Flambagem de Colunas - Aula 12

Prof Rodrigo Borges Santos 121 Carga crítica 122 Coluna ideal com apoios de pinos Exemplos 123 Colunas com vários tipos de apoios Exemplos 124 Exercícios propostos Resistência dos Materiais II Aula 12 Flambagem de Colunas UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Engenharia Mecânica 111 CARGA CRÍTICA Elementos estruturais podem estar sujeitos a cargas de compressão e se forem compridos e esbeltos a carga poderá ser grande o suficiente para provocar uma deflexão ou oscilação lateral Elementos estruturais compridos e esbeltos sujeitos a uma força de compressão axial são denominados colunas ou pilares e a deflexão lateral que ocorre é denominada flambagem Prof Rodrigo Borges Santos CARGA CRÍTICA A flambagem de uma coluna pode resultar em uma falha repentina de uma estrutura ou mecanismo e por isso é preciso dedicar especial atenção ao projeto de colunas para que estas possam suportar com segurança as cargas pretendidas sem sofrer flambagem A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está na iminência de sofrer flambagem é denominada carga crítica Pcr Se uma carga P aplicada for maior que Pcr ocorrerá flambagem 111 Prof Rodrigo Borges Santos CARGA CRÍTICA Para entender essa instabilidade considerase um mecanismo composto por duas barras sem peso rígidas e conectadas por pinos nas extremidades Quando as barras estão na posição vertical a mola de rigidez k não está esticada e uma pequena força vertical P é aplicada ao topo de uma delas É possível perturbar essa posição de equilíbrio deslocando o pino em A até uma pequena distância Δ 111 Prof Rodrigo Borges Santos CARGA CRÍTICA Como mostra o diagrama de corpo livre do pino quando as barras são deslocadas a mola produz uma força de recuperação F k Δ A carga aplicada P desenvolve duas componentes horizontais 𝑷𝒙 𝑷 𝒕𝒈 𝜽 que tendem a empurrar o pino e as barras ainda mais para fora da posição de equilíbrio Como 𝜽 é pequeno 𝜽 𝑳 𝟐 𝑒 𝒕𝒈 𝜽 𝜽 A força de restauração na mola será 𝑭 𝒌𝜽 𝑳 𝟐 e a força perturbadora 𝟐𝑷𝒙 𝟐𝑷𝜽 111 Prof Rodrigo Borges Santos CARGA CRÍTICA Se 𝐹 2𝑃𝑥 temse 𝑃 𝑘𝐿 4 equilíbrio estável 𝑃 𝑘𝐿 4 equilíbrio instável 𝑘𝜃 𝐿 2 2𝑃𝜃 Se 𝐹 2𝑃𝑥 Se 𝐹 2𝑃𝑥 carga crítica de flambagem 𝑃𝑐𝑟 𝑘𝐿 4 equilíbrio neutro 111 Prof Rodrigo Borges Santos COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Coluna ideal Coluna perfeitamente reta antes da carga feita de material homogêneo e na qual a carga é aplicada no centroide da seção transversal Considerase ainda que o material comportase de uma maneira linear elástica e que a coluna sofre flambagem ou flexão em um único plano Quando a carga crítica Pcr é atingida a coluna está na iminência de tornarse instável de modo que uma pequena força lateral F fará com que ela permaneça na posição defletida quando F for removida 112 Prof Rodrigo Borges Santos COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Qualquer ligeira redução na carga axial P em relação a Pcr fará com que a coluna endireitese e qualquer ligeiro aumento em P que ultrapasse Pcr provocará aumentos adicionais na deflexão lateral 112 Prof Rodrigo Borges Santos O fato de a coluna continuar estável ou tornarse instável quando sujeita a uma carga axial dependerá de sua capacidade de restauração que é baseada em sua resistência à flexão COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Pela equação da deflexão 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀 𝑃𝑣 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑃 𝐸𝐼 𝑣 0 Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes Sua solução geral é 𝑣 𝐶1sen 𝑃 𝐸𝐼 𝑥 𝐶2 cos 𝑃 𝐸𝐼 𝑥 112 Prof Rodrigo Borges Santos COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS As constantes de integração são determinadas pelas condições de contorno Em 𝒙 𝟎 𝒗 𝟎 𝑪𝟐 𝟎 Em 𝒙 𝑳 𝒗 𝟎 𝐶1sen 𝑃 𝐸𝐼 𝐿 0 Se 𝑪𝟏 𝟎 a coluna permaneceria sempre reta 𝑣 0 Portanto sen 𝑃 𝐸𝐼 𝐿 0 112 Prof Rodrigo Borges Santos COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Essa equação será satisfeita se 𝑷 𝑬𝑰 𝑳 𝒏𝝅 ou 𝑷 𝒏𝟐𝝅𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟐 sendo 𝑛 1 2 3 O menor valor de P é obtido quando 𝒏 𝟏 de modo que a carga crítica é 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 Essa carga é denominada Carga de Euler nome que se deve ao matemático suíço Leonhard Euler que foi o primeiro a resolver esse problema em 1757 112 Prof Rodrigo Borges Santos COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS A forma flambada corresponde a A constante C1 representa a deflexão máxima vmax que ocorre no ponto médio da coluna n representa o número de curvas meiaonda na forma defletida da coluna Se n 2 a coluna suportará uma carga crítica 4 vezes maior 4Pcr imediatamente antes da flambagem na prática essa forma de flambagem não existirá 𝑣 𝐶1sen 𝜋𝑥 𝐿 112 Prof Rodrigo Borges Santos COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Observações A carga crítica é independente da resistência do material ela depende somente das dimensões da coluna I e L e do módulo de elasticidade do material E A capacidade de carga de uma coluna aumentará à medida que o momento de inércia da seção transversal aumentar Uma coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal da seção transversal que tenha o menor momento de inércia eixo menos resistente 112 Prof Rodrigo Borges Santos 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Em resumo 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 𝑷𝒄𝒓 carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes do início da flambagem 𝑬 módulo de elasticidade para o material 𝑰 menor momento de inércia para a área da seção transversal da coluna 𝑳 comprimento da coluna sem apoio cujas extremidades estejam presas por pinos 112 Prof Rodrigo Borges Santos COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Podemos escrever a equação da carga crítica de uma forma mais útil introduzindo o coeficiente r 𝐼 𝐴𝑟2 denominado raio de giração 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸 𝐴𝑟2 𝐿2 Dividindo por A 𝜎𝑐𝑟 𝜋2𝐸 𝐿𝑟 2 𝝈𝒄𝒓 tensão crítica que é uma tensão média na coluna imediatamente antes da flambagem 𝒓 menor raio de giração da coluna 𝑟 𝐼𝐴 sendo I o menor momento de inércia da coluna 𝐿𝑟 índice de esbeltez utilizado para medir a flexibilidade de uma coluna 112 Prof Rodrigo Borges Santos 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 𝑃 𝐴 𝑐𝑟 𝜋2𝐸 𝐿𝑟 2 ou COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Para índice de esbeltez de até 89 a tensão admissível σy deve ser utilizada no dimensionamento Para uma esbeltez maior que 89 deve se utilizar a carga crítica no dimensionamento Para aço estrutural por exemplo traçando um gráfico 𝜎 𝐿𝑟 que é uma curva que diminui a medida que o índice de esbeltez aumenta Gráfico 𝜎 𝐿𝑟 para aço A36 112 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 132 Hibbeler 7 ed O elemento estrutural A36 W200 X 46 de aço mostrado na figura ao lado deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o aço escoe 𝐴 5890 𝑚𝑚2 𝐼𝑥 455 106 𝑚𝑚4 𝐼𝑦 153 106 𝑚𝑚4 112 COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 Solução Por inspeção ocorrerá flambagem em torno do eixo yy que tem menor inércia Quando totalmente carregada a tensão de compressão média na coluna é Visto que a tensão crítica 3205 Mpa ultrapassa a tensão de escoamento 250 Mpa a carga máxima é 𝑷𝒄𝒓 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 𝜋2 200 106 153 106 42 𝟏𝟖𝟖𝟕 𝟔 𝒌𝑵 𝝈𝒄𝒓 𝑃𝑐𝑟 𝐴 18876 5890 106 𝟑𝟐𝟎 𝟓 𝑴𝑷𝒂 𝟐𝟓𝟎 𝑃 5890 106 𝑷 𝟏𝟒𝟕𝟐 𝟓 𝒌𝑵 112 COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 101 Beer et al 7 ed Uma coluna de seção quadrada com 2 m de comprimento apoiada por pinos será feita de madeira Considerando E 13 GPa tensão admissível σu 12 MPa e um fator de segurança de 25 para calcular a carga crítica determine o tamanho da seção transversal para a coluna suportar com segurança a a carga de 100 kN e b a carga de 200 kN 112 COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 Solução a Carga de 100 kN 𝑃𝑐𝑟 100 25 250 kN Para a seção quadrada 𝐼 𝑃𝑐𝑟𝐿2 𝜋2𝐸 250 22 𝜋2 13 106 7794 106 𝑚4 𝐼 𝑎4 12 𝑎 4 12 7794 106 00983 𝑚 100 𝑚𝑚 Verificando a tensão normal media para a carga característica 𝜎 𝑃 𝐴 100 012 10 𝑀𝑃𝑎 Aplicando a formula de Euler Como 𝝈 𝝈𝒖 esta dimensão pode ser utilizada 112 COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 Solução b Carga de 200 kN 𝑃𝑐𝑟 200 25 500 kN 𝐼 15588 106 𝑚4 𝑎 117 𝑚𝑚 Verificando a tensão normal media para a carga característica 𝜎 𝑃 𝐴 200 01172 1462 𝑀𝑃𝑎 Aplicando a formula de Euler Como 𝝈 𝟏𝟒 𝟔𝟐 𝑴𝒑𝒂 𝝈𝒖𝟏𝟐 𝑴𝒑𝒂 a peça deve ser dimensionada com base na tensão admissível 12 103 200 𝑎2 𝑎 0129 𝑚 130 𝑚𝑚 112 COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS Prof Rodrigo Borges Santos 113 COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS Considerando o caso de uma coluna engastada na base e livre no topo A determinação da carga de flambagem nessa coluna segue o mesmo procedimento usado para a coluna presa por pinos O momento interno é dado por 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀 𝑃 𝛿 𝑣 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑃 𝐸𝐼 𝑣 𝑃 𝐸𝐼 𝛿 Essa equação é nãohomogênea por causa do termo não nulo no lado direito Prof Rodrigo Borges Santos COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS A solução consiste em uma solução complementar bem como uma solução particular 𝑣 𝐶1sen 𝑃 𝐸𝐼 𝑥 𝐶2 cos 𝑃 𝐸𝐼 𝑥 𝛿 Pelas condições de contorno Em 𝒙 𝟎 𝒗 𝟎 𝑪𝟐 𝜹 A equação da inclinação se torna 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝐶1 𝑃 𝐸𝐼 cos 𝑃 𝐸𝐼 𝑥 𝐶2 𝑃 𝐸𝐼 sen 𝑃 𝐸𝐼 𝑥 113 Prof Rodrigo Borges Santos COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS Em 𝒙 𝟎 𝒅𝒗𝒅𝒙 𝟎 𝑪𝟏 𝟎 Portanto a curva da deflexão é 𝑣 𝛿 1 cos 𝑃 𝐸𝐼 𝑥 Considerando que a deflexão no topo da coluna x L é δ temse 𝛿 cos 𝑃 𝐸𝐼 𝐿 0 113 Prof Rodrigo Borges Santos 𝑣 𝐶1sen 𝑃 𝐸𝐼 𝑥 𝐶2 cos 𝑃 𝐸𝐼 𝑥 𝛿 0 𝜹 COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS A solução trivial 𝛿 0 indicaria que não existe deformação no topo portanto A menor carga crítica ocorre quando n 1 portanto cos 𝑃 𝐸𝐼 𝐿 0 ou 𝑃 𝐸𝐼 𝐿 𝑛 𝜋 2 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 4𝐿2 Uma coluna engastada na base e livre no topo suporta ¼ da carga que uma coluna apoiada por pinos de mesmas propriedades suportaria 113 Prof Rodrigo Borges Santos COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS Comprimento efetivo A fórmula de Euler foi desenvolvida para o caso de uma coluna com extremidades presas por pinos ou livres para girar Em outras palavras L na equação representa a distância sem apoio entre os pontos de momento nulo Se a coluna for apoiada de outros modos então a fórmula de Euler poderá ser usada para determinar a carga crítica desde que L represente a distância entre pontos de momento nulo Essa distância é denominada comprimento efetivo da coluna Le Geralmente em normas ele é representado por um coeficiente K 𝑳𝒆 𝑲𝑳 113 Prof Rodrigo Borges Santos COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS Casos gerais de apoio Extremidades presas por pinos Uma extremidade engastada e outra livre Extremidades engastadas Uma extremidade engastada e outra presa por pino 113 Prof Rodrigo Borges Santos COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS Casos gerais de apoio Com base nessa generalidade a fórmula de Euler pode ser escrita como 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐾𝐿 2 ou 𝜎𝑐𝑟 𝜋2𝐸 𝐾𝐿𝑟 2 A expressão 𝑲𝑳𝒓 representa o índice de esbeltez efetivo da coluna 113 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 133 Hibbeler 7 ed Uma coluna de aço W 150 x 24 tem 8 m de comprimento e as extremidades engastadas Sua capacidade de carga é aumentada pelas escoras de reforço em torno do eixo yy fraco Consideramos que essas escoras estejam apoiadas por pinos no ponto médio da altura da coluna Determine a carga que a coluna pode suportar sem flambagem e sem que o material ultrapasse a tensão de escoamento Dados 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝜎𝑒 410 𝑀𝑃𝑎 4 m 4 m 113 COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 Solução Da tabela de perfis laminados os momentos de inércia são 𝐼𝑥 134 106 𝑚4 𝐼𝑦 183 106 𝑚4 Os comprimentos efetivos de flambagem serão Eixo xx extremidades engastadas 𝑳𝒆𝒙 05 𝐿 05 8 𝟒 𝒎 Eixo yy extremidade engastadaapoiada 𝑳𝒆𝒚 07 𝐿 2 07 4 𝟐 𝟖 𝒎 4 m 28 m Eixo xx Eixo yy 113 COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 Solução Aplicando a formula de Euler 4 m 28 m Eixo xx Eixo yy 𝑷𝒄𝒓𝒙 𝜋2 200 106 134 106 42 𝟏𝟔𝟓𝟑 𝟏𝟔 𝐤𝐍 𝑷𝒄𝒓𝒚 𝜋2 200 106 183 106 282 𝟒𝟔𝟎 𝟕𝟓 𝐤𝐍 Por comparação a flambagem ocorrerá em torno do eixo yy A tensão normal média será 𝝈 𝑃𝑐𝑟𝑦 𝐴 46075 3060 106 𝟏𝟓𝟎 𝟔 𝐌𝐏𝐚 Como esta tensão é menor que a tensão de escoamento a carga de 4608 kN é a máxima que pode ser aplicada 113 COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 Solução Outro modo de obter o eixo que a flambagem ocorrerá é pelo índice de esbeltez efetivo A flambagem ocorrerá para o eixo que tiver o maior índice e menor será a tensão crítica da coluna para este eixo Neste caso 4 m 28 m Eixo xx Eixo yy 𝐾𝐿 𝑟 𝑥 𝐿𝑒 𝐼 𝐴 4 134 106 3060 106 6045 𝑲𝑳 𝒓 𝒚 𝐿𝑒 𝐼 𝐴 28 183 106 3060 106 𝟏𝟏𝟒 𝟓 113 COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 4 134 Hibbeler 7 ed A coluna de alumínio está presa na base e seu topo está ancorado por cabos de modo a impedir que o topo movimentese ao longo do eixo x Se considerarmos que ela está fixa na base determine a maior carga admissível P que pode ser aplicada Use um fator de segurança para flambagem FS 30 Dados 𝐸 70 𝐺𝑃𝑎 𝜎𝑒 215 𝑀𝑃𝑎 𝐴 75 103 𝑚2 𝐼𝑥 613 106 𝑚4 𝐼𝑦 232 106 𝑚4 113 COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 4 Solução Para flambagem xx K 2 𝐿𝑒𝑥 10 𝑚 Para flambagem yy K 07 𝐿𝑒𝑦 35 𝑚 As cargas críticas para cada caso são A carga admissível e tensão crítica 𝑷𝒄𝒓𝒙 𝜋2 70 106 613 106 102 𝟒𝟐𝟑 𝟓 𝐤𝐍 𝑷𝒄𝒓𝒚 𝜋2 70 106 232 106 352 𝟏𝟑𝟎𝟖 𝟒𝟑 𝐤𝐍 𝑷𝒂𝒅𝒎 𝑃𝑐𝑟 𝐹𝑆 4235 30 𝟏𝟒𝟏 𝟏𝟕 𝐤𝐍 𝝈𝒄𝒓 𝑃𝑐𝑟 𝐴 4235 75 103 𝟓𝟔 𝟒𝟕 𝐌𝐏𝐚 215 MPa 113 COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS Prof Rodrigo Borges Santos Exercício 1 Prob 133 e 134 Hibbeler 7 ed EXERCÍCIOS PROPOSTOS Uma coluna de aço A36 tem comprimento de 4 m Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura determine a carga crítica se a Ela está presa por pinos em ambas as extremidades b A coluna for engastada na base e presa por pinos no topo 114 Resposta a 𝑃𝑐𝑟 227 kN b 𝑃𝑐𝑟 464 kN Prof Rodrigo Borges Santos Exercício 2 Prob 138 Hibbeler 7 ed EXERCÍCIOS PROPOSTOS Uma coluna de aço A36 tem comprimento de 5 m e está engasta da em ambas as extremidades Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura determine a carga crítica Resposta 𝑃𝑐𝑟 2721 kN 114 Prof Rodrigo Borges Santos Exercício 3 Prob 1312 Hibbeler 7 ed EXERCÍCIOS PROPOSTOS Determine a força máxima P que pode ser aplicada ao cabo de modo que a haste de controle de aço A36 AB não sofra flambagem A haste tem diâmetro de 30 mm e está presa por pinos nas extremidades Resposta 𝑃 646 kN 114 Prof Rodrigo Borges Santos Exercício 4 Prob 1322 Hibbeler 7 ed EXERCÍCIOS PROPOSTOS O mecanismo articulado é composto por duas hastes de aço A 36 cada uma com seção transversal circular Determine com aproximação de múltiplos de 5 mm o diâmetro de cada haste que suportará uma carga de 45 kN Considere que as extremidades das hastes estejam acopladas por pinos Use fator de segurança FS 18 para flambagem Resposta 𝑑𝐴𝐵 𝑑𝐵𝐶 40 𝑚𝑚 114 Prof Rodrigo Borges Santos Exercícios complementares Hibbeler 7 ed Problemas Capítulo 13 136 137 139 1310 1311 1314 1315 1316 1317 1318 1319 1321 1323 1325 1327 1329 1334 1336 1340 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 114 Prof Rodrigo Borges Santos BEER FP JOHNSTON Jr ER et al Mecânica dos Materiais 7 ed Porto Alegre McGrawHill 3015 REFERÊNCIAS HIBBELER RC Resistência dos Materiais 7 ed Rio de Janeiro Pearson PrenticeHall 3010 GERE J M GOODNO B J Mecânica dos Materiais Tradução da 7ª Edição NorteAmericana 1 ed São Paulo Cengage Learning 3011 Prof Rodrigo Borges Santos