Atividades de Geometria Analítica e Álgebra Linear

01 O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB respectivamente Complete Convenientemente a AB DC b BA DA c ND 12 DC d CA MA e MN 12 BA 02 Dados os vetores a b e c apresentar um representante de cada um dos vetores a 4a 2b c b a b c c 2b a c 03 Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v 25 sabendo que sua origem é o ponto A13 04 Dados os vetores u31 e v12 determinar o valor de w para cada equação a 4uv 13w 2u w b 3w 2v u 24w 3u 05 Dados os pontos A231 B452 determinar o ponto P tal que AP PB 06 Determinar a e b de modo que os vetores u413 v6ab sejam paralelos 07 Dados os vetores u1a2a1 vaa11 e wa11 determinar a de modo que uv uvw 08 Qual o valor de m para que os vetores a mi 5j 4k e b m1i 2j 4k sejam ortogonais 09 Dados os vetores u 211 v 110 e w 1 2 2 calcular a w x v b v x w u c u v x w u 10 Sabendo que o ângulo entre os vetores u 211 e v 11m2 é 60º determine m 01 RESOLVA AS SOMAS SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO INTEIRO DE MATRIZES A 1 5 4 2 3 7 2 2 B 4 1 1 3 0 3 3 12 C 2 4 1 0 1 3 3 4 D 2 1 0 4 5 1 4 1 7 4 2 1 0 0 5 2 3 2 E 3 x 5 9 1 7 F 7 x 0 6 8 2 02 ENCONTRE AS OPOSTAS DAS MATRIZES ABAIXO A 2 1 0 4 5 1 4 1 7 B 2 3 5 4 03 ENCONTRE AS TRANSPOSTAS DAS MATRIZES ABAIXO A 1 1 5 4 2 3 0 1 7 B 1 2 5 1 2 3 C 4 5 1 0 1 3 04 RESOLVA O PRODUTO ENTRE AS MATRIZES A 1 2 1 X 5 2 1 1 2 1 0 4 1 B 0 2 1 1 0 3 X 2 4 1 1 0 1 05 CALCULE OS DETERMINANTES DAS MATRIZES A 1 1 0 1 B 3 5 0 1 C 1 5 5 9 2 2 1 3 0 D 1 0 5 4 2 3 0 1 7 06 ENCONTRE A MATRIZ INVERSA DAS MATRIZES ABAIXO SE EXISTIR A 3 2 5 4 B 2 4 4 6 C 4 1 0 8 2 4 1 3 6 D 1 4 5 2 8 3 3 0 1 LISTA DE EXERCÍCIOS GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Geometria Analítica Questão 1 Dado o paralelogramo determinado pelos vetores AB e AD Analisando os vetores temos que a AB DC 2 AB b BA DA AB AD AB AD AC CA c ND 12 DC ND AN AN ND AD d CA MA CA AM CM e MN 12 BA MN NA MA Questão 2 Dados os vetores 𝑎 𝑏 e 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 a O representante de 4𝑎 2 𝑏 𝑐 é dado por 𝑎 𝑏 𝑐 4 𝑎 𝑐 2𝑏 4 𝑎 2𝑏 𝑐 b O representante de 𝑎 𝑏 𝑐 é dado por 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 c O representante de 2𝑏 𝑎 𝑐 é dado por 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑏 𝑎 𝑐 2𝑏 𝑎 𝑐 Questão 3 Seja 𝐵𝑥 𝑦 a extremidade do segmento que representa o vetor 𝑣 Então temos que 𝐴𝐵 𝑣 𝐵 𝐴 2 5 𝑥 𝑦 1 3 2 5 𝑥 1 𝑦 3 2 5 𝑥 1 2 𝑦 3 5 𝑥 1 𝑦 2 Portanto a extremidade do segmento que representa o vetor 𝑣 é o ponto 𝐵1 2 Questão 4 a Dados u 3 1 e v 1 2 temos que 4 u v 13 w 2 u w 4 u 4 v 13 w 2 u w 12 u 12 v w 6 u 3 w 4 w 12 v 6 u w 3 v 32 u w 3 1 2 32 3 1 w 3 6 92 32 w 152 152 w 152 152 b Dados u 3 1 e v 1 2 temos que 3 w 2 v u 2 4 w 3 u 3 w 2 v u 8 w 6 u 5 w 7 u 2 v w 75 u 25 v w 75 3 1 25 1 2 w 215 75 25 45 w 235 115 w 235 115 Questão 5 Dados A 2 3 1 e B 4 5 2 temos que AP PB P A B P 2P A B P A B2 2 3 1 4 5 22 6 2 12 3 1 12 P 3 1 12 Questão 6 Para que os vetores u e v sejam paralelos deve existir um número real k tal que u k v isto é u k v 4 1 3 k 6 a b 4 1 3 6k ak bk 4 6k 1 ak 3 bk Pela primeira equação temos que 4 6k k 23 Substituindo k na segunda equação temos que 1 a 23 a 32 Substituindo k na terceira equação temos que 3 b 23 b 92 Portanto a 32 e b 92 Questão 7 Dados 𝑢 1 𝑎 2𝑎 1 𝑣 𝑎 𝑎 1 1 e 𝑤 𝑎 1 1 temos que 𝑢 𝑣 1 𝑎 2𝑎 1 𝑎 𝑎 1 1 1 𝑎 𝑎 𝑎 1 2𝑎 1 1 𝑎 𝑎2 𝑎 2𝑎 1 𝑎2 2𝑎 1 𝑢 𝑣 1 𝑎 2𝑎 1 𝑎 𝑎 1 1 1 𝑎 𝑎 𝑎 1 2𝑎 11 1 𝑎 2𝑎 1 2𝑎 𝑢 𝑣 𝑤 1 𝑎 2𝑎 1 2𝑎 𝑎 1 1 1 𝑎 𝑎 2𝑎 1 1 2𝑎 1 𝑎 𝑎2 2𝑎 1 2𝑎 𝑎2 3𝑎 1 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑤 𝑎2 2𝑎 1 𝑎2 3𝑎 1 2𝑎 1 3𝑎 1 𝑎 2 Portanto 𝑎 2 Questão 8 Dados 𝑎 𝑚 𝑖 5 𝑗 4 𝑘 𝑚 5 4 e 𝑏 𝑚 1 𝑖 2 𝑗 4 𝑘 𝑚 1 2 4 Para que os vetores 𝑎 e 𝑏 sejam ortogonais o produto escalar entre eles deve ser nulo isto é 𝑎 𝑏 0 𝑚 5 4 𝑚 1 2 4 0 𝑚𝑚 1 5 2 4 4 0 𝑚2 𝑚 10 16 0 𝑚2 𝑚 6 0 𝑚 2𝑚 3 0 𝑚 2 ou 𝑚 3 Portanto 𝑚 2 ou 𝑚 3 Questão 9 a Dados u 2 1 1 v 1 1 0 e w 1 2 2 temos que w v i j k 1 2 2 1 1 0 0 2 i 2 0 j 1 2 k 2 i 2 j k w v 2 2 1 b Dados u 2 1 1 v 1 1 0 e w 1 2 2 temos que w u 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 3 3 1 v w u i j k 1 1 0 3 3 1 1 0 i 0 1 j 3 3 k i j v w u 1 1 0 c Dados u 2 1 1 v 1 1 0 e w 1 2 2 temos que u v 2 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 0 3 2 1 w u 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 3 3 1 u v w u i j k 3 2 1 3 3 1 2 3 i 3 3 j 9 6 k 5 i 6 j 3 k u v w u 5 6 3 Questão 10 Dados u 2 1 1 e v 1 1 m 2 Como o ângulo entre os vetores u e v é de 60º temos que cos60º u v u v 12 211 11m2 2²1²1² 1²1²m2² 12 21 11 1m2 6 m² 4m 6 12 2 1 m 2 6m² 24m 36 12² 1 m 6m² 24m 36² 14 1 2m m² 6m² 24m 36 6m² 24m 36 4 8m 4m² 2m² 16m 32 0 m² 8m 16 0 m 4² 0 m 4 Portanto m 4 Álgebra Linear Questão 1 a Para realizar a adição de matrizes basta somar os elementos correspondentes de cada matriz Assim temos que 1 5 4 2 3 7 2 2 13 57 42 22 2 12 6 4 b Para realizar a adição de matrizes basta somar os elementos correspondentes de cada matriz Assim temos que 4 1 1 3 0 3 3 12 40 13 13 312 4 2 4 15 c Para realizar a subtração de matrizes basta subtrair os elementos correspondentes de cada matriz Assim temos que 2 4 1 0 1 3 3 4 2 1 4 3 1 3 0 4 3 7 2 4 d Para realizar a subtração de matrizes basta subtrair os elementos correspondentes de cada matriz Assim temos que 2 1 0 4 5 1 4 1 7 4 2 1 0 0 5 2 3 2 2 4 1 2 0 1 4 0 5 0 1 5 4 2 1 3 7 2 6 1 1 4 5 4 2 2 5 e Para realizar a multiplicação de uma matriz por um escalar basta multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar Assim temos que 3 5 9 1 7 35 39 31 37 15 27 3 21 f Para realizar a multiplicação de uma matriz por um escalar basta multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar Assim temos que 7 0 6 8 2 70 76 78 72 0 42 56 14 Questão 2 Dada uma matriz A chamase de matriz oposta de A a matriz A isto é a matriz que se obtém multiplicandose cada elemento de A por 1 a Dada a matriz A 2 1 0 4 5 1 4 1 7 a matriz oposta de A é A 1 2 1 0 4 5 1 4 1 7 2 1 0 4 5 1 4 1 7 b Dada a matriz A 2 3 5 4 a matriz oposta de A é A 1 2 3 5 4 2 3 5 4 Questão 3 Dada uma matriz A chamase de matriz transposta de A a matriz AT que se obtém trocandose as linhas pelas colunas de A a Dada a matriz A 1 1 5 4 2 3 0 1 7 a matriz transposta de A é AT 1 1 5 4 2 3 0 1 7T 1 4 0 1 2 1 5 3 7 b Dada a matriz A 1 2 5 1 2 3 a matriz transposta de A é AT 1 2 5 1 2 3T 1 1 2 2 5 3 c Dada a matriz A 4 5 1 0 1 3 a matriz transposta de A é AT 4 5 1 0 1 3T 4 1 1 5 0 3 Questão 4 Definese o produto entre duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz Sejam as matrizes Amn e Bnp o produto AB é uma matriz Cmp cujos elementos são obtidos da seguinte forma cij ai1 b1j ai2 b2j ain bnj k1n aik bkj para i 1 2 m e j 1 2 p a Resolvendo o produto entre as matrizes temos que 1 2 1 5 2 1 1 2 1 0 4 1 15 21 10 12 22 14 11 21 11 5 2 0 2 4 4 1 2 1 7 2 2 b Resolvendo o produto entre as matrizes temos que 0 2 1 1 0 3 2 4 1 1 0 1 02 21 10 04 21 11 12 01 30 14 01 31 0 2 0 0 2 1 2 0 0 4 0 3 2 3 2 7 Questão 5 Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2 basta multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair o produto dos elementos da diagonal secundária isto é a b c d ad bc Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 podemos utilizar a regra de Sarrus que consiste em repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da matriz original e em seguida somar os produtos das diagonais principais e subtrair os produtos das diagonais secundárias a b c a b d e f d e g h i g h aei bfg cdh ceg bdi afh a Calculando o determinante da matriz temos que 3 2 5 4 34 25 12 10 2 b Calculando o determinante da matriz temos que 2 4 4 6 26 44 12 16 4 c Calculando o determinante da matriz temos que 4 1 0 8 2 4 1 3 6 48 0 4 48 48 44 96 52 d Calculando o determinante da matriz temos que 1 4 5 2 8 3 3 0 1 8 0 36 120 8 0 28 112 140 Questão 6 Dada uma matriz A obter de memória o respeito de A e mostrar af tal que A1 1det A Adotando os passos indicados Indique como número as ferramentas obtidas a Defini o valor do determinante de A adjA é a matriz que unto de A dada pela transposta da matriz dos cofatores de A b Dado a matriz A 3 2 5 4 calculando o determinante de A temos que detA 3 2 3 4 2 5 12 10 2 5 4 calculando a matriz adjunta de A temos que C11 4 4 C12 5 5 C21 2 2 C22 3 3 GA 4 5 2 3 adjA Ct 4 2 5 3 calculando a matriz inversa de A temos que A1 1detA adjA 12 4 2 2 1 5 3 2 3 b Dada a matriz A 2 4 3 6 calculando o determinante de A temos que detA 2 4 2 6 4 3 12 12 0 3 6 calculando a matriz adjunta de A temos que C11 6 6 C12 4 4 C21 3 3 C22 2 2 GA 6 4 3 2 adjA Ct 6 3 4 2 calculando a matriz inversa de A temos que A1 1detA adjA 10 6 3 4 2 c Dada a matriz A 6 1 9 8 7 4 2 3 8 calculando o determinante de A temos que 1 9 7 3 8 4 6 48 1 48 24 288 48 24 216 72 6 1 9 8 7 4 2 3 8 calculando a matriz adjunta de A temos que C11 7 4 7 8 4 3 56 12 44 3 8 C12 1 9 8 8 4 2 64 8 56 2 8 C13 1 9 8 8 7 1 6 0 3 3 5 2 4 C21 0 4 6 0 4 0 4 C22 1 9 8 3 1 9 24 9 15 2 4 C23 0 4 1 9 0 3 1 1 1 13 2 4 C31 0 1 4 1 0 1 3 2 C32 0 4 4 4 0 8 1 C33 8 1 2 1 8 5 8 6 4 8 CtA 0 52 28 6 24 15 4 15 6 adjA Ct 0 5 1 6 24 15 28 15 6 calculando a matriz inversa de A temos que A1 1detA adjA 1216 0 6 4 5 24 15 28 15 6 d Dada a matriz A 1 4 5 2 3 8 3 0 1 calculando o determinante de A temos que 1 5 8 201 20 11 8 28 112 140 1 4 5 2 3 8 3 0 1 calculando a matriz adjunta de A temos que C11 3 8 3 1 8 0 3 C12 2 8 2 1 8 3 2 24 22 3 1 C13 2 3 2 0 3 3 9 C21 4 5 1 5 1 1 5 6 14 0 1 C22 1 5 1 1 5 0 1 6 3 1 C23 1 4 1 0 4 3 12 3 4 C31 4 3 4 12 3 8 48 32 16 2 8 C32 1 2 1 2 8 3 2 24 26 3 8 C33 1 2 16 0 16 2 3 adjA Ct 3 22 9 14 1 12 16 26 16 calculando a matriz inversa de A temos que A1 1detA adjA 1 8 3 14 16 22 1 26 9 12 16