Elementos do Cálculo 2: Conjuntos Numéricos e Propriedades da Álgebra

Elementos do Cálculo 2 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E PROPRIEDADES DA ÁLGEBRA Olá aluno Unifacear nesse módulo vamos estudar os conjuntos numéricos e suas representações a reta numérica a representação de intervalos e algumas propriedades importantes da álgebra como polinômios e fatoração além de equações e inequações Vamos lá 11 CONJUNTOS NUMÉRICOS O primeiro conteúdo desse módulo são os conjuntos numéricos mas antes de iniciarmos a apresentação dos principais conjuntos numéricos vamos juntos relembrar o que é um conjunto Em Matemática um conjunto é uma coleção de elementos Esses elementos podem ser números letras símbolos palavras entre outras coisas mas também existem aqueles conjuntos que não apresentam nenhum elemento a eles damos o nome de conjunto vazio Os conjuntos são nomeados por letras maiúsculas do nosso alfabeto seus elementos são escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula caso um dos elementos seja um número decimal para que não haja confusão entre a vírgula do numeral e a vírgula utilizada para a separação de elementos Vejamos alguns exemplos de conjuntos 𝐴 1 2 3 4 5 6 𝐵 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝐶 3 2 1 0 1 2 3 O conjunto vazio é representado de duas formas 𝐷 ou 𝐷 Um elemento pode ou não pertencer a um determinado conjunto Essa relação é chamada de relação de pertinência Quando um elemento está presente entre os elementos de um conjunto então dizemos que ele pertence ao conjunto Caso contrário se ele não faz parte dos elementos do conjunto então afirmamos que esse elemento não Elementos do Cálculo 3 pertence ao conjunto Vamos pegar como exemplo os conjuntos acima que acabamos de estudar Dentre os elementos do conjunto 𝐴 temos o número 4 então podemos dizer que o número 4 pertence ao conjunto 𝐴 ou na representação por símbolos 4 𝐴 Já no conjunto 𝐵 a letra ℎ não faz parte dos seus elementos então afirmamos que ℎ não pertence ao conjunto 𝐵 ou ainda ℎ 𝐵 Agora que já relembramos um pouco sobre a teoria dos conjuntos vamos iniciar nossos estudos sobre os conjuntos numéricos O primeiro conjunto numérico que vamos estudar é o conjunto dos Números Naturais Esse conjunto é representado pela letra ℕ e seus elementos são todos os números inteiros positivos ℕ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Há situações em que o conjunto dos números naturais não admite o 0 zero entre seus elementos dessa forma para representar esse caso utilizamos um asterisco ao lado do símbolo que representa o conjunto veja só ℕ 1 2 3 4 5 6 7 8 O próximo conjunto que vamos estudar é o conjunto dos Números Inteiros representado pelo símbolo ℤ Esse conjunto pode ser interpretado como uma expansão do conjunto dos números naturais pois além de conter todos os números inteiros positivos ele possui os números negativos também ℤ 3 2 1 0 1 2 3 Em seguida temos o conjunto dos Números Racionais simbolizado por ℚ Diferente dos conjuntos que estudamos até aqui a definição do conjunto dos números racionais é um pouco mais complexa Em resumo os elementos dos conjuntos racionais são todos os números que podem ser escritos na forma de fração Em outras palavras um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma razão 𝑎𝑏 em que 𝑎 e 𝑏 são dois números inteiros e 𝑏 0 Os números que são escritos em forma de fração são Elementos do Cálculo 4 Todos os números inteiros Números decimais finitos ou seja aqueles que tem um número finito de casas decimais Dízimas periódicas aqueles números decimais em que a partir de uma casa decimal um número ou uma sequência de números se repete São exemplos de números racionais 4 3 0617 1 4 036363636 Agora vamos estudar o conjunto dos Números Irracionais representado pelo símbolo 𝕀 Em tese os números irracionais são os números que não são racionais Sendo assim consideramos como números irracionais as dízimas não periódicas e as raízes quadradas não exatas por exemplo 2976543 3 17320508 𝜋 314159265 E por fim temos o conjunto dos Números Reais Representado pelo símbolo ℝ os números reais são todos os números que podem ser escritos na forma decimal ou seja é a união de todos os conjuntos citados anteriormente Então como exemplo podemos citar 7 0 1 2333 0145 1 8 Agora que já conhecemos todos os conjuntos numéricos e seus respectivos elementos precisamos organizar todos esses números de forma ordenada para isso vamos estudar agora a reta numérica 12 RETA NUMÉRICA E INTERVALOS Para representar os números reais de uma forma organizada e ordenada utilizamos a reta numérica também conhecida como reta real consiste em uma linha horizontal em que no centro temos a marcação do número zero representando a origem À direita da Elementos do Cálculo 5 origem estão os números positivos e à esquerda os números negativos A seguir temos uma representação da reta numérica Figura 1 Representação da reta numérica Fonte O autor Para melhor visualização costumase representar apenas os números inteiros na reta real mas é importante ressaltar que entre dois números presentes nela existem infinitos números como os números reais e irracionais O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado isto implica que podemos comparar dois números que não sejam iguais através de desigualdades afirmando que um número pode ser maior ou menor do que o outro Por exemplo sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais a comparação entre eles pode ser Tabela 1 Comparação entre dois números reais 𝑎 e 𝑏 Símbolo Leitura 𝑎 𝑏 𝑎 é 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 é 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑏 Fonte Adaptado de 1 Como estudamos anteriormente entre dois números da reta real existem outros infinitos números e precisamos de alguma forma representálos Para isso utilizamos a notação de intervalo Por exemplo para representarmos todos os números reais maiores do que 2 utilizamos a seguinte representação 𝑥 2 Por outro lado se quisermos representar todos os reais menores ou igual a 3 usamos a notação 𝑥 3 sendo 𝑥 um número real qualquer que satisfaça a condição pedida Quando queremos representar os números existentes entre dois extremos representamos da seguinte forma 𝑎 𝑥 𝑏 Já se quisermos incluir os dois extremos no conjunto representamos assim 𝑎 𝑥 𝑏 Esses tipos de intervalos são conhecidos como intervalos limitados Vejamos alguns exemplos Elementos do Cálculo 6 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 𝑒 9 0 𝑥 9 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 5 𝑒 8 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 5 𝑥 8 Quando o intervalo que representa um conjunto numérico contém os extremos dizemos que esse intervalo é um intervalo fechado Caso os extremos do intervalo não pertençam ao conjunto chamamos de intervalo aberto Existem quatro tipos de intervalos limitados que podemos ver na tabela abaixo sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais Tabela 2 Tipos de intervalos e suas notações Tipo de intervalo Notação Intervalo aberto 𝑥 ℝ 𝑎 𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 𝑏 Intervalo fechado 𝑥 ℝ 𝑎 𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda 𝑥 ℝ 𝑎 𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 ou 𝑎 𝑏 Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda 𝑥 ℝ 𝑎 𝑥 𝑏 𝑎 𝑏𝑜𝑢 𝑎 𝑏 Fonte Adaptado de 2 Todos os intervalos podem ser representados na reta numérica Vejamos alguns exemplos 1 𝑥 ℝ 3 𝑥 7 ou 37 A bolinha vazia indica que os extremos 3 e 7 não fazem parte do intervalo Elementos do Cálculo 7 2 𝑥 ℝ 4 𝑥 2 ou 42 A bolinha cheia indica que os extremos 4 e 2 pertencem ao intervalo 3 𝑥 ℝ 1 𝑥 6 ou 16 4 𝑥 ℝ 5 𝑥 9 ou 59 Aqui concluímos o conteúdo sobre conjuntos numéricos reta numérica e intervalos Agora vamos estudar um pouco sobre álgebra e suas propriedades 13 POLINÔMIOS E FATORAÇÃO Na álgebra utilizamos letras ou outros símbolos para representar números reais Denotamos por variável ou incógnita o símbolo que representa uma grandeza desconhecida por exemplo 𝑥 𝑦 𝑧 Chamamos de constante a um número ou símbolo que representa um número real específico por exemplo 2 3 𝜋 Quando envolvemos em uma mesma expressão variáveis constantes e operações matemáticas como adição subtração multiplicação divisão radiciação ou exponenciação temos uma expressão algébrica Um polinômio em 𝑥 é uma expressão que pode ser escrita na forma 𝑃𝑥 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑎𝑛1𝑥𝑛1 𝑎1𝑥 𝑎0 3 Elementos do Cálculo 8 Onde 𝑎𝑛 𝑎𝑛1 𝑎1 são números reais e são chamados de coeficientes do polinômio Já 𝑛 é um número natural e é conhecido como grau do polinômio Exemplos 1 𝑃𝑥 2𝑥3 5𝑥2 3𝑥 9 onde o grau do polinômio é 3 e seus coeficientes são 2 5 3 e 9 2 𝑄𝑥 2𝑥 onde o grau do polinômio é 1 e seu coeficiente é 2 3 𝑅𝑥 4 onde o grau do polinômio é zero e seu coeficiente é 4 Existem polinômios que recebem nomes especiais por exemplo o polinômio que apresenta um termo é chamado de monômio Aos polinômios que possuem dois termos são chamados de binômios e aos polinômios que têm três termos chamamos de trinômios Os polinômios podem ser adicionados ou subtraídos entre si basta adicionar ou subtrair os termos semelhantes Os termos que possuem mesma variável elevada a mesma potência são chamados de termos semelhantes Exemplo Seja 𝑃𝑥 2𝑥2 4 e 𝑄𝑥 3𝑥3 𝑥2 6𝑥 2 então 1 𝑃𝑥 𝑄𝑥 3𝑥3 2𝑥2 𝑥2 6𝑥 4 2 3𝑥3 𝑥2 6𝑥 2 2 𝑃𝑥 𝑄𝑥 3𝑥3 2𝑥2 𝑥2 6𝑥 4 2 3𝑥3 𝑥2 6𝑥 2 Para o produto entre polinômios utilizamos a propriedade distributiva por exemplo Seja 𝑃𝑥 2𝑥 5 e 𝑄𝑥 3𝑥 2 então 𝑃𝑥 𝑄𝑥 2𝑥 5 3𝑥 2 2𝑥3𝑥 2 53𝑥 2 2𝑥3𝑥 2𝑥2 53𝑥 52 6𝑥2 4𝑥 15𝑥 10 6𝑥2 11𝑥 10 Elementos do Cálculo 9 Polinômios mais extensos podem ser escritos em forma de produto a fim de simplificar a escrita a esse processo damos o nome de fatoração Um polinômio está completamente fatorado quando está escrito como o produto de dois ou mais polinômios irredutíveis ou seja na forma de polinômios que já não podem ser fatorados Por exemplo 𝑃𝑥 2𝑥2 7𝑥 3 2𝑥 1𝑥 3 Alguns produtos notáveis são úteis para fatorar os polinômios abaixo segue uma lista com os principais produtos notáveis para 𝑎 e 𝑏 números reais 1 Quadrado da soma 𝑎 𝑏2 𝑎2 2𝑎𝑏 𝑏² 2 Quadrado da diferença 𝑎 𝑏2 𝑎2 2𝑎𝑏 𝑏² 3 Diferença de quadrados 𝑎2 𝑏2 𝑎 𝑏𝑎 𝑏 4 Cubo da soma 𝑎 𝑏3 𝑎3 3𝑎2𝑏 3𝑎𝑏2 𝑏3 5 Cubo da diferença 𝑎 𝑏3 𝑎3 3𝑎2𝑏 3𝑎𝑏2 𝑏³ Outra técnica de fatoração muito útil é a colocação de um fator comum em evidência Para isso devemos encontrar um termo do polinômio que é comum a todos os outros Vejamos um exemplo 𝑃𝑥 4𝑥2 6𝑥 8 22𝑥2 3𝑥 4 Visto o conceito de polinômios vamos agora ao nosso último conteúdo do primeiro tópico equações e inequações Nesse conteúdo vamos aplicar as definições que estudamos até agora 14 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES Equação é uma igualdade entre duas expressões matemáticas em que há uma incógnita representando um valor real Resolver a equação significa encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira Elementos do Cálculo 10 O primeiro tipo de equação que vamos estudar são as equações lineares com uma variável também conhecidas como equações do primeiro grau Uma equação linear é aquela que assume a forma 𝑎𝑥 𝑏 0 onde 𝑎 e 𝑏 são números reais com 𝑏 0 Por exemplo 2𝑥 6 0 Uma equação linear possui exatamente uma solução Para encontrar a solução basta isolar a incógnita em um dos membros da equação para poder encontrar o seu valor Quando qualquer termo troca de membro na equação a sua operação se inverte por exemplo se em um membro da equação um número soma ao colocálo no outro membro ele passa a subtrair Se de um lado a incógnita multiplica então do outro lado ela divide e assim por diante Vamos ver agora alguns exemplos de resolução de equações lineares Exemplo 1 2𝑥 6 14 2𝑥 14 6 2𝑥 8 𝑥 8 2 𝑥 4 Para conferir se o resultado está correto basta substituir o número 4 no lugar da incógnita 𝑥 e conferir se torna a igualdade verdadeira 2𝑥 6 14 2 4 6 14 8 6 14 14 14 Exemplo 2 25𝑥 4 12 8 10𝑥 8 12 8 10𝑥 8 8 12 10𝑥 12 𝑥 12 10 6 5 Exemplo 3 𝑥 4 12 𝑥 12 4 𝑥 48 O segundo tipo de equação que vamos estudar são as equações do segundo grau também chamadas de equações quadráticas São as equações que assumem a seguinte Elementos do Cálculo 11 forma 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 0 onde 𝑎 𝑏 𝑐 são números reais e 𝑎 0 As equações quadráticas podem ter até duas soluções Existem diferentes métodos de resolução de equações quadráticas como podemos ver em 1 O mais conhecido é através da fórmula resolutiva também conhecida como fórmula de Bhaskara O uso da fórmula resolutiva se torna mais confiável pois a partir do início da resolução podemos verificar se existe solução para a equação e se existir quantas soluções terão A fórmula resolutiva é dada por 𝑥 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 com 𝑎 𝑏 𝑐 sendo os coeficientes da equação Vejamos alguns exemplos de resolução pela fórmula Exemplo 1 𝑥2 5𝑥 6 0 Os coeficientes da equação são 𝑎 1 𝑏 5 𝑒 𝑐 6 então 𝑥 5 52 4 1 6 2 1 𝑥 5 25 24 2 𝑥 5 1 2 𝑥 5 1 2 3 𝑥 51 2 2 Portanto as soluções para a equação 𝑥2 5𝑥 6 0 são 𝑥 2 e 𝑥 3 Exemplo 2 𝑥2 6𝑥 9 0 Os coeficientes da equação são 𝑎 1 𝑏 6 𝑒 𝑐 9 então Elementos do Cálculo 12 𝑥 6 62 4 1 9 2 1 𝑥 6 36 36 2 𝑥 6 0 2 𝑥 𝑥 6 0 2 3 Portanto a solução para a equação 𝑥2 6𝑥 9 0 é 𝑥 3 Exemplo 3 2𝑥2 4𝑥 10 0 Os coeficientes da equação são 𝑎 2 𝑏 4 𝑒 𝑐 10 então 𝑥 4 42 4 2 10 2 2 𝑥 4 16 80 4 𝑥 4 64 4 Portanto a equação 2𝑥2 4𝑥 10 0 não existe solução no conjunto dos números reais pois não existe a raiz quadrada de um número negativo Depois de estudarmos os principais tipos de equações e como encontrar suas soluções vamos ver agora as inequações Uma inequação apresenta uma desigualdade entre duas expressões matemáticas Solucionar uma inequação significa encontrar os valores da incógnita que satisfaça a desigualdade A solução de uma inequação é dada por um conjunto o qual chamamos de conjunto solução Vamos agora determinar os principais tipos de inequação e como determinar seus conjuntos soluções Uma inequação linear é aquela que assume uma das seguintes formas 𝑎𝑥 𝑏 0 𝑎𝑥 𝑏 0 𝑎𝑥 𝑏 0 𝑜𝑢 𝑎𝑥 𝑏 0 Elementos do Cálculo 13 com 𝑎 𝑏 números reais e 𝑎 0 Vejamos alguns exemplos de inequações lineares 1 2𝑥 6 0 2 6𝑥 8 0 3 𝑦 7 0 4 2𝑧 2 0 Para encontrar o conjunto solução de uma inequação linear basta seguir o mesmo procedimento para encontrar a solução de uma equação linear isolar a incógnita Por exemplo 1 Determine o conjunto solução da inequação 2𝑥 6 0 2𝑥 6 0 2𝑥 6 𝑥 6 2 𝑥 3 Portanto a solução pode ser escrita como 𝑆 𝑥 ℝ𝑥 3 ou 3 2 Encontre o conjunto solução da inequação 3𝑥 12 0 3𝑥 12 0 3𝑥 12 𝑥 12 3 𝑥 4 Portanto o conjunto solução da inequação é 𝑆 𝑥 ℝ𝑥 4 ou 4 As inequações quadráticas são aquelas que assumem uma das seguintes formas 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 0 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 0 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 0 𝑜𝑢 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 0 Com 𝑎 𝑏 𝑐 números reais com 𝑎 0 Elementos do Cálculo 14 Para resolver uma inequação quadrática primeiramente devemos encontrar a solução da equação quadrática correspondente se existir solução para depois podermos analisar o que é pedido e escrever o conjunto solução Por exemplo vamos determinar o conjunto solução da inequação 𝑥2 4𝑥 3 0 Para isso vamos encontrar a solução da equação 𝑥2 4𝑥 3 0 Os coeficientes da equação são 𝑎 1 𝑏 4 𝑒 𝑐 3 então 𝑥 4 42 4 1 3 2 1 𝑥 4 16 12 2 𝑥 4 4 2 𝑥 4 2 2 3 𝑥 42 2 1 Portanto as soluções para a equação 𝑥2 4𝑥 3 0 são 𝑥 1 e 𝑥 3 Agora conhecendo as soluções da equação para determinar o conjunto solução precisamos interpretar o gráfico da equação 𝑥2 4𝑥 3 0 Figura 2 Gráfico da equação 𝑥2 4𝑥 3 0 Fonte O autor 2020 Elementos do Cálculo 15 Queremos encontrar o conjunto solução da inequação 𝑥2 4𝑥 3 0 No gráfico acima estão marcadas as raízes da equação 𝑥2 4𝑥 3 0 que são 𝑥 1 e 𝑥 3 Note que a linha que compõe o gráfico está acima do eixo horizontal à esquerda de 1 e a direita de 3 ou seja os valores positivos maiores que zero ocorrem para 𝑥 1 e 𝑥 3 portanto a solução da inequação 𝑥2 4𝑥 3 0 é 𝑆 𝑥 ℝ 𝑥 1 𝑒 𝑥 3 ou 1 3 Outro exemplo vamos encontrar o conjunto solução da inequação quadrática 𝑥2 7𝑥 10 0 Primeiramente vamos então determinar a solução da equação 𝑥2 7𝑥 10 0 Os coeficientes da equação são 𝑎 1 𝑏 7 𝑒 𝑐 10 então 𝑥 7 72 4 1 10 2 1 𝑥 7 49 40 2 𝑥 7 9 2 𝑥 7 3 2 5 𝑥 73 2 2 Portanto as soluções para a equação 𝑥2 7𝑥 10 0 são 𝑥 2 e 𝑥 5 Tendo encontrado as soluções da equação para determinar as soluções da inequação vamos analisar o gráfico da equação 𝑥2 7𝑥 10 0 Elementos do Cálculo 16 Figura 3 Gráfico da equação 𝑥2 7𝑥 10 0 Fonte O autor 2020 O conjunto que buscamos é o conjunto solução da inequação 𝑥2 7𝑥 10 0 Analisando o gráfico da equação note que os valores negativos que se encontram abaixo do eixo horizontal estão entre os valores 2 e 5 que são as raízes da equação e como queremos valores menores ou igual a zero então as raízes entram na solução portanto o conjunto solução para a inequação 𝑥2 7𝑥 10 0 é é 𝑆 𝑥 ℝ 2 𝑥 5 ou 25 Para complementar esse material assista as videoaulas e leia o material complementar além de resolver o questionário proposto bons estudos Elementos do Cálculo 17 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1 DEMANA FD et al Précálculo São Paulo Addison Wesley 2009 2 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivação e integração 6ª edição revista e ampliada São Paulo Pearson Prentice HALL 2006 3 GIOVANNI J R et al 360 matemática fundamental uma nova abordagem 2ª edição Volume único São Paulo FTD 2015