Aula 2: Hiperestática e Método das Forças

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Curso de Engenharia Civil Prof Me André Felipe Ap de Mello Teoria das Estruturas II Aula 2 Hiperestática Método das Forças 21 Determinação do grau hiperestático 22 O Método das Forças 23 Aplicações do método a estruturas usuais DETERMINAÇÃO DO GRAU HIPERESTÁTICO 21 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 2 Hiperestaticidade externa Seja a estrutura abaixo que possui 5 reações a se determinar Existem 4 equações para se determinar as reações 3 equações da estática mais uma de momento nulo na rótula Existe então a deficiência de uma equação para resolver o problema de cálculo de reações de apoio Esta deficiência é chamada de hiperestaticidade externa sendo o número de equações suplementares necessárias ao cálculo das reações de apoio DETERMINAÇÃO DO GRAU HIPERESTÁTICO 21 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 3 Hiperestaticidade interna Seja agora a estrutura abaixo cujas reações podem ser obtidas aplicando as equações da estática Isso não significa que a estrutura esteja resolvida pois o simples conhecimento das reações de apoio não possibilita traçar os diagramas pelo fato de ser uma estrutura fechada e não sabermos quais são as forças da direita e da esquerda DETERMINAÇÃO DO GRAU HIPERESTÁTICO 21 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 4 Hiperestaticidade interna Seria necessário então romper uma seção sendo necessário conhecer os esforços simples atuantes nessa seção Para a determinação desses esforços não se possuem as equações suplementares da estática sendo assim a estrutura tem grau hiperestático interno igual a 3 Portanto o grau hiperestático interno é o número de esforços simples cujo conhecimento possibilita traçar os diagramas solicitantes conhecidas as reações de apoio DETERMINAÇÃO DO GRAU HIPERESTÁTICO 21 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 5 Hiperestaticidade total A hiperestaticidade total g de uma estrutura é igual a soma da hiperestaticidade externa ge e interna gi 𝑔 𝑔𝑒 𝑔𝑖 𝑔 3𝑚 𝑟 3𝑗 𝑒𝑐 𝑚 número de barras 𝑗 número de nós 𝑟 número de reações 𝑒𝑐 número de equações de condição cada rótula com 𝑛 barras ligadas fornece 𝑛 1 equações de condição DETERMINAÇÃO DO GRAU HIPERESTÁTICO 21 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 6 Hiperestaticidade total Exemplos Rótula Rótula 𝑔 2 0 2 𝑔 3 2 1 𝑔 3 número de vigas 3 12 36 DETERMINAÇÃO DO GRAU HIPERESTÁTICO 21 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 7 Hiperestaticidade total Exemplos a 𝑚 5 𝑗 6 𝑟 8 𝑒𝑐 0 3𝑚 𝑟 3𝑗 𝑒𝑐 𝑔 5 b 𝑚 4 𝑗 4 𝑟 3 𝑒𝑐 0 3𝑚 𝑟 3𝑗 𝑒𝑐 𝑔 3 c 𝑚 6 𝑗 6 𝑟 4 𝑒𝑐 0 3𝑚 𝑟 3𝑗 𝑒𝑐 𝑔 4 𝑔 4 O MÉTODO DAS FORÇAS 22 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 8 Considerando a estrutura abaixo três vezes hiperestática que se deseja resolver Nenhuma alteração do ponto de vista estático ocorrerá se a considerarmos da forma indicada à direita Com essa consideração se rompe a quantidade de vínculos transformando a estrutura em isostática à qual se chama de sistema principal e para preservar a compatibilidade estática se introduzem os esforços hiperestáticos X1 X2 e X3 que continuam sendo as incógnitas do problema O MÉTODO DAS FORÇAS 22 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 9 Evidentemente para cada vínculo rompido se libera uma deformação que não existe de modo que se deve impor à estrutura do sistema principal a condição de serem nulos nas direções dos hiperestáticos no caso analisado temse rotações em A e B e deslocamento horizontal em B iguais a zero Assim para cada incógnita Xi existe uma equação dizendo que o deslocamento na direção de Xi é nulo Portanto a resolução de um problema n vezes hiperestático cairá na resolução de um sistema n x n em que cada equação exprimirá a condição de ser nulo o deslocamento na direção de cada hiperestático O MÉTODO DAS FORÇAS 22 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 10 É mais conveniente empregar o princípio da superposição de efeitos separando os efeitos do carregamento externo e de cada um dos hiperestáticos sendo que para estes normalmente se arbitra um valor unitário e esses valores devem ser multiplicados pelos fatores escala X1 X2 e X3 tais que façam com que os deslocamentos finais nas direções dos hiperestáticos sejam nulos O MÉTODO DAS FORÇAS 22 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 11 O MÉTODO DAS FORÇAS 22 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 12 Assim devese ter indexando as deformações indicadas por dois índices o primeiro se refere ao local e o segundo à causa da deformação Rotação em A 0 Rotação em B 0 Deslocamento horizontal em B 0 A solução deste sistema fornece os valores dos esforços hiperestáticos a partir dos quais pelas equações de equilíbrio podese obter os demais esforços externos ou internos 𝛿10 𝛿11𝑋1 𝛿12𝑋2 𝛿13𝑋3 0 𝛿20 𝛿21𝑋1 𝛿22𝑋2 𝛿23𝑋3 0 𝛿30 𝛿31𝑋1 𝛿32𝑋2 𝛿33𝑋3 0 O MÉTODO DAS FORÇAS 22 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 13 O valor dos deslocamentos 𝛿 pode ser obtido por aplicação do PTV Por exemplo o coeficiente 𝛿23 é a deformação na direção do hiperestático X2 rotação da tangente à elástica no sistema principal em B devida à aplicação de X3 1 Como se trata de cálculo de deformação em estrutura isostática temse Estado de carregamento dado pela aplicação de X2 1 no sistema principal Estado de deformação dado pela aplicação de X3 1 no sistema principal Portanto 𝛿23 resultará na combinação dos diagramas traçados no sistema principal para X2 1 e X3 1 O MÉTODO DAS FORÇAS 22 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 14 Analogamente um 𝛿𝑖0 resultará da combinação dos diagramas no sistema principal devido à aplicação do carregamento externo e do hiperestático Xi Podese escrever 𝛿𝑖𝑗 combinação dos diagramas resultantes da aplicação dos hiperestáticos Xi e Xj no sistema principal com valores arbitrados 𝛿𝑖0 combinação dos diagramas resultantes da aplicação do carregamento externo e do hiperestático Xi no sistema principal com valor arbitrado Os diagramas a combinar são evidentemente aqueles que influenciam no cálculo da deformação 𝛿 desejada O MÉTODO DAS FORÇAS 22 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 15 Escrevendo o sistema linear na forma matricial temse 𝛿10 𝛿20 𝛿30 𝛿11 𝛿12 𝛿13 𝛿21 𝛿22 𝛿23 𝛿31 𝛿32 𝛿33 𝑋1 𝑋2 𝑋3 0 0 0 Ao vetor 𝛿0 onde se tem a influência do carregamento externo chamase vetor dos termos de carga A matriz 𝛿 quadrada simétrica 𝛿𝑖𝑗 𝛿𝑗𝑖 é denominada matriz de flexibilidade da estrutura É a matriz que transforma os esforços hiperestáticos nas deformações que eles provocam Ela independe da solicitação externa sendo função apenas do sistema principal adotado O MÉTODO DAS FORÇAS 22 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 16 O vetor 𝑋 é denominado de vetor dos hiperestáticos A solução da equação matricial é dada pela equação a seguir em que 𝜷 é a matriz inversa da matriz de flexibilidade e é chamada matriz de rigidez da estrutura sendo também quadrada e simétrica 𝑋 𝛿 1 𝛿0 𝛽 𝛿0 O MÉTODO DAS FORÇAS 22 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 17 Os esforços finais na estrutura hiperestática são obtidos empregandose o princípio da superposição de efeitos 𝐸 𝐸0 𝐸𝑖 𝑋𝑖 𝐸0 esforço no sistema principal provocado pela solicitação externa 𝐸𝑖 esforço no sistema principal provocado pela aplicação do hiperestático 𝑋𝑖 com valor inicialmente arbitrado 𝑋𝑖 valor obtido para o hiperestático a partir da solução do sistema de equações de compatibilidade elástica ou da equação matricial O MÉTODO DAS FORÇAS 22 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 18 Roteiro para o Método das Forças 1 Escolha do sistema principal 2 Traçado dos diagramas do sistema principal 3 Obtenção dos 𝛿𝑖0 e 𝛿𝑖𝑗 4 Formulação do sistema de equações de compatibilidade elástica 5 Obtenção dos hiperestáticos Xi 6 Obtenção dos efeitos finais E e traçado dos diagramas APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 19 Exemplo 1 II3 Sussekind vol 2 Obter os diagramas solicitantes para a viga abaixo 𝐼 𝐼 3 𝐼 APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 20 Exemplo 2 II2 Sussekind vol 2 Obter o diagrama de momentos fletores para a estrutura abaixo 𝐼 𝐼 2 𝐼 5 6 𝐼 APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 21 Exemplo 3 II9a Sussekind vol 2 Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio para o pórtico abaixo devido ao carregamento indicado Pórtico 𝐸𝐼 2 104 kNm2 Tirante 𝐸𝐴 104 kN APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 22 Exemplo 4 06 Martha 1 ed Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático abaixo Somente considere deformações por flexão Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI 40 x 104 kNm2 APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 23 Exemplo 5 134 Kassimali 1 ed Determinar as reações de apoio e a força em cada elemento da treliça abaixo APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 24 Exemplo 6 1334 Kassimali 1 ed Determinar as reações de apoio e a força em cada elemento da treliça abaixo APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 25 Exemplo 7 17 Martha 1 ed Empregandose o Método das Forças obter os diagramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha abaixo A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJ 6EI para todas as barras APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 26 Exemplo 8 18 Martha 1 ed Empregandose o Método das Forças obter os diagramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha abaixo A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJ 3EI para todas as barras APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 27 Exemplo 9 22 Martha 1 ed Empregandose o Método das Forças obter os diagramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha abaixo A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJ 6EI para todas as barras APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 28 Exemplo 10 04 Martha 1 ed Determinar o diagrama de momento fletor para o pórtico abaixo que têm como solicitação um aumento uniforme de temperatura ΔT 12 C somente na viga Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E 108 kNm2 e coeficiente de dilatação térmica α 105 C Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia I 103 m4 Somente considere deformações por flexão APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 29 Exemplo 11 02 Martha 1 ed Determine o diagrama de momento fletor para o pórtico abaixo que é solicitado por uma força horizontal de 50 kN aplicada no apoio da direita e um recalque desse mesmo apoio de 6 mm para baixo Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E 108 kNm2 e seções transversais com momento de inércia I 103 m4 Considere apenas deformações por flexão APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 30 Exemplo 12 07 Martha 1 ed Para a viga contínua com dois vãos mostrada abaixo pedese o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças As seguintes solicitações atuam na estrutura concomitantemente Uma carga concentrada de 40 kN no centro de cada vão Aquecimento das fibras superiores da viga de ΔTs 50 C ao longo de toda a sua extensão as fibras inferiores não sofrem variação de temperatura isto é ΔTi 0 C Recalque vertical para baixo de 3 cm do apoio direito APLICAÇÕES DO MÉTODO A ESTRUTURAS USUAIS 23 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 31 Exemplo 12 07 Martha 1 ed A viga tem um material com módulo de elasticidade E 108 kNm2 e coeficiente de dilatação térmica α 105 C A viga tem seção transversal com área A 10 x 102 m2 e momento de inércia I 103 m4 A altura da seção transversal é h 060 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura REFERÊNCIAS SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural 6 ed Rio de Janeiro Globo 1983 v 2 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 32 MARTHA L F Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Rio de Janeiro Campus 2010