Cálculo de Áreas: Propriedades e Técnicas de Integração

CÁLCULO DE ÁREAS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Felipe Pereira Gomes Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 2 1 CÁLCULO DE ÁREAS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Olá alunoa UNIFACEAR Seja muito bem vindoa a essa aula Nela vamos estudar as principais características que envolvem o cálculo de áreas através das integrais definidas Ainda sobre este conteúdo veremos as mais importantes propriedades desta forma de integral Por fim conheceremos um novo método de integração o processo de integração por frações parciais Vamos lá 11 CÁLCULO DE ÁREAS Em momentos anteriores descobrimos que é possível determinar qual a medida da área formada entre a curva de um gráfico e um dos eixos cartesianos limitada dentro de um intervalo pertencente à este eixo Para descobrir qual a medida desta superfície basta aplicar uma integral definida para esta função sendo os limites de integração os extremos deste intervalo Aliado a esta integral devemos ainda aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo Antes de conhecermos algumas aplicações e também as propriedades do cálculo destas áreas vamos relembrar estes principais conceitos e também calcular a medida de algumas superfícies Exemplo 1 Dada a função 𝑓𝑥 𝑥 2 Determine o valor da área subentendida entre a reta do gráfico e o eixo 𝑥 no intervalo 13 Como primeiro passo para a resolução deste exemplo vamos representar o gráfico desta função no plano cartesiano destacando a região formada entre a reta e o eixo 𝑥 no intervalo 13 Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 3 Figura 1 Representação do gráfico da função 𝑓𝑥 𝑥 2 no intervalo 13 Fonte GOMES 2021 Como mencionado anteriormente os valores dos extremos do intervalo indicam os limites de integração sendo 1 o limite inferior e 3 o limite superior Aplicando o conceito de integral definida obtemos 𝑥 2 𝑑𝑥 3 1 Agora utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar o valor da área Lembrando que 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑎 𝑏 𝐹𝑏 𝐹𝑎 𝑏 𝑎 Logo 𝑥 2 𝑑𝑥 𝐹3 𝐹1 3 1 Para encontrar a primitiva da função 𝑓𝑥 𝑥 2 calculamos sua integral indefinida 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥2 2 2𝑥 𝐶 Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 4 Portanto 𝐹𝑥 𝑥2 2 2𝑥 logo 𝑥 2 𝑑𝑥 𝐹3 𝐹1 3 1 32 2 2 3 12 2 2 1 9 2 6 1 2 2 8 𝑢 𝑎 Portanto o valor da área subentendida entre a reta do gráfico da função 𝑓𝑥 𝑥 2 e o eixo 𝑥 no intervalo 13 é igual a 8 unidades de área Existem alguns casos em que o valor da integral definida resulta em um número negativo Porém como não existe o valor de área negativa afirmase que o módulo da integral é numericamente igual a área subentendida entre a curva do gráfico e o eixo 𝑥 Vejamos um exemplo Exemplo 2 Calcule 𝑥2 1 𝑑𝑥 1 2 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo sabemos que 𝑥2 1 𝑑𝑥 𝐹1 𝐹2 1 2 Através do processo de integração indefinida vamos encontrar uma primitiva para a função 𝑓𝑥 𝑥2 1 𝑥2 1 𝑑𝑥 𝑥3 3 𝑥 𝐶 Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 5 Portanto 𝐹𝑥 𝑥3 3 𝑥 Logo 𝑥2 1 𝑑𝑥 𝐹1 𝐹2 13 3 1 23 3 2 1 2 1 3 1 8 3 2 4 3 14 3 18 3 6 𝑢 𝑎 Como o resultado da integral definida é um valor negativo consideramos o seu valor absoluto portanto a área compreendida entre o eixo 𝑥 e a parábola que indica o gráfico da função 𝑓𝑥 𝑥2 1 limitada no intervalo 21 é igual a 6 unidades de área Agora para nosso próximo estudo de caso considere o gráfico a função 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥 Figura 2 Gráfico da função 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥 representado no intervalo 12 Fonte GOMES 2021 Vamos determinar as integrais definidas para a função 𝑓𝑥 nos seguintes intervalos 01 12 e 02 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 1 0 Calculando a primitiva através do processo de integração indefinida obtemos Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 6 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 𝑥3 3 𝑥2 2 𝐶 Agora aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo temos 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 13 3 12 2 03 3 02 2 1 3 1 2 0 1 6 1 0 Logo 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 1 6 1 0 Vamos agora para a próxima integral 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 2 1 Como calculado anteriormente a primitiva desta função é 𝐹𝑥 𝑥3 3 𝑥2 2 Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo temos 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 23 3 22 2 13 3 12 2 8 3 2 1 3 1 2 2 3 1 6 5 6 2 1 Portanto 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 5 6 2 1 Agora para a última integral temos 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 2 0 Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 7 Aproveitando o cálculo da primitiva realizado anteriormente e aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo obtemos 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 23 3 22 2 03 3 02 2 8 3 2 0 2 3 2 0 Logo 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 2 3 2 0 Observe que ao particionarmos o intervalo 02 em dois novos intervalos 01 e 12 e calcularmos separadamente a integral definida da mesma função em cada um desses novos intervalos e somarmos os valores obtidos chegamos ao mesmo valor da integral da função 𝑓𝑥 no intervalo original 02 Repare 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 1 0 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 2 1 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 2 0 Ou ainda 1 6 5 6 4 6 2 3 O seguinte teorema ajuda a explicar o resultado obtido anteriormente Teorema Se a função fx é integrável nos intervalos 𝑎 𝑏 e 𝑏 𝑐 então 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑎 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑏 Esta é uma das principais propriedades das integrais definidas Como nosso próximo assunto de estudo vamos conhecer as demais Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 8 12 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS Assim como as integrais indefinidas as integrais definidas apresentam propriedades que simplificam o cálculo Dentre as principais propriedades destacamse a integral da função nula a multiplicação de uma constante pela integral além da soma e diferença de integrais Propriedade 1 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Exemplo 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 4 4 2 1 2 1 Propriedade 2 𝑓𝑥 𝑑𝑥 0 𝑎 𝑎 Propriedade 3 𝑘 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑘 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 para qualquer número 𝑘 Exemplo 3𝑥2 𝑑𝑥 3 𝑥2 𝑑𝑥 3 1 3 1 Propriedade 4 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 9 Exemplo 𝑥2 2𝑥 1 5 0 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 5 0 2𝑥 𝑑𝑥 5 0 1 𝑑𝑥 5 0 Propriedade 5 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑐 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 Exemplo 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 7 4 4 1 7 1 Agora que já conhecemos as mais importantes características do cálculo de áreas através das integrais definidas e também conhecemos as principais propriedades deste processo vamos conhecer mais alguns processos de integração iniciando pelo método de integração por frações parciais 13 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS O método de integração por frações parciais tem como objetivo decompor funções racionais em formas mais simples Qualquer função racional pode ser reescrita como uma soma de frações mais simples Além do mais um polinômio 𝑝𝑥 pode ser expresso como um produto de fatores lineares eou quadráticos por exemplo O polinômio 𝑝𝑥 𝑥2 5𝑥 6 pode ser escrito como 𝑝𝑥 𝑥 2𝑥 3 O polinômio 𝑞𝑥 𝑥3 𝑥2 𝑥 1 pode ser escrito como 𝑞𝑥 𝑥 1𝑥2 1 Vamos agora conferir a descrição geral do método de integração por frações parciais Para escrever uma função racional da forma 𝑓𝑥𝑔𝑥 como a soma de frações parciais devemos considerar dois fatores Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 10 1 O grau de 𝑓𝑥 deve ser menor do que o grau de 𝑔𝑥 2 Devemos conhecer a decomposição dos fatores de 𝑔𝑥 Existem 4 casos para decomposição em fatores do polinômio 𝑔𝑥 nas funções da forma 𝑓𝑥𝑔𝑥 Vamos estudar e exemplificar cada caso separadamente Para o primeiro caso consideramos que os fatores de 𝑔𝑥 são lineares e distintos O polinômio 𝑔𝑥 pode ser escrito como 𝑔𝑥 𝑥 𝑎1𝑥 𝑎2 𝑥 𝑎𝑛 Dessa forma reescrevemos a função como 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝐴1 𝑥 𝑎1 𝐴2 𝑥 𝑎2 𝐴𝑛 𝑥 𝑎𝑛 Vejamos um exemplo Exemplo 3 Calcule 5𝑥 3 𝑥2 2𝑥 3 𝑑𝑥 Pela descrição geral do método devemos conhecer os fatores do polinômio 𝑔𝑥 Sendo assim 𝑔𝑥 𝑥2 2𝑥 3 𝑥 1𝑥 3 Logo os valores de 𝑎1 e 𝑎2 são respectivamente 1 e 3 pois são as raízes do polinômio 𝑔𝑥 Agora reescrevendo a função obtemos 5𝑥 3 𝑥2 2𝑥 3 𝐴1 𝑥 1 𝐴2 𝑥 3 𝐴1 𝑥 1 𝐴2 𝑥 3 Para dar sequência a resolução devemos encontrar os valores de 𝐴1 e 𝐴2 Calculando o mínimo múltiplo comum temse Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 11 5𝑥 3 𝑥2 2𝑥 3 𝐴1 𝑥 1 𝐴2 𝑥 3 5𝑥 3 𝑥2 2𝑥 3 𝐴1𝑥 3 𝑥 1 𝐴2𝑥 1 𝑥 3 5𝑥 3 𝐴1𝑥 3 𝐴2𝑥 1 5𝑥 3 𝑥𝐴1 𝐴2 3𝐴1 𝐴2 Pela igualdade dos coeficientes e dos termos independentes obtemos o seguinte sistema de equações 𝐴1 𝐴2 5 3𝐴1 𝐴2 3 Onde obtemos 𝐴1 2 e 𝐴2 3 Logo reescrevendo a função 𝑔𝑥 como soma de frações parciais obtemos 5𝑥 3 𝑥2 2𝑥 3 2 𝑥 1 3 𝑥 3 Portanto a integral fica como 5𝑥 3 𝑥2 2𝑥 3 𝑑𝑥 2 𝑥 1 3 𝑥 3 𝑑𝑥 2 𝑥 1 𝑑𝑥 3 𝑥 3 𝑑𝑥 Resolvendo as integrais obtemos 2 𝑥 1 𝑑𝑥 2 ln𝑥 1 𝐶 3 𝑥 3 𝑑𝑥 3 𝑙𝑛𝑥 3 𝐶 Portanto 5𝑥 3 𝑥2 2𝑥 3 𝑑𝑥 2 ln𝑥 1 3 ln𝑥 3 𝐶 Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 12 No segundo caso os fatores de 𝑔𝑥 são lineares e alguns se repetem O polinômio 𝑔𝑥 pode ser escrito como 𝑔𝑥 𝑥 𝑎𝑛𝑟𝑥 𝑎𝑛𝑟1 𝑥 𝑎𝑛 Desta forma reescrevemos a função como 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝐵1 𝑥 𝑎𝑛𝑟 𝐵2 𝑥 𝑎𝑛𝑟1 𝐵𝑛 𝑥 𝑎𝑛 Vejamos um exemplo Exemplo 4 Calcule 6𝑥 7 𝑥 22 𝑑𝑥 Pela descrição geral do método devemos conhecer os fatores do polinômio 𝑔𝑥 Sendo assim 𝑔𝑥 𝑥 22 𝑥 2𝑥 2 Logo o valor de 𝑎𝑛 é 2 pois é a raz do polinômio 𝑔𝑥 Agora reescrevendo a função obtemos 6𝑥 7 𝑥 22 6𝑥 7 𝑥2 4𝑥 4 𝐵1 𝑥 22 𝐵2 𝑥 2 𝐵1 𝑥 22 𝐵2 𝑥 2 Para dar sequência a resolução devemos encontrar os valores de 𝐵1 e 𝐵2 Calculando o mínimo múltiplo comum temse 6𝑥 7 𝑥 22 𝐵1 𝑥 22 𝐵2 𝑥 2 6𝑥 7 𝑥 22 𝐵1 𝑥 22 𝐵2𝑥 2 𝑥 2 6𝑥 7 𝐵1 𝐵2𝑥 2 6𝑥 7 𝐵2𝑥 2𝐵2 𝐵1 Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 13 Pela igualdade dos coeficientes e dos termos independentes obtemos o seguinte sistema de equações 𝐵2 6 𝐵1 2𝐵2 7 Onde obtemos 𝐵1 5 e 𝐵2 6 Logo reescrevendo a função 𝑔𝑥 como soma de frações parciais obtemos 6𝑥 7 𝑥 22 5 𝑥 22 6 𝑥 2 Portanto a integral fica como 6𝑥 7 𝑥 22 𝑑𝑥 5 𝑥 22 6 𝑥 2 𝑑𝑥 5 𝑥 22 𝑑𝑥 6 𝑥 2 𝑑𝑥 Resolvendo as integrais obtemos 5 𝑥 22 𝑑𝑥 5 𝑥 2 𝐶 6 𝑥 2 𝑑𝑥 6 𝑙𝑛𝑥 2 𝐶 Portanto 6𝑥 7 𝑥 22 𝑑𝑥 6 ln𝑥 2 5 𝑥 2 𝐶 Para o terceiro caso os fatores de 𝑔𝑥 são lineares e quadráticos irredutíveis e os fatores quadráticos não se repetem Para esse caso cada fator quadrático irredutível corresponde a uma fração parcial da forma 𝐶𝑥 𝐷 𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 14 Vejamos um exemplo Exemplo 5 Calcule 2𝑥2 𝑥 4 𝑥3 4𝑥 𝑑𝑥 Pela descrição geral do método devemos conhecer os fatores do polinômio 𝑔𝑥 Sendo assim 𝑔𝑥 𝑥3 4𝑥 𝑥 𝑥2 4 Logo a função racional 𝑓𝑥𝑔𝑥 terá um fator linear e um fator quadrático irredutível Agora reescrevendo a função obtemos 2𝑥2 𝑥 4 𝑥3 4𝑥 𝐴 𝑥 𝐶𝑥 𝐷 𝑥2 4 Para dar sequência a resolução devemos encontrar os valores de 𝐴 𝐶 e 𝐷 Calculando o mínimo múltiplo comum temse 2𝑥2 𝑥 4 𝑥3 4𝑥 𝐴 𝑥 𝐶𝑥 𝐷 𝑥2 4 2𝑥2 𝑥 4 𝑥3 4𝑥 𝐴𝑥2 4 𝑥3 4𝑥 𝐶𝑥 𝐷𝑥 𝑥3 4𝑥 2𝑥2 𝑥 4 𝐴𝑥2 4𝐴 𝐶𝑥2 𝐷𝑥 2𝑥2 𝑥 4 𝑥2𝐴 𝐶 𝐷𝑥 4𝐴 Pela igualdade dos coeficientes e dos termos independentes obtemos o seguinte sistema de equações 4𝐴 4 𝐷 1 𝐴 𝐶 2 Onde obtemos 𝐴 1 𝐶 1 e 𝐷 1 Logo reescrevendo a função 𝑔𝑥 como soma de frações parciais obtemos 2𝑥2 𝑥 4 𝑥3 4𝑥 1 𝑥 𝑥 1 𝑥2 4 Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 15 Portanto a integral fica como 2𝑥2 𝑥 4 𝑥3 4𝑥 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑥 1 𝑥2 4 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑥2 4 𝑑𝑥 Resolvendo as integrais obtemos 1 𝑥 𝑑𝑥 ln 𝑥 𝐶 𝑥 1 𝑥2 4 𝑑𝑥 1 2 ln𝑥2 4 1 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 2 𝐶 Portanto 2𝑥2 𝑥 4 𝑥3 4𝑥 𝑑𝑥 ln𝑥 1 2 ln𝑥2 4 1 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 2 𝐶 Para o quarto e último caso os fatores de 𝑔𝑥 são lineares e quadráticos irredutíveis e alguns dos fatores quadráticos se repetem Neste caso cada fator quadrático irredutível corresponde a uma fração parcial da forma 𝐶1𝑥 𝐷1 𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 𝐶2𝑥 𝐷2 𝑥2 𝑏𝑥 𝑐2 𝐶𝑛𝑥 𝐷𝑛 𝑥2 𝑏𝑥 𝑐𝑛 Vejamos um exemplo Exemplo 6 Calcule 1 𝑥 2𝑥2 𝑥3 𝑥𝑥2 12 𝑑𝑥 Pela descrição geral do método devemos conhecer os fatores do polinômio 𝑔𝑥 Sendo assim 𝑔𝑥 𝑥 𝑥2 1 𝑥2 1 Logo a função racional 𝑓𝑥𝑔𝑥 terá um fator linear e um fator quadrático irredutível que se repete Agora reescrevendo a função obtemos Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 16 1 𝑥 2𝑥2 𝑥3 𝑥𝑥2 12 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 𝐶 𝑥2 1 𝐷𝑥 𝐸 𝑥2 12 Para dar sequência a resolução devemos encontrar os valores de 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 e 𝐸 Calculando o mínimo múltiplo comum temse 1 𝑥 2𝑥2 𝑥3 𝑥𝑥2 12 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 𝐶 𝑥2 1 𝐷𝑥 𝐸 𝑥2 12 1 𝑥 2𝑥2 𝑥3 𝑥𝑥2 12 𝐴𝑥2 12 𝑥𝑥2 12 𝐵𝑥 𝐶𝑥𝑥2 1 𝑥𝑥2 12 𝐷𝑥 𝐸𝑥 𝑥𝑥2 12 Pela igualdade dos coeficientes e dos termos independentes e realizando as simplificações necessárias obtemos 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐸 0 Logo reescrevendo a função 𝑔𝑥 como soma de frações parciais obtemos 1 𝑥 2𝑥2 𝑥3 𝑥𝑥2 12 1 𝑥 𝑥 1 𝑥2 1 𝑥 𝑥2 12 Portanto a integral fica como 1 𝑥 2𝑥2 𝑥3 𝑥𝑥2 12 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑥 1 𝑥2 1 𝑥 𝑥2 12 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑥2 1 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 12 𝑑𝑥 Resolvendo as integrais obtemos Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 17 1 𝑥 𝑑𝑥 ln 𝑥 𝐶 𝑥 1 𝑥2 1 𝑑𝑥 1 2 ln𝑥2 1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝐶 𝑥 𝑥2 12 𝑑𝑥 1 2𝑥2 1 Portanto 1 𝑥 2𝑥2 𝑥3 𝑥𝑥2 12 𝑑𝑥 ln𝑥 1 2 ln𝑥2 1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 2𝑥2 1 𝐶 14 RESUMO Nesta aula estudamos as principais características que envolvem o cálculo de áreas através das integrais definidas Ainda sobre as integrais definidas estudamos e exemplificamos as propriedades mais importantes deste conteúdo Por fim conhecemos um novo método de integração o processo de integração por frações parciais Bons estudos Cálculo de áreas propriedades e técnicas de integração 18 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FLEMMING Diva M GONÇALVES Mirian B Cálculo A funções limite derivação integração livro eletrônico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 FACCIN Giovani Manzeppi Elementos de cálculo diferencial e integral livro eletrônico Curitiba Intersaberes 2015 LEITE Álvaro Emílio CASTANHEIRA Nelson Pereira Tópicos de cálculo I livro eletrônico Curitiba Intersaberes 2017 THOMAS George B WEIR Maurice D HASS Joel Cálculo livro eletrônico V 1 10ª edição São Paulo Pearson Education do Brasil 2002 THOMAS George B WEIR Maurice D HASS Joel Cálculo livro eletrônico V 1 12ª edição São Paulo Pearson Education do Brasil 2012