Método dos Momentos de Área na Deflexão de Vigas

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Engenharia Mecânica 101 Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área Exemplos 102 Método da superposição Exemplos 103 Exercícios propostos Resistência dos Materiais II Aula 10 Deflexão em Vigas e Eixos parte 2 Prof Rodrigo Borges Santos 101 MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA É um método que proporciona uma técnica parcialmente gráfica para determinar a inclinação e o deslocamento em pontos específicos sobre a linha elástica de uma viga ou eixo Exige o cálculo de áreas associadas ao diagrama de momento da viga O método é muito conveniente de usar para diagramas de forma simples Premissas a viga é inicialmente reta é deformada elasticamente tal que a inclinação e a deflexão da linha elástica são muito pequenas e as deformações são causadas por flexão Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA É baseado em dois teoremas Teorema 1 Considere a viga simplesmente apoiada com sua linha elástica associada O momento interno M deforma o elemento dx da viga tal que as tangentes à linha elástica interceptamse em um ângulo dθ 101 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA Teorema 1 Esse ângulo dθ pode ser determinado por Se construirmos o diagrama de momento fletor para a viga e o dividirmos por EI então dθ é igual a área sob o diagrama MEI para o segmento de viga dx Para pequenas inclinações Portanto 101 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA Integrando entre um ponto A e outro ponto B selecionados sobre a linha elástica temos Teorema 1 O ângulo entre as tangentes em dois pontos quaisquer sobre a linha elástica é igual à área sob o diagrama MEI entre esses dois pontos θBA é medido em sentido antihorário da tgA até a tgB se a área de MEI for positiva Se a área for negativa será medido em sentido horário da tgA até a tgB 101 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA Teorema 2 Considere a vista ampliada do desvio vertical dt das tangentes de cada lado do elemento diferencial dx O desvio dt provocado pela curvatura do elemento dx é medido ao longo de uma reta vertical que passa pelo ponto A localizado sobre a linha elástica Para pequenas deflexões podemos aproximar o comprimento de cada reta tangente por x e o arco ds por dt Portanto 101 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA Teorema 2 Substituindo na equação o desvio vertical da tangente em A em relação a tangente em B é EIdx x M t B A A B EIdx M x t B A A B Visto que o centroide de uma área é dado por e representa a área sob a curva do diagrama MEI temos 101 e integrando de A a B Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA O segundo teorema dos momentos de área pode ser enunciado da seguinte maneira Teorema 2 O desvio vertical da tangente em um ponto A sobre a linha elástica em relação à tangente traçada desde outro ponto B é igual ao momento da área sob o diagrama MEI entre esses dois pontos A e B Esse momento é calculado em torno do ponto A onde o desvio vertical deve ser determinado Se o momento de uma área MEI for positiva de A a B para tBA indica que o ponto B está acima da tgA Áreas MEI negativas indicam que o ponto B está abaixo da tgA 101 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA Exemplo 1 127 Hibbeler 7 ed Determine a inclinação da viga nos pontos B e C EI é constante 101 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA Exemplo 1 solução Primeiro o diagrama MEI é desenhado As tangentes em B e C são necessárias para determinar θB e θC A tangente no apoio A tem uma inclinação conhecida zero Pelo desenho o ângulo entre tgA e tgB é equivalente a θBA onde A linha elástica é côncava para baixo visto que MEI é negativo C A C B A B Curva Elástica 101 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA Exemplo 1 solução Aplicando o Teorema 1 8 3 2 2 2 1 2 2 2 EI PL L EI PL L EI PL B A B 2 2 1 2 EI PL EI L PL C A C Sinal negativo ângulo medido da tgA até a tgB é em sentido horário 101 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA Exemplo 2 128 Hibbeler 7 ed Determine o deslocamento dos pontos B e C da viga EI é constante 101 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA Exemplo 2 solução Primeiro o diagrama MEI é desenhado O momento conjugado em C provoca a deflexão da viga como mostrado As tangentes em B e C são necessárias para determinar ΔB e ΔC A tangente no apoio A é horizontal Especificamente ΔB é igual ao desvio da tgA em relação à tgB isto é C A C B A B t t Curva Elástica 101 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DOS MOMENTOS DE ÁREA Exemplo 2 solução Aplicando o Teorema 2 EIdx M x t B A A B 8 2 4 2 0 0 EI M L L EI M L t B A B 2 2 2 0 0 EI M L L EI M L t C A C Como ambas as respostas são negativas elas indicam que os pontos B e C encontramse abaixo da tangente em A 101 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO A equação w x EI d v dx 4 4 satisfaz os dois requisitos necessários para aplicação do princípio da superposição 1 Carga wx é linearmente relacionada a deflexão 2 Considerase que a carga não mude significativamente a geometria original da viga ou do eixo Como resultado as deflexões para uma serie de cargas separadas que agem sobre uma viga podem ser superpostas Se v1 for a deflexão para uma carga e v2 a deflexão para outra a deflexão total para ambas as cargas agindo em conjunto será a soma algébrica v1v2 Os exemplos a seguir ilustram como usar o método da superposição para resolver problemas de deflexão 102 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO Exemplo 3 1213 Hibbeler 7 ed Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no apoio A da viga mostrada na figura a EI é constante 102 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO Exemplo 3 solução A carga pode ser separada em duas partes componentes como mostram as figuras 102 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO Exemplo 3 solução O deslocamento em C e a inclinação em A são determinados por meio da tabela apêndice C Hibbeler 7 ed Para carga distribuída de 2 kNm 102 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO Exemplo 3 solução Para força concentrada de 8 kN O deslocamento em C e a inclinação em A são determinados por meio da tabela apêndice C Hibbeler 7 ed 102 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO Exemplo 3 solução O deslocamento total em C e a inclinação em A são as somas algébricas das componentes Por consequência 102 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO Exemplo 4 1216 Hibbeler 7 ed A barra de aço está apoiada sobre duas molas em suas extremidades A e B A rigidez de cada mola é k 45 kNm e no início elas não estão alongadas Se a barra for carregada com uma força de 3 kN no ponto C determine o deslocamento vertical da força Despreze o peso da barra e considere Eaço 200 GPa I 46875 x 106 m4 102 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO Exemplo 4 solução O deslocamento do ponto C pode ser separado em duas componentes como mostram as figuras As reações nas extremidades A e B são calculadas 102 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO Exemplo 4 solução Deslocamento de corpo rígido Cada mola sofre uma deflexão de Para a barra rígida esses deslocamentos são mostrados na figura e o deslocamento vertical em C é 102 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO Exemplo 4 solução Deslocamento de corpo deformável Utilizando a tabela apêndice C Hibbeler 7ed 102 Prof Rodrigo Borges Santos MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO Exemplo 4 solução Somando as duas componentes do deslocamento obtemos 102 Prof Rodrigo Borges Santos 93 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 1 Prob 1254 Hibbeler et al 7 ed Determine a inclinação e a deflexão em C El é constante Utilizar método dos momentos de área Respostas Prof Rodrigo Borges Santos EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 2 Prob 1258 Hibbeler et al 7 ed Determine a inclinação em C e a deflexão em B EI é constante Utilizar método dos momentos de área Respostas 103 Prof Rodrigo Borges Santos EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 3 Prob 1271 Hibbeler et al 7 ed Determine a deflexão máxima do eixo EI é constante Os mancais exercem somente reações verticais sobre o eixo Utilizar método dos momentos de área Respostas 103 Prof Rodrigo Borges Santos EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 4 Prob 1288 Hibbeler et al 7 ed Determine a inclinação em B e o deslocamento em C O elemento é um T estrutural de aço A36 E200 GPa para o qual I 30106 mm4 Utilizar método dos momentos de área Respostas 103 Prof Rodrigo Borges Santos EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 5 Prob 1290 Hibbeler et al 7 ed A viga em balanço com perfil W200 x 71 feita de aço A36 é submetida à carga mostrada na figura Determine o deslocamento em C e a inclinação em A Utilizar método da superposição Respostas 103 Prof Rodrigo Borges Santos EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 6 Prob 1291 e 1292 Hibbeler et al 7 ed A viga simplesmente apoiada com perfil W360 x 64 feita de aço A36 é submetida à carga mostrada na figura Determine a deflexão em seu centro C e a inclinação em A e B Utilizar método da superposição Respostas 103 Prof Rodrigo Borges Santos EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercícios complementares Hibbeler 7 ed Problemas Capítulo 12 1260 1266 1272 1274 1280 1281 1285 1286 1293 1294 1298 103 Prof Rodrigo Borges Santos BEER FP JOHNSTON Jr ER et al Mecânica dos Materiais 7 ed Porto Alegre McGrawHill 2015 REFERÊNCIAS HIBBELER RC Resistência dos Materiais 7 ed Rio de Janeiro Pearson PrenticeHall 2010 GERE J M GOODNO B J Mecânica dos Materiais Tradução da 7ª Edição NorteAmericana 1 ed São Paulo Cengage Learning 2011 Prof Rodrigo Borges Santos