Transformação de Tensão: Componentes e Exemplos

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Engenharia Mecânica Prof Rodrigo Borges Santos 41 Transformação de tensão no plano 411 Exemplos 42 Equações gerais de transformação de tensão no plano 421 Exemplos 43 Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima no plano 431 Exemplos 44 Exercícios Propostos Resistência dos Materiais II Aula 4 Transformações de Tensão parte 1 Objetivo desta aula é mostrar como transformar as componentes de tensão associadas a um determinado sistema de coordenadas em componentes associadas a um sistema de coordenadas com uma orientação diferente de forma a obter a tensão normal máxima e a tensão de cisalhamento máxima em um ponto e determinar a orientação dos elementos sobre os quais elas agem TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 4 Prof Rodrigo Borges Santos O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento A tensão produzida em um elemento estrutural pode ser analisada em um único plano Quando isso ocorre o material está sujeito a tensões no plano TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO 41 Prof Rodrigo Borges Santos Se o estado de tensão em um ponto for definido pelas três componentes de tensão σx σy τxy então um elemento que tenha uma orientação diferente estará sujeito a três componentes diferentes de tensão σx σy τxy que representam o mesmo estado de tensão nesse ponto TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO 41 Prof Rodrigo Borges Santos O estado plano de tensão em um ponto da superfície da fuselagem do avião é representado no elemento orientado como mostra a figura Represente o estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada EXEMPLOS 411 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 91 Hibbeler 7 ed O elemento é secionado pela reta aa EXEMPLOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 Solução Diagrama de corpo livre do segmento 411 Aplicando as equações de equilíbrio de força nas direções x e y EXEMPLOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 Solução 415 MPa Resposta 0 sen30 cos30 25 sen30 sen30 80 cos30 sen30 25 cos30 cos30 50 0 x x x A A A A A F 68 8 MPa Resposta 0 cos30 sen30 25 sen30 cos30 80 cos30 cos30 25 cos30 sen30 50 0 xy xy y A A A A A F 411 Repetindo o procedimento para obter a tensão no plano perpendicular bb EXEMPLOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 Solução 68 8 MPa Resposta 0 sen30 cos30 50 sen30 sen30 25 cos30 sen30 80 cos30 cos30 25 0 xy xy y A A A A A F 25 8 MPa Resposta 0 sen30 sen30 50 cos30 cos30 25 cos30 cos30 80 cos30 sen30 25 0 x x x A A A A A F 411 O estado de tensão no ponto pode ser representado por um elemento orientado EXEMPLOS Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 Solução Os estados de tensão são equivalentes 411 Convenção de sinal Tensão normal positiva σ age para fora de todas as faces do elemento Tensão de cisalhamento positiva τ age para cima na face direita do elemento Ângulo positivo θ giro no sentido antihorário EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO 42 Prof Rodrigo Borges Santos Componentes de tensão normal e de cisalhamento EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO Prof Rodrigo Borges Santos Um elemento é secionado ao longo do plano inclinado O segmento tem área secionada ΔA e suas faces ΔAsenθ e ΔAcosθ Diagrama de corpo livre resultante 42 Componentes de tensão normal e de cisalhamento EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO Prof Rodrigo Borges Santos Aplicando as equações de equilíbrio de força podese determinar σx e τxy 1 2 42 Componentes de tensão normal e de cisalhamento EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO Prof Rodrigo Borges Santos As equações 1 e 2 podem ser simplificadas utilizando as identidades trigonométricas Assim obtemos cos2 sen2 2 sen2 cos2 2 2 xy y x y x xy y x y x x Se for necessário obter a tensão normal que age na direção y substituir θθ90na equação 3 que resulta em 3 4 sen2 cos2 2 2 xy y x y x y 5 42 EXEMPLOS 421 Prof Rodrigo Borges Santos O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na figura Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada Exemplo 2 92 Hibbeler 7 ed Prof Rodrigo Borges Santos Pela convenção de sinal temos Exemplo 2 Solução 30 25 MPa 50 MPa 80 MPa xy y x 68 8 MPa Resposta cos2 sen2 2 25 8 MPa Resposta sen2 cos2 2 2 xy y x y x xy y x y x x Componentes de tensão no plano CD Os sinais negativos indicam que as tensões agem nas direções de x e y negativos EXEMPLOS 421 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 Solução 60 25 MPa 50 MPa 80 MPa xy y x Componentes de tensão no plano BC 68 8 MPa Resposta cos2 sen2 2 415 MPa Resposta sen2 cos2 2 2 xy y x y x xy y x y x x Os resultados são Aqui τxy foi calculada duas vezes como confirmação EXEMPLOS 421 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 Solução EXEMPLOS Componentes de tensão 30 25 MPa 50 MPa 80 MPa xy y x Como alternativa a tensão no eixo y poderia ser calculada pela eq5 MPa xy y x y x y 415 sen2 cos2 2 2 421 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA 43 Prof Rodrigo Borges Santos Na prática da Engenharia muitas vezes é importante determinar a orientação dos planos que fazem com que a tensão normal seja máxima e mínima e a orientação dos planos que fazem com que a tensão de cisalhamento seja máxima Tensões principais de tração Ruptura por tração Ruptura por cisalhamento torção Tensões principais de tração Para determinar a tensão máxima e mínima temos que diferenciar a equação 3 em relação a θ e igualar o resultado a zero o que dá TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Prof Rodrigo Borges Santos Tensões principais no plano 0 cos2 2 2sen2 2 sen2 cos2 2 2 xy y x x xy y x y x x d d Resolvendo a equação 6 obtemos a orientação θ θp dos planos da tensão normal máxima e mínima 2 2 y x xy p tg 6 7 43 A solução tem duas raízes θp1 e θp2 Os valores de 2θp1 e 2θp2 estão afastados um do outro por 180º portanto θp1 e θp2 estão afastados por 90º Os valores de θp1 e θp2 devem ser substituídos na equação 3 se quisermos obter as tensões exigidas TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Prof Rodrigo Borges Santos Tensões principais no plano Podemos obter os necessários seno e cosseno de 2θp1 e 2θp2 pelos triângulos mostrados na figura construídos com base na equação 7 43 Temos para θp1 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Prof Rodrigo Borges Santos Tensões principais no plano Temos para θp2 43 Se qualquer dos conjuntos de relações trigonométricas anteriores for substituído na equação 3 e simplificando obtémse TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Prof Rodrigo Borges Santos Tensões principais no plano 2 1 2 2 1 2 onde 2 2 xy y x y x 8 Esse conjunto particular de valores são denominados tensões principais no plano σmáx e σmin e os planos correspondentes sobre os quais agem são denominados planos principais de tensão Obs σmáx σ1 e σmin σ2 43 Se as relações trigonométricas para θp1 e θp2 forem substituídas na equação 4 podemos ver que τxy 0 isto é nenhuma tensão de cisalhamento age nos planos principais TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Prof Rodrigo Borges Santos Tensões principais no plano 43 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Prof Rodrigo Borges Santos Tensão de cisalhamento máxima no plano Para determinar a tensão de cisalhamento máxima temos que diferenciar a equação 4 em relação a θ e igualar o resultado a zero 0 2sen2 2cos2 2 cos2 sen2 2 xy y x y x xy y x y x d d Resolvendo a equação 9 obtemos a orientação θ θs dos planos da tensão de cisalhamento máxima xy y x s tg 2 2 10 9 43 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Prof Rodrigo Borges Santos Tensão de cisalhamento máxima no plano As duas raízes θs1 e θs2 podem ser determinadas pelos triângulos mostrados na figura construídos com base na equação 10 Tomando os valores trigonométricos de sen2θs e cos2θs da figura e substituindo na equação 4 o resultado é 2 2 no plano máx 2 xy y x E substituindo os valores de sen2θs e cos2θs na eq 3 obtemos a tensão normal média 2 méd y x 11 12 43 De acordo com as figuras abaixo cada raiz de 2θs está a 90º de 2θp Logo as raízes θs e θp estão a 45º uma da outra e o resultado é que os planos para tensão de cisalhamento máxima podem ser determinados orientando um elemento a 45º em relação à posição de um elemento que define os planos da tensão principal TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Prof Rodrigo Borges Santos Tensão de cisalhamento máxima no plano 43 Quando a carga de torção T é aplicada à barra ela produz um estado de tensão de cisalhamento puro no material Determine a a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada e b as tensões principais Prof Rodrigo Borges Santos EXEMPLOS 431 Exemplo 3 93 Hibbeler 7 ed Prof Rodrigo Borges Santos EXEMPLOS Exemplo 3 Solução Pela convenção de sinais xy y x 0 e 0 Assim como esperado a tensão de cisalhamento máxima no plano é representada pelo elemento no plano xy 2 2 max 2 xy y x 0 2 méd y x Tensão cisalhante máxima Tensão normal média 431 Prof Rodrigo Borges Santos EXEMPLOS Exemplo 3 Solução Tensões principais 135º º 45 270º º 90 2 0 2 0 2 2 p p y x xy p tg 2 2 2 1 2 2 2 1 0 0 2 2 xy y x y x Para θp 45º sen90º 0 0 sen2 cos2 2 2 x xy y x y x x Obs Materiais frágeis falham por conta da tensão normal É por isso que quando um material frágil como o ferro fundido é submetido à torção falha sob tração à inclinação de 45 Orientação dos planos 431 Prof Rodrigo Borges Santos EXEMPLOS Exemplo 4 94 Hibbeler 7 ed Quando a carga axial P é aplicada à barra na figura produz uma tensão de tração no material Determine a as tensões principais e b a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada 431 Prof Rodrigo Borges Santos EXEMPLOS Exemplo 4 Solução Pela convenção de sinais 0 0 e xy y x O elemento orientado como mostra a figura ilustra uma condição de tensão principal visto que nenhuma tensão de cisalhamento age nesse elemento Isso também pode ser mostrado por substituição direta dos valores acima nas equação 8 0 2 1 431 Prof Rodrigo Borges Santos EXEMPLOS Exemplo 4 Solução Tensão de cisalhamento máxima Orientação do plano 45º 135º 90º 270º 2 0 0 2 2 2 s s xy y x s tg 2 0 2 0 2 2 2 max 2 2 max xy y x Para θs 45º 2 sen90º 0cos90º 2 0 cos2 sen2 2 y x xy y x y x 431 Prof Rodrigo Borges Santos EXEMPLOS Exemplo 4 Solução Tensão de cisalhamento máxima No plano de cisalhamento máximo atua a tensão normal média 2 2 0 2 méd y x Obs Como estudos experimentais constataram que a tensão normal provoca falha em materiais frágeis se a barra for feita de material frágil como ferro fundido a tensão normal provocará ruptura 431 Prof Rodrigo Borges Santos EXEMPLOS Exemplo 5 95 e 96 Hibbeler 7 ed O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é representado no elemento mostrado na figura ao lado a Represente esse estado de tensão em termos das tensões principais b Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada 431 Prof Rodrigo Borges Santos EXEMPLOS Exemplo 5 Solução Pela convenção de sinais MPa MPa MPa xy y x 60 90 20 Tensões principais 66 º3 º 90 23 7 º 4749º 2 90 2 20 60 2 2 1 2 2 p p p p p tg MPa MPa 46 4 116 81 4 35 60 2 90 20 2 90 20 2 1 2 2 2 1 Orientação dos planos 431 Prof Rodrigo Borges Santos EXEMPLOS Exemplo 5 Solução 35 MPa 2 méd y x Tensão normal média 1113 213 60 90 2 20 tg2 1 2 s s s Tensão cisalhante máxima 81 4 MPa 60 2 90 20 2 2 máx Orientação dos planos 431 Prof Rodrigo Borges Santos 44 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 1 Prob 911 Hibbeler 7 ed Determine o estado de tensão equivalente em um elemento se ele estiver orientado a 60 em sentido horário em relação ao elemento mostrado Prof Rodrigo Borges Santos 44 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 2 Prob 916 Hibbeler 7 ed O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento Determine a as tensões principais e b a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto Especifique a orientação do elemento em cada caso Prof Rodrigo Borges Santos 44 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 3 Prob 925 Hibbeler 7 ed Um bloco de madeira falhará se a tensão de cisalhamento que age ao longo da fibra for 385 MPa Se a tensão normal σx 28 MPa determine a tensão de compressão σy necessária para provocar ruptura Prof Rodrigo Borges Santos 44 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 4 Prob 926 Hibbeler 7 ed A viga T está sujeita ao carregamento distribuído aplicado ao longo de sua linha central Determine as tensões principais nos pontos A e B e mostre os resultados em elementos localizados em cada um desses pontos Prof Rodrigo Borges Santos 44 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 5 Prob 726 Beer et al 7 ed O tubo de aço AB tem um diâmetro externo de 102 mm e espessura de parede de 6 mm Sabendo que o braço CD é rigidamente conectado ao tubo determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto K Prof Rodrigo Borges Santos 44 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercícios complementares Hibbeler 7 ed Problemas Capítulo 9 97 a 916 918 919 922 923 927 929 930 935 936 937 938 941 946 951 BEER FP JOHNSTON Jr ER et al Mecânica dos Materiais 7 ed Porto Alegre McGrawHill 2015 REFERÊNCIAS HIBBELER RC Resistência dos Materiais 7 ed Rio de Janeiro Pearson PrenticeHall 2010 GERE J M GOODNO B J Mecânica dos Materiais Tradução da 7ª Edição NorteAmericana 1 ed São Paulo Cengage Learning 2011 Prof Rodrigo Borges Santos 45