Cálculo de Deformações em Estruturas Isostáticas - Teoria das Estruturas II

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Curso de Engenharia Civil Prof Me André Felipe Ap de Mello Teoria das Estruturas II Aula 1 Cálculo de deformações em estruturas isostáticas 11 Aplicação do Teorema dos Trabalhos Virtuais aos corpos elásticos 12 Aplicação às estruturas usuais da prática 13 Cálculo de deformações devidas à variação de temperatura 14 Cálculo de deformações devidas a recalques de apoio APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 2 Considerase um ponto de material m em equilíbrio ou seja submetido a um conjunto de forças Pi tais quais a resultante 𝑹 é nula Imaginase que seja dado a esse ponto um deslocamento 𝜹 sem a introdução de nenhuma nova força no sistema isto é mantendo 𝑅 0 Este deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real pois para haver deslocamento real do ponto seria necessário introduzir uma nova força ao sistema que possibilite a existência de um deslocamento real do ponto m APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 3 O deslocamento Ԧ𝛿 nestas condições 𝑅 0 tratase de uma identidade puramente matemática chamada deslocamento virtual O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças Pi reais que atuam sobre o ponto m quando ele sofre um deslocamento virtual Ԧ𝛿 vale 𝑊 𝑅 Ԧ𝛿 0 Dizse então que para um ponto material em equilíbrio 𝑅 0 o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer é nulo Isso constitui o Princípio de dAlembert APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 4 Isso garante a aceitação do novo conceito trabalho virtual pois preserva para o ponto que sofreu um deslocamento virtual as suas duas condições de equilíbrio a estática traduzida pela resultante nula e a energética traduzida pelo trabalho virtual realizado nulo Como os corpos rígidos e elásticos nada mais são que um somatório ao infinito de pontos materiais podese dizer que Corpos rígidos para um corpo rígido em equilíbrio a soma algébrica dos trabalhos virtuais de todas as forças reais que sobre ele atuam é nula para todos os deslocamentos virtuais arbitrários compatíveis com os vínculos do corpo que a ele se imponham APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 5 Corpos elásticos para um corpo elástico que atingiu sua configuração de equilíbrio o trabalho virtual de todas as forças externas que sobre ele atuam é igual ao trabalho virtual das forças internas esforços simples nele atuantes para todos os deslocamentos virtuais arbitrários compatíveis com os vínculos do corpo que a ele se imponham APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 6 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr Seja a estrutura da figura abaixo submetida ao carregamento indicado Se tratando de um corpo elástico ela se deformará devido à estas cargas adquirindo a configuração esquematizada em pontilhado Fig 1 APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 7 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr As seções vizinhas distantes de ds terão deformações relativas devidas aos esforços simples M N e V nelas atuantes 𝒅𝝋 rotação relativa devia a M 𝚫𝒅𝒔 deslocamento axial devido a N e 𝒅𝒉 deslizamento devido a V Os valores dessas deformações são dados pela Resistência dos Materiais 𝑑𝜑 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑠 Δ𝑑𝑠 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑠 𝑑ℎ 𝜒 𝑉 𝐺𝐴 𝑑𝑠 E módulo de elasticidade longitudinal G módulo de elasticidade transversal A área da seção I momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro χ coeficiente de redução resultante da distribuição não uniforme das tensões cisalhantes APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 8 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr Supõese que para fins de raciocínio que se deseja calcular o deslocamento 𝛿 do ponto m na direção Δ Considerase agora a configuração da estrutura após a aplicação de uma carga unitária ത𝑃 1 indicada em traço cheio e que coincide com o eixo da estrutura quando descarregada Fig 2 APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 9 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr Dando a todos os pontos da estrutura com o carregamento unitário deslocamentos virtuais exatamente iguais aos provocados pelo carregamento real indicado esta assumirá a configuração deformada virtual indicada em pontilhado que é idêntica à configuração deformada real indicada anteriormente Fig 2 APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 10 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr Aplicase então à estrutura com carregamento unitário sob os deslocamentos virtuais impostos o teorema dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos elásticos que diz ser o trabalho virtual das forças externas igual ao trabalho virtual das forças internas para quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos da estrutura Temse Trabalho virtual das forças externas 𝑊𝑒𝑥𝑡 ത𝑃𝛿 APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 11 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr Trabalho virtual das forças internas Será igual a soma dos trabalhos virtuais de deformação de todos os elementos de comprimento ds ao longo da estrutura e como se trata de regime linear vale o princípio da superposição de efeitos Temse 𝑊𝑖𝑛𝑡 න 0 𝑙 ഥ𝑀𝑑𝜑 න 0 𝑙 ഥ𝑁Δ𝑑𝑠 න 0 𝑙 ത𝑉𝑑ℎ APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 12 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr Trabalho virtual das forças internas Levando em conta as expressões da Resistência dos Materiais 𝑊𝑖𝑛𝑡 න 0 𝑙 ഥ𝑀 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑠 න 0 𝑙 ഥ𝑁 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑠 න 0 𝑙 𝜒ത𝑉 𝑉 𝐺𝐴 𝑑𝑠 Igualando temse a expressão que resolve o problema ത𝑃𝛿 න 0 𝑙 ഥ𝑀 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑠 න 0 𝑙 ഥ𝑁 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑠 න 0 𝑙 𝜒ത𝑉 𝑉 𝐺𝐴 𝑑𝑠 APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 13 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr Observações a Para fins de cálculo dos trabalhos virtuais para o exemplo analisado tudo se passou como se a Fig 2 carga unitária fornecesse cargas e esforços e a Fig 1 carga real deformações Por esta razão elas são denominadas respectivamente estado de carregamento e estado de deformação APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 14 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr b A escolha do estado de carregamento deve ser tal que a carga ത𝑃 associada à deformação 𝛿 que se deseja calcular forneça um trabalho virtual de forças externas igual a ത𝑃𝛿 Ele é portanto função da deformação a calcular e pode ser comodamente tabelado para casos práticos usuais c O estado de deformação pode ser provocado por carregamento externo variação de temperatura recalques de apoio ou modificações impostas na montagem APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 15 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr d No caso de estruturas no espaço devese acrescentar o trabalho virtual das forças internas devidas ao momento de torção que vale න 0 𝑙 ത𝑇𝑑𝜃 න 0 𝑙 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑠 J momento de inércia à torção da seção que varia de acordo com a geometria APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 16 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr 𝐽 𝜋𝑅4 2 𝐽 𝜂𝑏3ℎ Com b h ℎ𝑏 1 15 2 3 4 6 8 10 𝜂 0140 0196 0229 0263 0281 0299 0307 0313 0333 Valores de 𝜂 APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 17 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr Desta forma sob a forma mais geral o cálculo de deformações em estruturas devidas a carregamento externo atuante é resolvido pela expressão 1 𝛿 න 0 𝑙 ഥ𝑀 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑠 න 0 𝑙 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑠 න 0 𝑙 ഥ𝑁 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑠 න 0 𝑙 𝜒ത𝑉 𝑉 𝐺𝐴 𝑑𝑠 APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 18 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr e Para estruturas usuais podese acrescentar as seguintes informações que simplificam o cálculo A parcela de força cortante pode ser usualmente desprezada em presença das demais com erro mínimo somente em casos de vãos muito curtos e cargas muito elevadas a influência do esforço cortante apresenta valor considerável න 0 𝑙 𝜒ത𝑉 𝑉 𝐺𝐴 𝑑𝑠 APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 19 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr Também com erro tolerável podese desprezar a parcela para peças que não trabalhem fundamentalmente ao esforço normal vigas por exemplo É evidente que esta parcela deve ser considerada no caso de arcos escoras tirantes barras de treliça pilares esbeltos e peças protendidas em geral Estas simplificações devem ser feitas com muito critério Em caso de dúvida afim de se evitar possíveis erros grosseiros devem ser computadas todas as parcelas න 0 𝑙 ഥ𝑁 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑠 APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 20 Cálculo de deformações devidas à atuação do carregamento externo Fórmula de Mohr f Para estruturas compostas por barras retas de inércia constante a resolução da parcela න 0 𝑙 ഥ𝑀 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑠 Pode ser simplificada pelo uso de tabelas calculadas em função das áreas dos diagramas 𝑀 e ഥ𝑀 o que simplifica muito o trabalho numérico dos problemas a solucionar APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 21 Escolha do estado de carregamento 1 Deslocamento linear de um ponto m numa direção Δ 2 Rotação da tangente à elástica numa seção S 3 Rotação relativa das tangentes à elástica numa rótula de 2 barras i e j 4 Rotação relativa das tangentes à elástica em 2 seções S e S de uma barra APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS AOS CORPOS ELÁSTICOS 11 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 22 Escolha do estado de carregamento 5 Rotação absoluta de uma corda AB 6 Rotação relativa de 2 cordas AB e CD 7 Variação do comprimento que une 2 pontos A e B APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS USUAIS DA PRÁTICA 12 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 23 Exemplo 1 Calcular o deslocamento vertical da extremidade da viga engastada abaixo submetida a uma carga 𝑃 5 kN e comparar com o valor exato obtido pela equação da linha elástica Considere 𝐸 200 GPa 𝐼 1200 cm4 𝐿 4 m Pela linha elástica 𝑓 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 24 Uso de tabelas para cálculo da parcela de momento fletor O processo é simplificado por meio da tabela de multiplicação de áreas assim a parcela do momento fletor é facilmente obtida 1 𝐸𝐼 න 0 𝑙 ഥ𝑀 𝑀 𝑑𝑠 Devese notar que todas as barras tenham inércia constante para a utilização da tabela APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS USUAIS DA PRÁTICA 12 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 25 Uso de tabelas para cálculo da parcela de momento fletor A tabela apresenta os produtos de ഥ𝑀 𝑀 portanto para obter o deslocamento total para cada barra devese multiplicar a relação 𝟏𝑬𝑰 Devese atentar a estruturas que apresentem barras com diferentes valores para EI Neste caso cada área deve ser multiplicada pela sua respectiva relação 1𝐸𝐼 APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS USUAIS DA PRÁTICA 12 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 26 Exemplo 2 I1 Sussekind vol 2 Calcular o deslocamento horizontal de D para o pórtico abaixo que tem para todas as barras 𝐸𝐼 2 105 kN m2 Considere 1 t 10 kN APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS USUAIS DA PRÁTICA 12 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 27 Exemplo 3 I3 Sussekind vol 2 Calcular a rotação da corda BC da grelha abaixo cujas barras tem 𝐸𝐼 105 kN m2 e 𝐸𝐼 𝐺𝐽 2 Considere 1 t 10 kN APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS USUAIS DA PRÁTICA 12 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 28 Exemplo 4 I4 Sussekind vol 2 Calcular a rotação da tangente à elástica em B para a estrutura abaixo 𝐸𝐼𝑐 2105 kN m2 Considere 1 t 10 kN 𝐼𝑐 2𝐼𝑐 5 3 𝐼𝑐 5 3 𝐼𝑐 APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS USUAIS DA PRÁTICA 12 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 29 Exemplo 5 I5 Sussekind vol 2 Calcular a rotação da corda CD para a grelha ilustrada abaixo cujas barras têm 𝐸𝐼 2106 kN m2 e 𝐸𝐼 𝐺𝐽 2 APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS USUAIS DA PRÁTICA 12 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 30 Exemplo 6 I8 Sussekind vol 2 Calcular o deslocamento vertical do ponto A para o carregamento indicado atuando na treliça abaixo cujas barras tem 𝐸𝐴 105 kN APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS USUAIS DA PRÁTICA 12 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 31 Exercícios propostos 1 Para o Exemplo 2 calcular a rotação no ponto C aplicar ഥ𝑀 1 em C 2 Para o Exemplo 3 calcular o deslocamento vertical em C aplicar ത𝑃 1 em C 3 Para o Exemplo 4 calcular o deslocamento horizontal em A aplicar ത𝑃 1 em A 4 Para o Exemplo 5 calcular o deslocamento vertical em C aplicar ത𝑃 1 em C 5 Para o Exemplo 6 calcular o deslocamento horizontal em A aplicar ത𝑃 1 em A APLICAÇÃO ÀS ESTRUTURAS USUAIS DA PRÁTICA 12 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 32 Seja a estrutura isostática da figura abaixo cujas fibras externas sofrem uma variação de temperatura te e cujas fibras internas uma variação ti em relação à temperatura do dia de execução da estrutura CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS À VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 13 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 33 Ao longo da altura das barras da estrutura a variação de temperatura entre as fibras externas e internas pode ser considerada linear de modo que no estado de deformação duas seções distantes de ds tendem a assumir a configuração deformada indicada CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS À VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 13 Deformações relativas Δ𝑑𝑠 𝛼 𝑡𝑔 𝑑𝑠 𝑑𝜑 𝛼 𝑡𝑖 𝑡𝑒 ℎ 𝑑𝑠 𝑑ℎ 0 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 34 Vêse então que duas seções distantes de ds sofrem um movimento relativo composto de duas partes a Deslocamento axial relativo de Δ𝑑𝑠 𝛼 𝑡𝑔 𝑑𝑠 sendo 𝑡𝑔 a variação de temperatura no centro de gravidade em relação ao dia de execução b Uma rotação relativa 𝑑𝜑 𝛼 𝑡𝑖 𝑡𝑒 ℎ 𝑑𝑠 𝛼 Δ𝑡 ℎ 𝑑𝑠 Sendo 𝛼 o coeficiente de dilatação térmica do material CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS À VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 13 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 35 Supondo que se queira calcular o deslocamento do ponto m na direção Δ o estado de carregamento será o indicado abaixo e o teorema dos trabalhos virtuais se escreverá quando se der a todos os pontos deslocamentos virtuais exatamente iguais aos provocados pela variação de temperatura CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS À VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 13 Estado de carregamento Esforços ഥ𝑀 ഥ𝑁 ത𝑉 Deformações virtuais relativas ൞ Δ𝑑𝑠 Δ𝑑𝑠 𝑑𝜑 𝑑𝜑 𝑑ℎ 𝑑ℎ 0 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 36 Aplicação do Teorema dos Trabalho Virtuais ത𝑃 𝛿 න 0 𝑙 ഥ𝑁 𝛼 𝑡𝑔 𝑑𝑠 න 0 𝑙 ഥ𝑀 𝛼 Δ𝑡 ℎ 𝑑𝑠 Para barras de seção constante temse ത𝑃 𝛿 𝛼 𝑡𝑔 න 0 𝑙 ഥ𝑁 𝑑𝑠 𝛼 Δ𝑡 ℎ න 0 𝑙 ഥ𝑀 𝑑𝑠 As integrais Representam as áreas dos diagramas de esforço normal 𝐴 ഥ𝑁 e de momento fletor 𝐴 ഥ 𝑀 no estado de carregamento portanto ത𝑃 𝛿 𝛼 𝑡𝑔 𝐴 ഥ𝑁 𝛼 Δ𝑡 ℎ 𝐴 ഥ 𝑀 CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS À VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 13 න 0 𝑙 ഥ𝑁 𝑑𝑠 e න 0 𝑙 ഥ𝑀 𝑑𝑠 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 37 Observações Para emprego destas expressões adotamse as seguintes conveções ഥ𝑁 será positivo quando de tração ഥ𝑀 será positivo quando tracionar as fibras internas da estrutura As variações de temperatura ti te e tg serão positivas quando se tratar de aumento de temperatura O valor de 𝛿 não é evidentemente afetado pela existência de esforços cortantes ou momentos torçores no estado de carregamento CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS À VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 13 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 38 Exemplo 7 I13 Sussekind vol 2 Calcular o deslocamento horizontal do ponto B se o pórtico abaixo sofrer a variação de temperatura indicada na figura em relação ao dia da sua execução As barras tem seção retangular de 05 m de altura O material tem 𝛼 105C CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS À VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 13 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 39 Exemplo 8 I14 Sussekind vol 2 Calcular deformações seguintes para a grelha abaixo se as fibras superiores forem aquecidas de 20ºC e as inferiores tiverem mantida a sua temperatura em relação ao dia da sua execução As barras tem seção retangular de 05 m de altura O material tem 𝛼 105C a Rotação da corda BC perpendicular ao plano ABC b Deslocamento do ponto C na direção BC CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS À VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 13 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 40 Considerando a estrutura abaixo submetida a recalques conhecidos conforme indicado Se for necessário calcular as deformações provocadas por estes recalques já se sabe como instituir o estado de carregamento e dar a ele deformações virtuais exatamente iguais as existentes no estado de deformação CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS A RECALQUES DE APOIO 14 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 41 Aplicando então o teorema dos trabalhos virtuais temse Trabalho virtual das forças externas ത𝑃𝛿 Σ ത𝑅𝜌 sendo ത𝑅 as reações de apoio no estado de carregamento e 𝜌 os recalques a elas correspondentes no estado de deformação Trabalho virtual das forças internas nulo visto que as deformações relativas no estado de deformação são nulas Portanto temse a expressão que resolve o problema ത𝑃𝛿 Σ ത𝑅𝜌 0 ത𝑃𝛿 Σ ത𝑅𝜌 CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS A RECALQUES DE APOIO 14 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 42 Exemplo 9 Calcular os deslocamentos horizontal e vertical do ponto B para o pórtico abaixo submetido aos recalques indicados CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS A RECALQUES DE APOIO 14 B A C D Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 43 Exemplo 10 I20 Sussekind vol 2 Calcular o deslocamento vertical do ponto A da grelha abaixo devido a recalques verticais para baixo de 2 cm em B e F e de 4 cm em D CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDAS A RECALQUES DE APOIO 14 REFERÊNCIAS SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural 6 ed Rio de Janeiro Globo 1983 v 2 Engenharia Civil Teoria das Estruturas II p 44 MARTHA L F Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Rio de Janeiro Campus 2010