Aula sobre Integrais Impróprias e Regra de LHôpital

A INTEGRAL IMPRÓPRIA Felipe Pereira Gomes A integral imprópria 2 1 A INTEGRAL IMPRÓPRIA Olá alunoa UNIFACEAR Seja muito bem vindoa a essa aula Nela vamos conhecer e aprender como calcular as integrais impróprias Porém antes vamos enunciar uma regra utilizada para o cálculo de limites indeterminados a regra de LHôpital Em seguida conheceremos as integrais impróprias e suas formas de cálculo E por fim estudaremos a convergência das integrais impróprias e também as integrais com integrando com descontinuidade infinita Vamos lá 11 A REGRA DE LHÔPITAL Vamos iniciar os nossos estudos sobre as integrais impróprias através de uma regra muito importante do cálculo a regra de LHôpital A regra de LHôpital é utilizada para calcular limites de frações cujo resultado é uma indeterminação por exemplo quando tanto o denominador quanto o numerador tendem a zero Sejam 𝑓𝑥 e 𝑔𝑥 duas funções contínuas Suponha que no ponto 𝑥 𝑎 o valor das duas funções é zero ou seja 𝑓𝑎 0 e 𝑔𝑎 0 Então o seguinte limite lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 Não pode ser calculado pois assume a forma indeterminada 0 0 Então de que forma podemos calcular este limite Aplicando a regra de LHôpital Esta regra possibilita o cálculo de limites que assumem formas indeterminadas Vamos enunciar esta regra Regra de LHôpital Suponha que 𝑓𝑎 𝑔𝑎 0 e que 𝑓 𝑔 sejam deriváveis em um intervalo aberto 𝐼 que contém 𝑎 e que 𝑔𝑥 0 em 𝐼 se 𝑥 𝑎 então lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 Desde que o limite do lado direito da igualdade exista A integral imprópria 3 Vejamos alguns exemplos da aplicação da regra de LHôpital para o cálculo de limites cujo resultado imediato é uma forma indeterminada Exemplo 1 Calcule lim 𝑥0 3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 Substituindo o valor 𝑥 0 no limite obtemos lim 𝑥0 3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 3 0 𝑠𝑒𝑛0 0 0 0 Ou seja encontramos a forma indeterminada 0 0 Para que seja possível o cálculo deste limite aplicamos a regra de LHôpital lim 𝑥0 3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 lim 𝑥0 3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 lim 𝑥0 3 cos𝑥 1 Agora calculando o limite desta função quando 𝑥 tende a zero temos lim 𝑥0 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 3 cos0 3 1 2 Portanto lim 𝑥0 3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 2 Exemplo 2 Calcule lim 𝑥0 𝑥 1 1 𝑥 Substituindo o valor 𝑥 0 no limite obtemos A integral imprópria 4 lim 𝑥0 𝑥 1 1 𝑥 0 1 1 0 1 1 0 0 0 Ou seja encontramos a forma indeterminada 0 0 Para que seja possível o cálculo deste limite aplicamos a regra de LHôpital lim 𝑥0 𝑥 1 1 𝑥 lim 𝑥0 𝑥 1 1 𝑥 lim 𝑥0 1 2𝑥 1 Agora calculando o limite desta função quando 𝑥 tende a zero temos lim 𝑥0 1 2𝑥 1 1 20 1 1 21 1 2 Portanto lim 𝑥0 𝑥 1 1 𝑥 1 2 A regra de LHôpital também pode ser utilizada para calcular limites que assumem a forma indeterminada Se as funções 𝑓𝑥 e 𝑔𝑥 tendem ao infinito quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 então lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 Desde que o limite do lado direito da igualdade acima exista Vejamos alguns exemplos Exemplo 3 Calcule lim 𝑥 ln𝑥 2𝑥 Substituindo o valor 𝑥 no limite obtemos lim 𝑥 ln𝑥 2𝑥 ln 2 A integral imprópria 5 Ou seja encontramos a forma indeterminada Para que seja possível o cálculo deste limite aplicamos a regra de LHôpital lim 𝑥 ln𝑥 2𝑥 lim 𝑥 ln𝑥 2𝑥 lim 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 lim 𝑥 1 𝑥 Agora calculando o limite desta função quando 𝑥 tende a infinito temos lim 𝑥 1 𝑥 1 1 0 Portanto lim 𝑥 ln𝑥 2𝑥 0 Exemplo 4 Calcule lim 𝑥 5x2 3𝑥 7𝑥2 1 Substituindo o valor 𝑥 no limite obtemos lim 𝑥 5x2 3𝑥 7𝑥2 1 5 2 3 7 2 1 Ou seja encontramos a forma indeterminada Para que seja possível o cálculo deste limite aplicamos a regra de LHôpital lim 𝑥 5x2 3𝑥 7𝑥2 1 lim 𝑥 5x2 3𝑥 7𝑥2 1 lim 𝑥 10𝑥 3 14𝑥 Agora calculando o limite desta função quando 𝑥 tende a infinito temos A integral imprópria 6 lim 𝑥 10𝑥 3 14𝑥 10 3 14 Note que novamente encontramos a forma indeterminada logo aplicamos novamente a regra de LHôpital lim 𝑥 10𝑥 3 14𝑥 lim 𝑥 10𝑥 3 14𝑥 lim 𝑥 10 14 5 7 Portanto lim 𝑥 5x2 3𝑥 7𝑥2 1 5 7 A regra de LHôpital também pode ser aplicada para calcular limites que assumem outras formas indeterminadas como por exemplo 0 00 0 Agora que já conhecemos a regra de LHôpital para o cálculo de limites indeterminados vamos descobrir o que são as integrais impróprias e de que forma podemos definir seu resultado 12 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS LIMITES INFINITOS DE INTEGRAÇÃO Chamamos de integrais impróprias as integrais que possuem limites infinitos de integração Podemos entender os limites infinitos de integração como sendo a área de uma região que se estende infinitamente para a direita ou esquerda ao longo do eixo 𝑥 Existem três formas de integrais impróprias vamos estudar cada caso separadamente A integral imprópria 7 Caso 1 Se 𝑓 é contínua para todo 𝑥 𝑎 então 𝑓𝑥𝑑𝑥 lim 𝑏 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑎 Se o limite existir Caso 2 Se 𝑓 é contínua para todo 𝑥 𝑏 então 𝑓𝑥𝑑𝑥 lim 𝑎 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 Se o limite existir Caso 3 Se 𝑓 é contínua para todo 𝑥 então 𝑓𝑥𝑑𝑥 lim 𝑎 𝑓𝑥𝑑𝑥 lim 𝑏 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 0 0 𝑎 Se ambos os limites existirem Para as integrais dos Casos 1 e 2 se o limite existir dizemos que a integral imprópria é convergente Caso contrário classificamos a integral como divergente Já para o Caso 3 se ambos os limites existirem então a integral é dita convergente Se ao menos um dos limites não existir então a integral é divergente Vejamos alguns exemplos de cálculos de integrais impróprias Exemplo 5 Calcule 1 𝑥2 𝑑𝑥 12 Observando a integral deste exemplo vemos que ela assume a forma de uma integral imprópria do Caso 1 A integral imprópria 8 𝑓𝑥𝑑𝑥 lim 𝑏 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑎 Então 1 𝑥2 𝑑𝑥 lim 𝑏 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑏 12 12 Primeiramente devemos encontrar a primitiva da integral da função 𝑓𝑥 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 1 𝑥 𝐶 Agora através do Teorema Fundamental do Cálculo aplicamos os limites de integração lim 𝑏 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑏 12 lim 𝑏 1 𝑥 𝑏 12 lim 𝑏 1 𝑏 1 1 2 lim 𝑏 1 𝑏 2 Por fim calculando o limite obtemos lim 𝑏 1 𝑏 2 1 2 0 2 2 Portanto 1 𝑥2 𝑑𝑥 12 2 Exemplo 6 Calcule 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 2 Observando a integral do Exemplo 6 vemos que ela assume a forma de uma integral imprópria do Caso 2 𝑓𝑥𝑑𝑥 lim 𝑎 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 A integral imprópria 9 Então 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 lim 𝑎 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 2 𝑎 2 Primeiramente devemos encontrar a primitiva da integral da função 𝑓𝑥 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 Façamos a substituição 𝑢 4 𝑥 logo 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Mudando para a variável 𝑢 obtemos a integral 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 1 𝑢2 𝑑𝑢 1 𝑢 𝐶 Retornando para a variável 𝑥 temos 1 𝑢 𝐶 1 4 𝑥 𝐶 Portanto 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 1 4 𝑥 𝐶 Agora através do Teorema Fundamental do Cálculo aplicamos os limites de integração lim 𝑎 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 2 𝑎 lim 𝑎 1 4 𝑥 2 𝑎 lim 𝑎 1 4 2 1 4 𝑎 lim 𝑎 1 2 1 4 𝑎 Por fim calculando o limite obtemos A integral imprópria 10 lim 𝑎 1 2 1 4 𝑎 1 2 1 𝑎 1 2 0 1 2 Portanto 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 2 1 2 Exemplo 7 Calcule 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 Observando a integral do Exemplo 7 vemos que ela assume a forma de uma integral imprópria do Caso 3 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑎 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑏 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑏 0 0 𝑎 Então 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑎 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑏 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑏 0 0 𝑎 Primeiramente devemos encontrar a primitiva da integral da função 𝑓𝑥 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝐶 Agora através do Teorema Fundamental do Cálculo aplicamos os limites de integração em cada integral separadamente lim 𝑎 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 0 𝑎 lim 𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 0 𝑎 lim 𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 A integral imprópria 11 lim 𝑏 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑏 0 lim 𝑏𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑏 0 lim 𝑏𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑏 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0 Por fim calculando os limites obtemos lim 𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0 𝜋 2 𝜋 2 lim 𝑏𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑏 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0 𝜋 2 0 𝜋 2 E por fim realizamos a soma dos resultados dos limites logo 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑎 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑏 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝜋 2 𝜋 2 𝜋 𝑏 0 0 𝑎 Portanto 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝜋 Exemplo 8 Calcule 1 𝑥 𝑑𝑥 1 Observando a integral deste exemplo vemos que ela assume a forma de uma integral imprópria do Caso 1 𝑓𝑥𝑑𝑥 lim 𝑏 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑎 Então A integral imprópria 12 1 𝑥 𝑑𝑥 lim 𝑏 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 1 1 Primeiramente devemos encontrar a primitiva da integral da função 𝑓𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 ln𝑥 𝐶 Agora através do Teorema Fundamental do Cálculo aplicamos os limites de integração lim 𝑏 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 1 lim 𝑏ln𝑥 𝑏 1 lim 𝑏ln𝑏 ln1 Por fim calculando o limite obtemos lim 𝑏ln𝑏 ln1 Como o limite não existe pela definição da integral imprópria do Caso 1 concluímos então que a integral do Exemplo 8 diverge Nosso próximo tema de estudo nos ajudará a identificar a convergência de integrais que assumem a forma da integral estudada no exemplo anterior 13 A INTEGRAL 𝒅𝒙 𝒙𝒑 𝟏 Uma das principais aplicações da integral imprópria é a integral 𝑑𝑥 𝑥𝑝 1 Para conferir a convergência desta integral não é necessário determinar o valor da integral basta conferir o valor de 𝑝 A integral imprópria 13 1 Se 𝑝 1 então a integral converge 2 Se 𝑝 1 então a integral diverge Vejamos um exemplo Exemplo 9 Determine se as seguintes integrais convergem 1 𝑑𝑥 𝑥2 1 Como 𝑝 2 1 concluímos que a integral converge 2 1 𝑥 1 𝑑𝑥 Como 𝑝 1 2 1 concluímos que a integral diverge 14 INTEGRANDOS COM DESCONTINUIDADES INFINITAS Em alguns casos as integrais de funções se tornam infinitas em um ponto dentro do intervalo de integração Para que seja possível realizar o cálculo desta integral devemos excluir o ponto que causa a descontinuidade do intervalo de integração Existem três formas de integrais que apresentam integrandos com descontinuidade infinita Vejamos quais são esses tipos Caso a Se 𝑓 é contínua em 𝑎 𝑏 e lim 𝑥𝑏 𝑓𝑥 então 𝑓𝑥 𝑑𝑥 lim 𝑐𝑏 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 Caso b Se 𝑓 é contínua em 𝑎 𝑏 e lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 então 𝑓𝑥 𝑑𝑥 lim 𝑐𝑎 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 A integral imprópria 14 Caso c Se 𝑓 é contínua em 𝑎 𝑏 para todo𝑥 𝑎 𝑏 exceto para 𝑥 𝑐 𝑎 𝑏 e tem limites laterais infinitos em 𝑐 então 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑐 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 Vejamos alguns exemplos de cálculo de integrais com integrandos que apresentam descontinuidade infinita Exemplo 10 Determine 𝑑𝑥 𝑥 16 0 Para este exemplo função apresenta descontinuidade no ponto 𝑥 0 sendo assim temos 𝑑𝑥 𝑥 lim 𝑐0 𝑑𝑥 𝑥 16 𝑐 16 0 Primeiramente vamos encontrar uma primitiva para a função 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 𝐶 Agora aplicando os limites de integração pelo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos 𝑑𝑥 𝑥 lim 𝑐0 𝑑𝑥 𝑥 16 𝑐 16 0 lim 𝑐02𝑥 16 𝑐 lim 𝑐0216 2𝑐 lim 𝑐08 2𝑐 8 Portanto A integral imprópria 15 𝑑𝑥 𝑥 16 0 8 Exemplo 11 Determine 𝑑𝑥 1 𝑥 1 0 Para a integral do exemplo 11 a função apresenta descontinuidade no ponto 𝑥 1 sendo assim temos 𝑑𝑥 1 𝑥 lim 𝑐1 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑐 0 1 0 Primeiramente vamos encontrar uma primitiva para a função 𝑓𝑥 𝑑𝑥 1𝑥 𝑑𝑥 1 𝑥 ln1 𝑥 𝐶 Agora aplicando os limites de integração pelo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos 𝑑𝑥 1 𝑥 lim 𝑐1 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑐 0 1 0 lim 𝑐1ln1 𝑥 𝑐 0 lim 𝑐1 ln1 𝑐 ln1 0 lim 𝑐0 ln1 𝑐 ln1 Portanto a integral 𝑑𝑥 1𝑥 1 0 diverge Exemplo 12 Determine 𝑑𝑥 𝑥 123 7 2 A integral imprópria 16 Para este exemplo função apresenta descontinuidade no ponto 𝑥 1 sendo assim temos 𝑑𝑥 𝑥 123 𝑑𝑥 𝑥 123 𝑑𝑥 𝑥 123 7 1 1 2 7 2 Primeiramente vamos encontrar uma primitiva para a função 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑥123 𝑑𝑥 𝑥 123 3𝑥 113 𝐶 Agora aplicando os limites de integração pelo Teorema Fundamental do Cálculo em cada uma das integrais obtemos 𝑑𝑥 𝑥 1 2 3 lim 𝑐13𝑥 113 𝑐 2 1 2 lim 𝑐1 3𝑐 1 1 3 32 1 1 3 3 3 1 3 𝑑𝑥 𝑥 123 7 1 lim 𝑐13𝑥 113 7 𝑐 lim 𝑐1 37 1 1 3 3𝑐 1 1 3 36 1 3 Portanto 𝑑𝑥 𝑥 123 7 2 3 3 1 3 36 1 3 15 RESUMO Nesta aula estudamos as integrais impróprias e suas diferentes formas de calcular Conhecemos a regra de LHôpital que é utilizada para o cálculo de limites cujo resultado é uma indeterminação Também vimos o que são integrais convergentes e divergentes além de estudar as integrais com integrando com descontinuidade infinita A integral imprópria 17 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FACCIN Giovani Manzeppi Elementos de cálculo diferencial e integral livro eletrônico Curitiba Intersaberes 2015 FLEMMING Diva M GONÇALVES Mirian B Cálculo A funções limite derivação integração livro eletrônico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 LEITE Álvaro Emílio CASTANHEIRA Nelson Pereira Tópicos de cálculo I livro eletrônico Curitiba Intersaberes 2017 THOMAS George B WEIR Maurice D HASS Joel Cálculo livro eletrônico V 1 10ª edição São Paulo Pearson Education do Brasil 2002 THOMAS George B WEIR Maurice D HASS Joel Cálculo livro eletrônico V 1 12ª edição São Paulo Pearson Education do Brasil 2012