Matriz Inversa e Sistemas de Equações Lineares - 8ª Aula

8º Aula Matriz inversa e sistema de equações lineares Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender o conceito de matriz inversa desenvolver cálculos de sistemas lineares incorporar a regra de Cramer Prezadosas alunosas Nesta aula estudaremos matriz inversa e sistema de equações lineares onde nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa Através de um conjunto de valores de incógnitas é possível obter a solução de um sistema linear além da apresentação de um sistema homogêneo Bons estudos Álgebra Linear e Geometria Analítica 48 1 Matriz inversa 2 Sistemas de equações lineares 1 Matriz inversa Seja uma matriz Anxn quadrada a inversa de A é representada por A1 Nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa as que possuem são chamadas de matriz inversível e as que não possuem são chamadas de matriz singular Se o determinante de uma matriz for diferente de zero então a matriz é inversível Se o determinante for igual a zero ela não possui matriz inversa Se a matriz A é inversível então AA1 In Exemplo Seja uma matriz A Primeiro calculamos o ser determinante DetA 20 11 1 Agora aplicamos AA1 In x Agora multiplicamos os elementos das matrizes Temos então 2x z 1 portanto 20 z 1 ou seja z 1 2y w 0 portanto 21 w 0 ou seja w 2 X 0 Y 1 Portanto substituindo os valores de xyz e w em A1 temos A1 2 Sistemas de equações lineares Equação linear é toda equação do tipo A11 x1 a12 x2 a13 x3 a 1n x n b 1 Onde x1 x2 x3 xn são incógnitas e b1 é o termo independente O conjunto de valores das incógnitas que transforma uma equação linear em identidade é chamado de solução da equação linear CAROLI 1981 Sistema de equações lineares é todo conjunto de equações lineares do tipo Seções de estudo Chamase de sistema de equações lineares Exemplo é um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas 2x y 3 X 4y 6 É um sistema de duas equações lineares com três incógnitas X y 2z 9 2x 3y z 4 A solução de um sistema linear é dada por um conjunto de valores das incógnitas que transformam simultaneamente as equações do sistema em identidades Com o sistema a seguir é possível obter a sua matriz associada e a matriz incompleta Matriz associada Matriz incompleta Exemplos de matrizes associadas correspondentes aos seguintes sistemas Sistemas matriz associada 1 3x1 4 3 4 2 5 x1 2 4 x2 3 49 Resolução de um sistema de n equações lineares com n incógnitas Considerando a relação a seguir onde mn vamos representar a primeira matriz por A a segunda por X e a terceira por B Ax B que equivale a X B Exemplo resolver com o emprego de matrizes o seguinte sistema 2 x1 x2 3 x1 3 x2 5 Resolução Temos a seguinte equação X B Logo det A 7 0 portanto o sistema tem solução Portanto X B Então X Ou seja x1 2 x2 1 Regra de Cramer Uma das formas da resolução de um sistema é usando a regra de Cramer Considere o sistema linear 2x y 5 3 x y 5 Sua matriz incompleta é A A representação completa do sistema levando em consideração apenas os fatores numéricos B Exemplo considerando o sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas ax by g cx dy h A matriz do sistema é A Se det A 0 então a solução do sistema é X B X B X B Ou seja X Y Se o determinante do sistema chamado também de determinante de Cramer for diferente de zero o sistema admite solução Classifi cação dos sistemas lineares Um sistema é dito possível quando tem pelo menos uma solução Quando tiver uma única solução ele é determinado se tiver mais que uma solução será indeterminado Sistemas homogêneos Um sistema linear de m equações a n incógnitas é dito homogêneo quando o termo que não depende de incógnita e sempre nulo O sistema homogêneo admite uma solução chamada trivial que e dada pela 0 0 0 0 Retomando a aula Parece que estamos indo bem Então para encerrar esta aula vamos recordar alguns pontos importantes 1 Matriz inversa Nessa seção estudamos a definição e exemplos de como fazer a inversão de matrizes Vale ressaltar que nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa as que possuem são chamadas de matriz inversível e são chamadas de matriz singular as que não possuem 2 Sistemas de equações lineares Nessa seção vimos características de uma seção linear e apresentamos exemplos e solução de um sistema também Álgebra Linear e Geometria Analítica 50 Determinantes Disponível em httpswwwufrgs brreamatAlgebraLinearlivros9determinanteshtml Acesso em 24 Out 2019 Determinantes Disponível em httpsbrasilescola uolcombrmatematicadeterminantes1htm Acesso em 24 Out 2019 Inversão de matrizes Disponível em httpsinterna coceducacaocombrebookpages1803htm Acesso em 24 Out 2019 Matrizes inversas Disponível em httpswww youtubecomwatchvWMVcsIHRIRQ Acesso em 24 Out 2019 Vale a pena acessar Vale a pena demonstramos as matrizes que são obtidas BASTARRICA Cleo Matrizes determinantes e sistemas lineares 1 ed S l DC Luzzatto Editores Ltda 1986 119 p CAROLI Alésio CALLIOLI Carlos A FEITOSA Miguel O Matrizes vetores geometria analítica teoria e exercícios 13 ed S l s n 1981 167 p STEINBRUCH Alfredo WINTERLE Paulo Geometria analítica 2 ed S l Pearson Education do Brasil Ltda 1987 292 p Referências Minhas anotações