é uma primitiva de 𝑓 Uma importante propriedade do estudo das derivadas afirma que se duas funções têm derivadas iguais em um certo intervalo elas diferem por uma constante Desse modo as funções primitivas de 𝑓 no intervalo 𝐼 assumem a forma 𝐹𝑥 𝐶 sendo 𝐶 uma constante logo definimos que 𝑦 𝐹𝑥 𝐶 com 𝐶 constante é a família das primitivas de 𝑓 em 𝐼 Para representar a família de primitivas de 𝑓 utilizamos a notação 𝑓𝑥 𝑑𝑥 Portanto 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝐶 Nesta notação adotada a função 𝑓𝑥 é chamada de integrando Uma primitiva de 𝑓 recebe o nome de integral indefinida de 𝑓 desta forma é comum referirse a 𝑓𝑥 𝑑𝑥 como sendo a integral indefinida de 𝑓 A constante 𝐶 é conhecida como constante de integração Vejamos alguns exemplos de cálculo de integrais indefinidas utilizando a ideia de antiderivada Exemplo 4 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 𝐶 pois 𝑥2 2 𝐶 𝑥 Exemplo 5 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 𝐶 pois 𝑥2 2𝑥 Exemplo 6 4𝑥3 𝑑𝑥 𝑥4 𝐶 pois 𝑥4 4𝑥3 Agora que já conhecemos o conceito de integral indefinida e vimos o processo de cálculo através da antiderivada vejamos as principais propriedades das integrais indefinidas A integral indefinida e as regras de integração 4 12 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS Vamos agora listar as principais propriedades que envolvem o cálculo das integrais indefinidas como o cálculo da integral das funções constantes a integral da função nula uma constante que multiplica uma função além da soma e diferença de integrais Propriedade 1 𝑎 𝑑𝑥 𝑎𝑥 𝐶 onde 𝑎 é um número real com 𝑎 0 Por exemplo 2 𝑑𝑥 2𝑥 𝐶 Propriedade 2 0 𝑑𝑥 𝐶 Propriedade 3 𝑘𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑘 𝑓𝑥 𝑑𝑥 sendo 𝑘 uma constante real com 𝑘 0 Por exemplo 3𝑥 6 𝑑𝑥 3𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝑥 2 𝑑𝑥 Propriedade 4 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 Por exemplo 𝑥2 3𝑥 4 𝑑𝑥 𝑥² 𝑑𝑥 3𝑥 𝑑𝑥 4 𝑑𝑥 Propriedade 5 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 Por exemplo 5𝑥3 𝑑𝑥 5𝑥3𝑑𝑥 Concluídos os nossos estudos sobre as principais propriedades das integrais indefinidas vejamos agora algumas técnicas de integração que nos ajudarão a encontrar a família de primitivas de funções mais complexas 13 REGRAS DE INTEGRAÇÃO Vamos agora estudar as principais regras de integração A partir delas será possível calcular integrais indefinidas de modo mais prático e mais rápido em relação ao processo de antiderivação que conhecemos no início desta aula Iniciaremos pela regra da potência para integrais A integral indefinida e as regras de integração 5 131 REGRA DA POTÊNCIA PARA INTEGRAIS A regra da potência para o cálculo de integrais é aplicada às funções que assumem o seguinte formato 𝑓𝑥 𝑥𝛼 em que 𝛼 ℚ 𝛼 1 Para essas funções utilizamos a seguinte regra 𝑥𝛼𝑑𝑥 𝑥𝛼1 𝛼 1 𝐶 Vejamos alguns exemplos de aplicação desta regra de integração Exemplo 7 𝑥3𝑑𝑥 Para 𝛼 3 temos 𝑥3𝑑𝑥 𝑥31 3 1 𝐶 𝑥4 4 𝐶 Exemplo 8 1 𝑥2 𝑑𝑥 Pelas regras da operação de potenciação temos que 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 Logo para 𝛼 2 temos 𝑥2𝑑𝑥 𝑥21 2 1 𝐶 𝑥1 1 𝐶 1 𝑥 𝐶 Exemplo 9 𝑥 𝑑𝑥 Pelas regras da operação de radiciação temos que 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1 2 𝑑𝑥 Logo para 𝛼 1 2 temos 𝑥 1 2 𝑑𝑥 𝑥 1 21 1 2 1 𝐶 𝑥 3 2 3 2 𝐶 2𝑥 3 2 3 𝐶 2𝑥3 3 𝐶 A integral indefinida e as regras de integração 6 O método de integração para funções potência auxilia o cálculo direto e simples das integrais indefinidas para funções que assumem esse formato Para funções que possuem outras formas existem outras técnicas que estudaremos ao decorrer de nossas aulas porém para várias funções suas respectivas integrais são tabeladas ou seja existem fórmulas prontas que fornecem o método a ser utilizado para determinar as integrais indefinidas Vejamos agora quais são as principais fórmulas para integrais indefinidas 132 FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DE INTEGRAIS INDEFINIDAS Como vimos anteriormente para diversas funções existem fórmulas para o cálculo direto de suas respectivas integrais indefinidas Vejamos quais são essas funções e suas respectivas fórmulas Tabela 1 Fórmulas para o cálculo de integrais indefinidas A integral indefinida e as regras de integração 7 Fonte THOMAS 2002 p 319 Vejamos alguns exemplos de utilização das fórmulas para o cálculo de integrais indefinidas Exemplo 10 3𝑥 𝑑𝑥 Pela fórmula de número 13 presente na Tabela 1 temos que 𝑎𝑥𝑑𝑥 1 𝑙𝑛 𝑎 𝑎𝑥 𝐶 portanto A integral indefinida e as regras de integração 8 3𝑥𝑑𝑥 1 ln3 3𝑥 𝐶 Exemplo 11 𝑒2𝑥𝑑𝑥 Pela fórmula de número 8 presente na Tabela 1 temos que 𝑒𝑘𝑥𝑑𝑥 1 𝑘 𝑒𝑘𝑥 𝐶 portanto 𝑒2𝑥𝑑𝑥 1 2 𝑒2𝑥 𝐶 Exemplo 12 cos 3𝑥𝑑𝑥 Pela fórmula de número 3 presente na Tabela 1 temos que cos 𝑘𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 3 𝐶 portanto cos 3𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 3 𝐶 Exemplo 13 2 sen x𝑑𝑥 Primeiramente utilizando a propriedade da soma de integrais temos que 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Pela fórmula de número 1 caso especial presente na Tabela 1 temos que c 𝑑𝑥 𝑐𝑥 𝐶 portanto 2 𝑑𝑥 2𝑥 𝐶 Por outro lado pela fórmula de número 2 da Tabela 1 temos que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 cos 𝑥 𝐶 Assim sendo 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 2𝑥 cos 𝑥 𝐶 A integral indefinida e as regras de integração 9 Como você pode perceber pela Tabela 1 existem diversas funções cuja integral indefinida pode ser calculada de forma imediata porém há casos de funções que não se encaixam em nenhuma dessas formas Para essas funções existem outras técnicas de integração que serão apresentadas nos próximos momentos A primeira técnica que você irá estudar é a integração por substituição 133 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO O método de integração por substituição também conhecido como o método da troca de variável permite a mudança da variável da função que está sendo integrada para que seja possível ajustála à forma de uma função cuja integral é dada por uma das fórmulas básicas já conhecida Este processo de integração é semelhante ao processo da regra da cadeia para derivação lembrando que a regra da cadeia é aplicada para o cálculo de derivada de uma função composta e é aplicado para o cálculo de integrais indefinidas de funções que assumem o seguinte formato 𝑓𝑔𝑥𝑔𝑥 𝑑𝑥 Quando 𝑓 e 𝑔 são funções contínuas Para demonstrar esse processo de integração tome duas funções 𝑓𝑥 e 𝐹𝑥 tal que 𝐹𝑥 𝑓𝑥 Suponha agora a existência de outra função 𝑔𝑥 derivável cuja imagem está contida no domínio de 𝐹 sendo assim existe a função composta 𝐹𝑔𝑥 Aplicando a regra da cadeia para calcular a derivada dessa função composta obtémse 𝐹𝑔𝑥 𝐹𝑔𝑥 𝑔𝑥 Com isto concluímos que a função 𝐹𝑔𝑥 é uma primitiva de 𝑓𝑔𝑥 𝑔𝑥 logo 𝑓𝑔𝑥𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝐹𝑔𝑥 𝐶 A integral indefinida e as regras de integração 10 Se substituir 𝑢 𝑔𝑥 e 𝑑𝑢 𝑔𝑥𝑑𝑥 obtémse 𝑓𝑢 𝑑𝑢 𝐹𝑢 𝐶 Note que por esse processo você pode trocar a variável de uma função de modo a reescrevêla de uma maneira em que a integral é obtida através de uma das fórmulas básicas basta realizar uma escolha conveniente para uma função 𝑢 𝑔𝑥 Veja alguns exemplos de aplicação desse método de integração Exemplo 14 Calcule 𝑥 14 𝑑𝑥 Façamos a seguinte troca de variável 𝑢 𝑥 1 Derivando em ambos os membros essa igualdade temse 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Reescrevendo a integral original em termos da variável 𝑢 temos 𝑥 14 𝑑𝑥 𝑢4 𝑑𝑢 Pela regra da potência para integrais sabemos que 𝑢4 𝑑𝑢 𝑢5 5 𝐶 Agora retornando para a variável original 𝑥 temos 𝑥 14 𝑑𝑥 𝑥 15 5 𝐶 Exemplo 15 Calcule 3𝑥2𝑒𝑥3 𝑑𝑥 Façamos a seguinte troca de variável 𝑢 𝑥3 Derivando em ambos os membros essa igualdade temse 𝑑𝑢 3𝑥2𝑑𝑥 Reescrevendo a integral original em termos da variável 𝑢 temos 3𝑥2𝑒𝑥3 𝑑𝑥 𝑒𝑢𝑑𝑢 A integral indefinida e as regras de integração 11 Pela fórmula 8 da Tabela 1 com as fórmulas para cálculo de integrais indefinidas sabemos que 𝑒𝑢 𝑑𝑢 𝑒𝑢 𝐶 Agora retornando para a variável original 𝑥 temos 3𝑥2𝑒𝑥3 𝑑𝑥 𝑒𝑥3 𝐶 Exemplo 16 Calcule 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥3 𝑑𝑥 Para essa integral façamos a seguinte substituição de variável 𝑢 𝑥3 Derivando em ambos os membros essa igualdade temse 𝑑𝑢 3𝑥2𝑑𝑥 Reescrevendo a integral original em termos da variável 𝑢 temos 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥3 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑢 3 𝑑𝑢 Repare que pela etapa da integração 𝑑𝑢 3𝑥2𝑑𝑥 e na integral original não existe a constante 3 multiplicando a função por isso para que seja possível reescrevêla com o formato da fórmula 2 da Tabela 1 devemos dividir por 3 ou também multiplicála por 1 3 desta forma a integral em termos de 𝑢 é 1 3 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢 Pela fórmula 2 da Tabela 1 com as fórmulas para cálculo de integrais indefinidas sabemos que 1 3 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 1 3 cos𝑢 𝐶 Agora retornando para a variável original 𝑥 temos 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥3𝑑𝑥 1 3 cos 𝑥3 𝐶 A integral indefinida e as regras de integração 12 Um caso especial de aplicação do método de integração por substituição de variável é o da integral 1 𝑢 𝑑𝑢 ln𝑢 𝐶 Presente no item 9 da Tabela 1 Veja alguns exemplos de aplicação do método de troca de variável reescrevendo as funções de acordo com o formato acima Exemplo 17 Calcule 2𝑥 𝑥25 𝑑𝑥 Para a integral deste exemplo façamos a mudança de variável 𝑢 𝑥2 5 Agora derivando em ambos os membros essa igualdade temse 𝑑𝑢 2𝑥 𝑑𝑥 Em seguida reescrevendo a integral original em termos da variável 𝑢 obtémse 2𝑥 𝑥2 5 𝑑𝑥 1 𝑢 𝑑𝑢 Pelo item 9 da Tabela 1 com as fórmulas para cálculo de integrais indefinidas sabemos que 1 𝑢 𝑑𝑢 ln 𝑢 𝐶 Agora retornando para a variável original 𝑥 temos 2𝑥 𝑥2 5 𝑑𝑥 ln 𝑥2 5 𝐶 Exemplo 18 Calcule 3𝑥2 2𝑥36 𝑑𝑥 Para esta integral utilizandose das propriedades das integrais indefinidas podese colocar a constante 3 multiplicando fora da integral 3𝑥2 2𝑥3 6 𝑑𝑥 3 𝑥2 2𝑥3 6 𝑑𝑥 A integral indefinida e as regras de integração 13 Em seguida façamos a mudança de variável 𝑢 2𝑥3 6 Agora derivando em ambos os membros essa igualdade temse 𝑑𝑢 6𝑥2 𝑑𝑥 Reescrevendo a integral original em termos da variável 𝑢 obtémse 3 𝑥2 2𝑥3 6 𝑑𝑥 3 1 6 1 𝑢 𝑑𝑢 3 1 6 1 𝑢 𝑑𝑢 1 2 1 𝑢 𝑑𝑢 Pelo item 9 da Tabela 1 com as fórmulas para cálculo de integrais indefinidas sabemos que 1 𝑢 𝑑𝑢 ln 𝑢 𝐶 Agora retornando para a variável original 𝑥 temos 3𝑥2 2𝑥3 6 𝑑𝑥 1 2 ln 2𝑥3 6 𝐶 Exemplo 19 Calcule 𝑥 𝑥21 𝑑𝑥 Para esta integral façamos a mudança de variável 𝑢 𝑥2 1 Agora derivando em ambos os membros essa igualdade temse 𝑑𝑢 2𝑥 𝑑𝑥 Reescrevendo a integral original em termos da variável 𝑢 obtémse 𝑥 𝑥2 1 𝑑𝑥 1 2 1 𝑢 𝑑𝑢 1 2 1 𝑢 𝑑𝑢 Pelo item 9 da Tabela 1 com as fórmulas para cálculo de integrais indefinidas sabemos que 1 𝑢 𝑑𝑢 ln 𝑢 𝐶 Agora retornando para a variável original 𝑥 temos 𝑥 𝑥2 1 𝑑𝑥 1 2 ln 𝑥2 1 𝐶 A integral indefinida e as regras de integração 14 Concluídos os estudos sobre o método da substituição para o cálculo de integrais indefinidas vamos agora revisar os conteúdos vistos nesta aula 14 RESUMO Nesta aula iniciamos os nossos estudos sobre um dos principais conceitos da Matemática a integral indefinida Vimos que este é um dos conteúdos do cálculo que mais apresenta aplicações em diversas áreas Começamos com a ideia de primitiva de uma função para em seguida entendermos o cálculo de uma integral indefinida como sendo um processo contrário ao de derivação Em seguida definimos formalmente o que é uma integral indefinida Vimos suas principais propriedades com exemplos de uso E por fim estudamos alguns dos métodos de integração como a regra da potência o uso de fórmulas para o cálculo de integrais indefinidas e também o método de integração por substituição de variável Bons estudos A integral indefinida e as regras de integração 15 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FLEMMING Diva M GONÇALVES Mirian B Cálculo A funções limite derivação integração livro eletrônico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 FACCIN Giovani Manzeppi Elementos de cálculo diferencial e integral livro eletrônico Curitiba Intersaberes 2015 LEITE Álvaro Emílio CASTANHEIRA Nelson Pereira Tópicos de cálculo I livro eletrônico Curitiba Intersaberes 2017 THOMAS George B WEIR Maurice D HASS Joel Cálculo livro eletrônico V 1 10ª edição São Paulo Pearson Education do Brasil 2002 THOMAS George B WEIR Maurice D HASS Joel Cálculo livro eletrônico V 1 12ª edição São Paulo Pearson Education do Brasil 2012