A Soma de Riemann e a Integral Definida

A SOMA DE RIEMANN E A INTEGRAL DEFINIDA Felipe Pereira Gomes A soma de Riemann e a integral definida 2 1 A SOMA DE RIEMANN E A INTEGRAL DEFINIDA Olá alunoa UNIFACEAR Seja muito bem vindoa a essa aula Nela vamos estudar o que são as somas de Riemann e também as integrais definidas Veremos dois processos para estimar o valor da área presente entre a curva do gráfico de uma função e um dos eixos cartesianos em um determinado intervalo Com esta ideia vamos conhecer as integrais definidas E por fim estudaremos um novo processo de integração conhecido como integração por partes Vamos lá 11 ESTIMANDO ÁREAS Vamos iniciar nossos estudos desta aula sobre o processo de cálculo da área de uma região limitada pela curva gráfica de uma função e um dos eixos cartesianos dentro de um determinado intervalo Suponha que queremos calcular o valor da área entre a curva descrita no gráfico abaixo e o eixo 𝑥 no intervalo 310 Figura 1 Gráfico de uma função compreendida no intervalo 310 Fonte GOMES 2021 Observando a figura gerada pelo gráfico perceba que ela não possui formato semelhante a uma das figuras planas conhecidas da geometria euclidiana desta forma como determinar a área ocupada por ela Pois bem podemos adaptála a uma das formas conhecidas Para este processo vamos dividir este intervalo em 𝑛 subintervalos iguais A soma de Riemann e a integral definida 3 que denotaremos por Δ𝑥 Para exemplificar consideremos 𝑛 7 o que implica na partição deste intervalo em 7 subintervalos Na Figura 2 observamos as 7 divisões Figura 2 Área compreendida entre a curva e o eixo 𝑥 no intervalo 310 dividida em 7 retângulos Fonte GOMES 2021 Note que pela Figura 2 ao realizar a partição do intervalo em 7 subintervalos a área inicial foi dividia em 7 retângulos de base Δ𝑥 referente ao comprimento de cada intervalo e altura 𝑦 Da geometria plana para calcular a área de um retângulo basta multiplicar as medidas da base pela altura No caso dos retângulos que compõe o gráfico basta multiplicar Δ𝑥 por 𝑦 Somando a área destes 7 retângulos obtemos o valor aproximado da área do gráfico compreendida entre a curva e o eixo 𝑥 no intervalo 310 Ainda sobre a Figura 2 repare que sobrou uma parte de cada retângulo acima da linha que compõe o gráfico isto implica na diferença entre o valor aproximado calculado e o valor real da área Para diminuir este erro e encontrar uma aproximação melhor podemos aumentar o número de divisões no intervalo tornando o valor da base do retângulo tão pequeno o que implica numa diminuição do erro da estimativa Agora vamos utilizar uma outra ideia do cálculo afim de encontrar um valor igual ou muito próximo da área procurada Pensando no conceito de limite de uma função com 𝑛 tendendo ao infinito sendo 𝑛 o número de subintervalos a base de cada retângulo tenderá a zero e a soma das áreas dos retângulos tenderá para a área exata sob a curva como mostra a Figura 3 A soma de Riemann e a integral definida 4 Figura 3 Área total dividida em 𝑛 retângulos Fonte GOMES 2021 Agora que compreendemos como estimar a área compreendida entre o gráfico e o eixo em um determinado intervalo vamos definir o que é uma soma de Riemann conceito importante do cálculo de integral definida Iniciaremos este assunto definindo a partição de um intervalo 12 SOMA DE RIEMANN Como mencionado anteriormente para o início de nossos estudos sobre a soma de Riemann vamos conceituar a partição de um intervalo A partição de um intervalo 𝑃 é qualquer decomposição de um intervalo 𝑎 𝑏 em novos subintervalos que assumem a forma 𝑥0 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 Em que 𝑛 é um número inteiro e positivo e os números 𝑥𝑘 são 𝑎 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑏 Uma partição 𝑃 divide o intervalo 𝑎 𝑏 em 𝑛 subintervalos A soma de Riemann e a integral definida 5 A diferença entre os dois números que compõem cada subintervalo é representada por Δ𝑥 e recebe o nome de amplitude do intervalo sendo Δ𝑥 𝑥𝑛 𝑥𝑛1 Os valores de Δ𝑥 não são necessariamente iguais A maior amplitude do intervalo recebe o nome de norma da partição 𝑃 e é denotada por 𝑃 Os conceitos que acabamos de estudar serão importantes no entendimento do que é uma soma de Riemann a próxima definição que veremos Seja uma função 𝑓𝑥 definida em um intervalo 𝑎 𝑏 e seja 𝑃 uma partição qualquer deste intervalo A soma de Riemann 𝑅 da função 𝑓𝑥 é expressa por 𝑅 𝑓𝑤𝑘 𝛥𝑥𝑘 𝑛 𝑘1 Sendo 𝑤𝑘 um número pertencente ao subintervalo 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 e 𝑘 um número inteiro positivo que varia de 1 até 𝑛 sucessivamente Utilizando a soma de Riemann que acabamos de definir vamos buscar uma aproximação para uma área compreendida entre a linha que compõe o gráfico e o eixo 𝑥 em um intervalo 𝑎 𝑏 Anteriormente dividimos o intervalo 𝑎 𝑏 em 𝑛 subintervalos que é equivalente ao processo de realizar uma partição 𝑃 deste mesmo intervalo Em seguida dividimos a figura em retângulos de base Δ𝑥 amplitude de cada intervalo a norma da partição e altura 𝑦 que corresponde ao valor da função no ponto 𝑤𝑘 ou seja 𝑓𝑤𝑘 Calculamos a área de cada retângulo multiplicando a base pela altura ou seja Δ𝑥 𝑓𝑤𝑘 e por fim somamos a área de cada retângulo que é representado pela soma de Riemann Como buscamos uma estimativa muito próxima ao valor real da área procurada devemos dividir a figura no maior número de retângulos possíveis mas para que isso seja possível o valor da base de cada retângulo deve ser mínimo ou seja Δ𝑥 tende a zero Portanto a área desejada é o limite 𝐼 de uma soma de Riemann quando Δ𝑥 tende a zero Este limite 𝐼 é chamado de integral definida da função 𝑓𝑥 no intervalo 𝑎 𝑏 lim 𝑃0 𝑓𝑤𝑘 𝛥𝑥𝑘 𝐼 𝑛 𝑘1 A soma de Riemann e a integral definida 6 13 A INTEGRAL DEFINIDA E O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO A integral definida de uma função 𝑓𝑥 definida em um intervalo 𝑎 𝑏 é representada por 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 A leitura é feita como integral de 𝑎 até 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 𝑑𝑥 O número real 𝑎 é o limite inferior de integração e o número real 𝑏 é o limite superior de integração O teorema fundamental do cálculo desenvolvido por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz estabelece a relação entre derivadas e integrais definidas Vamos enunciar este teorema Teorema Fundamental do Cálculo Seja 𝐹𝑥 uma primitiva da função 𝑓𝑥 em um intervalo 𝑎 𝑏 A integral definida de 𝑓𝑥 é dada por 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑎 𝑏 𝐹𝑏 𝐹𝑎 𝑏 𝑎 A partir do Teorema Fundamental do Cálculo é possível calcular o valor de áreas limitadas pela curva ou reta que compõe o gráfico e um dos eixos cartesianos Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 Dada a função 𝑓𝑥 3𝑥 Determine o valor da área subentendida entre a reta do gráfico e o eixo 𝑥 no intervalo 06 Primeiramente vamos representar o gráfico desta função no intervalo onde desejamos determinar a área A soma de Riemann e a integral definida 7 Figura 4 Representação do gráfico da função 𝑓𝑥 3𝑥 no intervalo 06 Fonte GOMES 2021 Os valores dos extremos do intervalo representam os limites de integração sendo 0 o limite inferior e 6 o limite superior Aplicando a definição de integral definida obtemos 3𝑥 𝑑𝑥 6 0 Em seguida utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar o valor da área 3𝑥 𝑑𝑥 𝐹6 𝐹0 6 0 Para encontrar a primitiva da função 𝑓𝑥 3𝑥 calculamos sua integral indefinida 3𝑥 𝑑𝑥 3𝑥2 2 𝐶 A soma de Riemann e a integral definida 8 Portanto 𝐹𝑥 3𝑥2 2 logo 3𝑥 𝑑𝑥 𝐹6 𝐹0 6 0 362 2 302 2 3 36 2 0 2 54 𝑢 𝑎 Portanto o valor da área subentendida entre a reta do gráfico da função 𝑓𝑥 3𝑥 e o eixo 𝑥 no intervalo 06 é 54 unidades de área Exemplo 2 Dada a função 𝑔𝑥 𝑥2 Determine o valor da área subentendida entre a parábola do gráfico e o eixo 𝑥 no intervalo 12 Primeiramente vamos representar o gráfico desta função no intervalo onde desejamos determinar a área Figura 5 Representação do gráfico da função 𝑔𝑥 𝑥2 no intervalo 12 Fonte GOMES 2021 Assim como no exemplo anterior os valores dos extremos do intervalo representam os limites de integração sendo 1 o limite inferior e 2 o limite superior Aplicando a definição de integral definida obtemos 𝑥2 𝑑𝑥 2 1 A soma de Riemann e a integral definida 9 Em seguida utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar o valor da área 𝑥2 𝑑𝑥 𝐺2 𝐺1 2 1 Para encontrar a primitiva da função 𝑔𝑥 𝑥2 calculamos sua integral indefinida 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥3 3 𝐶 Portanto 𝐺𝑥 𝑥3 3 logo 𝑥2 𝑑𝑥 𝐺2 𝐺1 2 1 23 3 13 3 8 3 1 3 7 3 𝑢 𝑎 Portanto o valor da área subentendida entre a reta do gráfico da função 𝑔𝑥 𝑥2 e o eixo 𝑥 no intervalo 12 é 7 3 unidades de área Exemplo 3 Dada a função ℎ𝑥 𝑥3 3𝑥 1 Determine o valor da área subentendida entre a curva do gráfico e o eixo 𝑥 no intervalo 12 Para este exemplo diferente dos dois exemplos anteriores vamos omitir a representação gráfica e iniciar a resolução diretamente pelo cálculo das integrais Já conhecidos os limites de integração vamos então determinar a integral definida 𝑥3 3𝑥 1 𝑑𝑥 2 1 Agora utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar o valor da área 𝑥3 3𝑥 1 𝑑𝑥 𝐻2 𝐻1 2 1 A soma de Riemann e a integral definida 10 Para encontrar a primitiva da função ℎ𝑥 𝑥3 3𝑥 1 calculamos sua integral indefinida 𝑥3 3𝑥 1 𝑑𝑥 𝑥4 4 3𝑥2 2 𝑥 𝐶 Portanto 𝐻𝑥 𝑥4 4 3𝑥2 2 𝑥 logo 𝑥3 3𝑥 1 𝑑𝑥 𝐻2 𝐻1 2 1 24 4 3 22 2 2 14 4 3 12 2 1 16 4 12 2 2 1 4 3 2 1 29 4 𝑢 𝑎 Portanto o valor da área subentendida entre a reta do gráfico da função ℎ𝑥 𝑥3 3𝑥 1 e o eixo 𝑥 no intervalo 12 é 29 4 unidades de área O já conhecido método de integração por substituição de variável também pode ser aplicado para o cálculo de integrais definidas Porém devemos tomar cuidado pois os limites de integração também são substituídos Vejamos um exemplo Exemplo 4 Calcule 𝑥 15 𝑑𝑥 2 1 Primeiramente façamos a seguinte substituição 𝑢 𝑥 1 Derivando ambos os membros desta igualdade obtemos 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Agora vamos pensar nos limites de integração iniciando pelo limite inferior 𝑥 1 Se 𝑥 1 1 e 𝑢 𝑥 1 2 substituindo 𝑥 1 na equação 2 obtemos 𝑢 0 logo na substituição o limite inferior é 𝑢 0De modo semelhante para o limite superior de integração 𝑥 2 substituindo na equação 2 obtemos 𝑢 1 Portanto os novos limites de integração inferior e superior respectivamente são 𝑢 0 e 𝑢 1 Logo A soma de Riemann e a integral definida 11 𝑥 15 𝑑𝑥 2 1 𝑢5 𝑑𝑢 1 0 Como 𝑢5 𝑑𝑢 𝑢6 6 então 𝑢5 𝑑𝑢 1 0 16 6 06 6 1 6 Logo 𝑥 15 𝑑𝑥 1 6 2 1 Agora que já conhecemos as integrais definidas e algumas formas de calculálas vamos estudar um novo método de integração o método de integração por partes 14 O MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES Sabemos que para o cálculo de determinadas integrais existem fórmulas tabeladas para facilitar o processo Mas em alguns casos outras integrais não são determinadas através dessas fórmulas Para esses casos há alguns métodos para adequação dessas integrais ao formato das integrais tabeladas como o método da substituição Para determinadas integrais cujo processo de adequação não é possível ou se torna muito trabalhoso existe o método de integração por partes Esta técnica é utilizada para simplificar o cálculo de integrais da forma 𝑓𝑥𝑔𝑥 𝑑𝑥 No qual 𝑓 é uma função que pode ser derivada repetidamente e 𝑔 pode ser integrada repetidamente Para integrais que assumem este formato utilizamos uma fórmula de integração A fórmula de integração por partes para integrais indefinidas é expressa por 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑑𝑢 Onde 𝑢 e 𝑣 são funções deriváveis de 𝑥 A soma de Riemann e a integral definida 12 Vejamos alguns exemplos de cálculo de integrais indefinidas utilizando este método de integração Exemplo 5 Calcule 𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 Para integrarmos pelo método da integração por partes devemos realizar uma boa escolha de quais serão as funções 𝑢 e 𝑣 Para este exemplo seja 𝑢 𝑥 e 𝑑𝑣 cos𝑥 𝑑𝑥 Pela fórmula de integração por parte precisamos dos valores de 𝑑𝑢 e também de 𝑣 Para obtermos 𝑑𝑢 derivamos em ambos os membros a igualdade 𝑢 𝑥 logo 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Para encontrarmos 𝑣 precisamos integrar a função 𝑑𝑣 logo 𝑣 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐶 Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes obtemos 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑑𝑢 𝑥 cos 𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos𝑥 𝐶 Portanto 𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos𝑥 𝐶 Exemplo 6 Calcule 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 Primeiramente vamos determinar quais serão as funções 𝑢 e 𝑣 Para este exemplo seja 𝑢 𝑥 e 𝑑𝑣 𝑒𝑥 𝑑𝑥 Pela fórmula de integração por parte precisamos dos valores de 𝑑𝑢 e também de 𝑣 Para obtermos 𝑑𝑢 derivamos em ambos os membros a igualdade 𝑢 𝑥 logo 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Para encontrarmos 𝑣 precisamos integrar a função 𝑑𝑣 logo A soma de Riemann e a integral definida 13 𝑣 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝐶 Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes obtemos 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑑𝑢 𝑥 ex 𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑒𝑥 ex 𝐶 Portanto 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑒𝑥 ex 𝐶 Exemplo 7 Calcule ln 𝑥 𝑑𝑥 Como sabemos para integrarmos pelo método da integração por partes devemos realizar uma boa escolha de quais serão as funções 𝑢 e 𝑣 Para este exemplo seja 𝑢 ln 𝑥 e 𝑑𝑣 𝑑𝑥 Pela fórmula de integração por parte precisamos dos valores de 𝑑𝑢 e também de 𝑣 Para obtermos 𝑑𝑢 derivamos em ambos os membros a igualdade 𝑢 ln 𝑥 logo 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 Para encontrarmos 𝑣 precisamos integrar a função 𝑑𝑣 logo 𝑣 𝑑𝑥 𝑥 𝐶 Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes obtemos 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑑𝑢 ln𝑥 𝑑𝑥 ln 𝑥 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 ln𝑥 𝑥 𝑥 𝐶 Portanto ln𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝐶 A soma de Riemann e a integral definida 14 O método de integração por partes também pode ser utilizado para o cálculo de integrais definidas A expressão da fórmula de integração por partes para integrais definidas é dada por 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑣 𝑏 𝑎 𝑣 𝑑𝑢 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Onde 𝑢 e 𝑣 são funções deriváveis de 𝑥 Vejamos um exemplo de cálculo de integral definida pelo método de integração por partes Exemplo 8 Calcule 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 2 1 Do mesmo modo em que calculamos a integrais indefinidas para integrarmos pelo método da integração por partes devemos realizar uma boa escolha de quais serão as funções 𝑢 e 𝑣 Agora seja 𝑢 ln 𝑥 e 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑥 Pela fórmula de integração por parte precisamos dos valores de 𝑑𝑢 e também de 𝑣 Para obtermos 𝑑𝑢 derivamos em ambos os membros a igualdade 𝑢 ln 𝑥 logo 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 Para encontrarmos 𝑣 precisamos integrar a função 𝑑𝑣 logo 𝑣 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 𝐶 Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes para integrais definidas obtemos 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑣 𝑏 𝑎 𝑣 𝑑𝑢 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 ln 𝑥 𝑥2 2 2 1 𝑥2 2 1 𝑥 𝑑𝑥 2 1 2 1 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 ln 𝑥 𝑥2 2 2 1 𝑥2 4 2 1 2 1 A soma de Riemann e a integral definida 15 Aplicando os limites de integração através do Teorema Fundamental do Cálculo obtemos 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 ln2 22 2 ln1 12 2 22 4 12 4 063629 2 1 Portanto 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 063629 2 1 Em alguns casos pode ser necessário a utilização do método de integral por partes mais de uma vez para determinar a integral Vejamos um exemplo Exemplo 9 Calcule 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 Como fizemos nos exemplos anteriores para integrarmos pelo método da integração por partes devemos realizar uma boa escolha de quais serão as funções 𝑢 e 𝑣 Para este exemplo seja 𝑢 x2 e 𝑑𝑣 𝑒𝑥 𝑑𝑥 Pela fórmula de integração por parte precisamos dos valores de 𝑑𝑢 e também de 𝑣 Para obtermos 𝑑𝑢 derivamos em ambos os membros a igualdade 𝑢 x2 logo 𝑑𝑢 2𝑥 𝑑𝑥 Para encontrarmos 𝑣 precisamos integrar a função 𝑑𝑣 logo 𝑣 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝐶 Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes obtemos 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑑𝑢 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 x2 𝑒𝑥 𝑒𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 𝑒𝑥 2 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 1 A soma de Riemann e a integral definida 16 Porém a integral 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 também deve ser calculada por partes pois se trata de uma multiplicação de duas funções Vamos integrala separadamente 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 Fazendo 𝑢 𝑥 e 𝑑𝑣 𝑒𝑥 𝑑𝑥 Pela fórmula de integração por parte precisamos dos valores de 𝑑𝑢 e também de 𝑣 Sendo 𝑢 𝑥 logo 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Para encontrarmos 𝑣 precisamos integrar a função 𝑑𝑣 logo 𝑣 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝐶 Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes obtemos 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑑𝑢 𝑥 ex 𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑒𝑥 ex 𝐶 Portanto 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑒𝑥 ex 𝐶 Agora colocando este resultado para a integral 1 obtemos 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 𝑒𝑥 2 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 𝑒𝑥 2𝑥 𝑒𝑥 ex 𝐶 Portanto 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 𝑒𝑥 2𝑥 𝑒𝑥 ex 𝐶 Concluídos os nossos estudos sobre as integrais definidas e também sobre o método de integração por partes vamos agora revisar o que estudamos nesta aula A soma de Riemann e a integral definida 17 15 RESUMO Nesta aula conceituamos o que são integrais definidas mas para chegarmos até essa definição aprendemos como estimar a área presente entre a curva que compõe o gráfico de uma função e um dos eixos cartesianos em um determinado intervalo Utilizamos a ideia anterior para estudarmos as Somas de Riemann que demonstram matematicamente o processo de estimativa de área Em seguida através do importante Teorema Fundamental do Cálculo aprendemos como determinar a área exata entre a curva e o eixo Aplicamos o método da substituição para o cálculo de integrais definidas Também estudamos um novo método de integração conhecido como integração por partes que é utilizado para calcular integrais definidas e indefinidas que assumem o formato de multiplicação entre duas funções Bons estudos e até a próxima aula A soma de Riemann e a integral definida 18 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FACCIN Giovani Manzeppi Elementos de cálculo diferencial e integral livro eletrônico Curitiba Intersaberes 2015 FLEMMING Diva M GONÇALVES Mirian B Cálculo A funções limite derivação integração livro eletrônico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 LEITE Álvaro Emílio CASTANHEIRA Nelson Pereira Tópicos de cálculo I livro eletrônico Curitiba Intersaberes 2017 THOMAS George B WEIR Maurice D HASS Joel Cálculo livro eletrônico V 1 10ª edição São Paulo Pearson Education do Brasil 2002 THOMAS George B WEIR Maurice D HASS Joel Cálculo livro eletrônico V 1 12ª edição São Paulo Pearson Education do Brasil 2012