Lista de Exercicios Resolvidos Vetores e Matrizes Algebra Linear

01 O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB respectivamente Complete Convenientemente a ABDC b BADA c ND12 DC d CAMA e MN12 BA 02 Dados os vetores a b e c apresentar um representante de cada um dos vetores a 4a2bc b a b c c 2b ac 03 Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v 25 sabendo que sua origem é o ponto A13 04 Dados os vetores u31 e v12 determinar o valor de w para cada equação a 4uv 13w 2uw b 3w 2vu24w3u 05 Dados os pontos A231 B452 determinar o ponto P tal que APPB 06 Determinar a e b de modo que os vetores u413 v6ab sejam paralelos 07 Dados os vetores u1a2a1 vaa11 e wa11 determinar a de modo que uvuvw 08 Qual o valor de m para que os vetores ami5j4k e bm1i2j4k sejam ortogonais 09 Dados os vetores u211 v110 e w 122 calcular a w x v b v x w u c u v x w u 10 Sabendo que o ângulo entre os vetores u211 e v11m2 é 60º determine m 01 RESOLVA AS SOMAS SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO INTEIRO DE MATRIZES A 1 5 3 7 2 22 4 2 2 2 6 4 B 4 1 0 3 4 2 1 3 3 12 4 15 C 2 4 1 3 3 7 1 0 3 4 D 2 1 0 4 2 1 6 1 1 4 5 1 0 0 5 4 5 4 4 1 7 2 3 2 2 2 5 E 3 x 5 9 15 27 1 7 3 21 F 7 x 0 6 0 42 8 2 56 14 02 ENCONTRE AS OPOSTAS DAS MATRIZES ABAIXO A 2 1 0 2 1 0 4 5 1 4 5 1 4 1 7 4 1 7 B 2 3 2 3 5 4 5 4 03 ENCONTRE AS TRANSPOSTAS DAS MATRIZES ABAIXO A 1 1 5 1 4 0 4 2 3 1 2 1 0 1 7 5 3 7 B 1 2 5 1 1 1 2 3 2 2 5 3 C 4 5 4 1 1 1 0 5 0 3 1 3 04 RESOLVA O PRODUTO ENTRE AS MATRIZES A 1 2 1 x 5 2 1 7 2 0 4 1 2 4 2 0 4 3 B 0 2 1 x 2 4 2 1 0 3 1 1 2 2 0 1 0 4 0 3 2 2 05 CALCULE OS DETERMINANTES DAS MATRIZES A 1 1 1 0 1 B 3 5 3 0 1 C 1 5 5 0 10 35 145 9 2 2 142 1 3 0 10 6 0 4 D 1 0 5 34 0 20 6 4 2 3 0 1 7 10 3 0 3 21 06 ENCONTRE A MATRIZ INVERSA DAS MATRIZES ABAIXO SE EXISTIR A 3 2 3 x 4 2 x 5 2 3 5 2 1 2 2 1 52 32 B 12 4 2 x 6 4 x 4 4 4 6 14 38 14 38 38 18 34 14 C 4 1 0 8 2 4 1 3 6 D 1 4 5 2 8 3 3 0 1 c 4 3 0 4 48 4 0 44 52 8 4 8 2 10 48 48 96 1 3 6 3 3 1 2 4 0 8 4 52 8 2 26 3 6 0 1 6 24 1 3 13 1 2 0 4 4 0 16 4 1 2 0 0 52 26 0 6 4 0 3 26 1 13 6 24 13 52 24 36 1 6 13 4 13 4 36 0 26 13 0 1 2 3 4 0 d 1 4 5 4 1 8 36 0 28 140 2 8 3 2 8 1 120 0 8 112 3 0 1 3 0 8 3 8 2 3 7 2 8 24 0 1 8 3 1 7 1 3 0 4 5 4 1 3 5 14 1 3 4 12 0 1 4 4 5 52 1 2 5 7 1 2 4 0 8 3 52 8 4 52 2 35 4 35 13 35 4 14 52 7 14 7 1 20 1 10 1 10 52 7 0 24 12 0 6 35 3 35 0 1 𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝐷𝐴 𝐶𝐴 𝑁𝐷 1 2 𝐷𝐶 𝑁𝑀 𝐷 𝐶𝐴 𝑀𝐴 𝐶𝑀 𝑀𝑁 1 2 𝐵𝐴 𝐷𝑁 2 4 𝑎 2 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 2 𝑏 𝑎 𝑐 3 𝑣 𝐴𝐵 𝑏 𝐴 𝑥 𝑦 1 3 𝑣 𝑥 1 𝑦 3 2 5 𝑥 1 𝑦 3 𝑥 1 2 𝑦 3 5 𝐵 𝑥 𝑦 𝑥 2 1 𝑦 5 3 𝐵 1 2 𝑥 1 𝑦 2 4 4 𝑈 𝑉 2 3 𝑤 2 𝑈 𝑉 1 3 𝑤 𝑤 2 𝑈 4 𝑈 𝑉 4 3 𝑤 2 𝑈 4 𝑈 4 𝑉 4 3 𝑤 2 𝑈 4 𝑉 4 1 3 𝑤 1 2 𝑈 𝑉 1 3 𝑤 1 2 3 1 4 2 1 3 𝑤 3 2 1 2 4 2 1 3 𝑤 9 6 6 2 6 𝑤 9 6 1 27 6 3 𝑤 3 2 9 2 3 3 𝑤 2 𝑣 𝑢 2 4 𝑤 3 𝑢 3 𝑤 2 𝑣 𝑢 8 𝑤 6 𝑢 2 𝑣 𝑢 6 𝑣 8 𝑤 3 𝑤 𝑣 𝑢 𝑡 𝑢 5 𝑤 2 𝑢 7 𝑣 5 𝑤 2 𝑣 7 𝑢 5 5 5 𝑅𝑃 𝑃𝐵 𝐴 2 3 1 𝐵 4 5 2 𝐴𝑃 𝑃 𝐴 𝑃𝐵 𝐵 𝑃 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝑃 𝑃 𝐵 𝐴 2 𝑃 𝐵 𝐴 2 𝑃 4 5 2 2 3 1 2 𝑃 6 2 1 𝑃 3 1 1 2 6 𝑈 4 1 3 𝑉 6 𝑎 𝑏 𝑥 1 𝑘 𝑥 2 𝑦 1 𝑘 𝑦 2 𝑧 1 𝑘 𝑧 2 4 6 1 𝑎 3 𝑏 4 6 1 𝑎 4 𝑎 6 𝑎 6 4 𝑎 3 2 𝑦 𝑏 3 6 4 𝑏 18 𝑏 18 4 𝑏 9 2 7 𝑈 𝑉 𝑢 𝑣 𝑤 1 2 2 𝑎 1 𝑎 𝑎 1 1 1 2 2 𝑎 1 𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 1 𝑎 2 𝑎 𝑎 1 2 𝑎 1 1 2 𝑎 2 𝑎 1 2 𝑎 𝑎 𝑎 1 1 𝑎 𝑎 2 𝑎 2 𝑎 1 2 𝑎 𝑎 2 2 𝑎 1 2 𝑎 𝑎 2 2 𝑎 1 3 𝑎 𝑎 2 1 𝑎 2 2 𝑎 1 1 3 𝑎 2 𝑎 2 3 𝑎 1 𝑎 3 𝑎 2 𝑎 2 9 a 𝑢 𝑣 i j k 1 2 2 i 02 j 20 k 12 2 2 1 1 4 0 b 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 1 2 2 2 1 1 𝑣 3 3 1 𝑣 𝑤 𝑢 i j k i 12 j 21 k 33 11 0 1 0 3 3 1 c 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑢 𝑣 2 1 1 1 1 0 3 2 1 i j k 3 2 1 32 5 6 3 𝑤 𝑢 1 2 2 2 1 1 3 3 1 3 3 3 3 10 12 j M 6 m 4 m 6 2 m 1 6 m2 4 m 6 2 m12 6 m2 4 m 62 4m2 2 mt 6 m2 4 m 62 2 m2 4 m 2 3 m2 12 18 3 m2 2 m2 32 m 4 18 2 0 m2 8 m 16 0 M 4 01 RESOLVA AS SOMAS SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO INTEIRO DE MATRIZES A 1 5 4 2 3 7 2 2 B 4 1 1 3 0 3 3 12 C 2 4 1 0 1 3 3 4 D 2 1 0 4 5 1 4 1 7 4 2 1 0 0 5 2 3 2 E 3 x 5 9 1 7 F 7 x 0 6 8 2 02 ENCONTRE AS OPOSTAS DAS MATRIZES ABAIXO A 2 1 0 4 5 1 4 1 7 B 2 3 5 4 03 ENCONTRE AS TRANSPOSTAS DAS MATRIZES ABAIXO A 1 1 5 4 2 3 0 1 7 B 1 2 5 1 2 3 C 4 5 1 0 1 3 04 RESOLVA O PRODUTO ENTRE AS MATRIZES A 1 2 1 X 5 2 1 1 2 1 0 4 1 B 0 2 1 1 0 3 X 2 4 1 1 0 1 05 CALCULE OS DETERMINANTES DAS MATRIZES A 1 1 0 1 B 3 5 0 1 C 1 5 5 9 2 2 1 3 0 D 1 0 5 4 2 3 0 1 7 06 ENCONTRE A MATRIZ INVERSA DAS MATRIZES ABAIXO SE EXISTIR A 3 2 5 4 B 2 4 4 6 C 4 1 0 8 2 4 1 3 6 D 1 4 5 2 8 3 3 0 1 1 a 𝑨 𝑩 𝑫 𝑪 2 𝑨 𝑩 Pois 𝑨 𝑩 𝑫 𝑪 b 𝑩 𝑨 𝑫 𝑨 𝑨 𝑪 c 𝑵 𝑫 12 𝑫 𝑪 𝑵 𝑴 d 𝑪 𝑨 𝑴 𝑨 𝑨 𝑪 e 𝑴 𝑵 12 𝑩 𝑨 𝑵 𝑫 2 a 4𝐚 2𝐛 𝐜 Seja 𝑥 4𝐚 2𝐛 𝐜 Temos 4𝐚 𝑥 4 a 2 b c 2b c b seja 𝑥 𝐚 𝐛 𝐜 c seja 𝑥 2𝐛 𝐚 𝐜 3 Considere o segmento AB onde A1 3 e Bx y seja v 2 5 tal que v AB Temos AB B A x y 1 3 x 1 y 3 Logo x 1 y 3 2 5 ou seja x 1 2 x 1 y 3 5 y 2 Portanto a extremidade do segmento AB é o ponto B1 2 4 Sejam u 3 1 e v 1 2 a Temos 4u v 13 w 2u w 4u 4v 13 w 2u w 13 w w 2u 4u 4v 43 w 2u 4v w 34 2u 4v w 64 u 3v w 32 u 3v como u 3 1 e v 1 2 temos w 32 3 1 3 1 2 w 92 32 3 6 w 92 3 32 6 w 32 92 Portanto w 32 92 b Temos 3w 2v u 24w 3u 3w 2v u 8w 6u 2v u 6u 8w 3w 7u 2v 5w w 75 u 25 v como u 3 1 e v 1 2 temos w 75 3 1 25 1 2 w 215 75 25 45 w 195 35 Portanto w 195 35 5 Considera os pontos A 2 3 1 B 4 5 2 Queremos determinar um ponto P tal que AP PB Seja Px y z Temos AP P A x y z 2 3 1 x 2 y 3 z 1 PB B P 4 5 2 x y z 4 x 5 y 2 z Daí temos se AP PB então x 2 y 3 z 1 4 x 5 y 2 z ou seja x 2 4 x 2x 6 x 3 y 3 5 y 2y 2 y 1 z 1 2 z 2z 1 z 12 Portanto P3 1 12 6 sejam u 4 1 3 e v 6 a b Os vetores u e v são paralelos se existe λ R tal que v λ u Então 6 a b λ 4 1 3 ou seja 6 14 1 a λ 2 b λ 3 3 De 1 temos 1 64 32 De 2 temos a 32 De 3 temos b 92 8 sejam a m i 5 j 4 k e b m 1 i 2 j 4 k ou seja a m 5 4 e b m 1 2 4 Sabemos que a e b são ortogonais se ab 0 Temos ab m 5 4m 1 2 4 m2 m 10 16 m2 m 6 se m2 m 6 0 temos m 1 1 242 m 1 52 m 62 3 e m 42 2 Portanto m 3 ou m 2 9 Considere os vetores u 2 1 1 v 1 1 0 e w 1 2 2 a Temos w x v u hat j hat k hat 1 2 2 1 1 0 u hat 0 2 j hat 0 2 k hat 1 2 2 u hat 2 j hat k hat Portanto w x v 2 2 1 b Temos w u 1 2 2 2 1 1 3 3 1 logo v x w u u hat j hat k hat 1 1 0 3 3 1 u hat 1 0 j hat 1 0 k hat 3 3 u hat j hat 0 k hat Portanto v x w u 1 1 0 c Temos u v 2 1 1 1 1 0 3 2 1 e w u 3 3 1 logo u v x w u u hat j hat k hat 3 2 1 3 3 1 u hat 2 3 j hat 3 3 k hat 9 6 5 u hat 6 j hat 3 k hat Portanto u v x w u 5 6 3 10 Sabemos que o ângulo entre os vetores u 2 1 1 e v 1 1 m 2 é 60 Temos cos 60 u v u v como cos 60 12 então 12 2 1 1 1 1 m 2 sqrt4 1 1 sqrt1 1 m2 4m 4 12 2 1 m 2 sqrt6 sqrtm2 4m 6 122 m 1sqrt6 m2 24 m 362 14 1 2 m m2 6 m2 24 m 36 6 m2 24 m 36 4 8 m 4 m2 2m2 16m 32 0 m2 8m 16 0 Logo m 8 64 64 2 m 82 4 Portanto m 4 01 RESOLVA AS SOMAS SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO INTEIRO DE MATRIZES A 1 5 3 7 2 4 4 2 2 2 1 6 B 4 3 10 3 14 0 1 3 3 12 2 15 C 2 4 1 3 1 1 1 0 1 4 3 7 D 2 1 0 4 2 1 6 1 1 4 5 1 0 0 3 1 6 5 4 1 7 2 3 2 E 3 x 5 9 15 27 1 7 F 7 x 10 6 70 42 2 2 02 ENCONTRE AS OPOSTAS DAS MATRIZES ABAIXO A 2 1 0 2 1 0 4 5 0 4 5 0 4 1 7 4 1 7 B 2 3 2 3 5 4 5 4 03 ENCONTRE AS TRANSPOSITAS DAS MATRIZES ABAIXO A 1 1 5 1 4 6 4 2 3 4 2 1 10 1 7 10 3 7 B 1 2 5 1 1 2 1 2 3 2 2 3 C 4 5 4 8 3 8 0 5 0 3 2 3 04 RESOLVA O PRODUTO ENTRE AS MATRIZES A 1 2 1 x 5 2 1 5 2 1 0 4 1 0 3 7 B 0 2 1 x 2 4 4 8 1 0 1 0 1 C 05 CALCULE OS DETERMINANTES DAS MATRIZES A 1 1 0 1 1 B 5 6 0 1 3 C 1 5 6 9 7 9 1 3 0 45 D 1 0 5 4 9 3 0 1 7 3 06 ENCONTRE A MATRIZ INVERSA DAS MATRIZES ABAIXO SE EXISTIR A 3 2 34 25 5 4 12 35 B 6 4 36 76 4 3 36 34 C 4 1 0 D 4 5 8 2 4 1 3 4 2 3 3 1 0 1 c matrix calculations d matrix calculations 1 95 72 15 2 62 97 25 3 102 330 90 4 CK 1 MA 60 5 MK 1 1238 110 7 3 12 5 8 9 8 4 5 PB PB 25 32 1 32 23 a w Z 1 3 7 3 3 8 10x2 j 20 e 3 2 6 x 1 21 b a 1 2 0 3 4 w 3 3 a 1 1 7 3 4 0 2 3 1 3 4 2 x 3 w 3 3 6 2 0 c u v w u v 1 2 3 1 1 0 3 2 1 1 3 6 2 1 1 1 1 2 3 v w 3 3 2 3 3 4 2 3 1 3 6 2 1 1 5 6 3 d y 2 18 32 M 1 2 0 1 2 0 1 6 6 1 16 2 1 1 7 1 2 3 4 2 3 1 6 4 2 3 2 m2 1 m1 y 3 x2 132 58 3m2 y01 9 x 9 16 0 m0 7 27 1 a 1 5 4 2 3 7 2 2 1 3 5 7 4 2 2 1 2 2 12 6 4 Portanto 1 5 4 2 3 7 2 2 2 12 6 4 1 b 4 1 1 3 0 3 3 12 4 0 1 3 1 3 3 12 4 2 4 15 Portanto 4 1 1 3 0 3 3 12 4 2 4 15 28 1 c 2 4 1 0 1 3 3 4 2 1 4 3 1 3 0 4 3 7 2 4 Portanto 2 4 1 0 1 3 3 4 3 7 2 4 1 d 2 1 0 4 5 1 4 1 7 4 2 1 0 0 5 2 3 2 2 4 1 2 0 1 4 0 5 0 1 5 4 2 1 3 7 2 6 1 1 4 5 4 2 2 5 Portanto 2 1 0 4 5 1 4 1 7 4 2 1 0 0 5 2 3 2 6 1 1 4 5 4 2 2 5 1c 3 x 5 9 1 7 3 5 3 9 3 1 3 7 15 27 3 21 Portanto 3 x 5 9 1 7 15 27 3 21 1d 7 x 0 6 8 2 7 0 76 78 72 0 42 56 14 Portanto 7 x 0 6 8 2 0 42 56 14 Lembrando 12 Seja A uma matriz A oposta da matriz A é A Por exemplo se A a b c d então A a b c d 1a seja A 2 1 0 4 5 1 4 1 7 Temos A 2 1 0 4 5 1 4 1 7 1b seja B 2 3 5 4 então a matriz oposta de B é B 2 3 5 4 13 Lembrando Seja A aij mxn então a matriz transposta de A é dada por AT aji nxm 1a Seja A 1 1 5 4 2 3 0 1 7 A transposta da matriz A é dada por AT 1 4 0 1 2 1 5 3 7 1b Seja B 1 2 5 1 2 3 A transposta de B é dada por BT 1 1 2 2 5 3 c seja C 4 5 1 0 1 3 A transposta de C é dada por Cᵀ 4 1 1 5 0 3 4a 1 2 1 x 5 2 1 1 2 1 0 4 1 15 21 10 12 22 14 11 21 11 5 2 0 2 4 4 1 2 1 7 2 2 Portanto 1 2 1 x 5 2 1 1 2 1 0 4 1 7 2 2 b 0 2 1 1 0 3 x 2 4 1 1 0 1 02 21 10 04 21 11 12 01 30 14 01 31 0 2 0 0 2 1 2 0 0 4 0 3 2 3 2 7 Portanto 0 2 1 1 0 3 x 2 4 1 1 0 1 2 3 2 7 5 a 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 b 3 5 3 1 0 5 3 0 3 0 1 c 1 5 5 1 0 6 5 0 2 5 27 2 6 10 145 149 9 2 2 1 3 0 d 1 0 5 1 2 7 0 3 0 5 4 1 0 2 5 1 3 1 7 4 0 3 4 2 3 0 1 7 6 lembrando uma matriz quadrada possui inversa se seu determinante for diferente de zero a seja A 3 2 5 4 Temos detA 3 2 12 10 2 5 4 Logo A1 22 22 52 32 A1 1 1 52 32 b seja B 2 4 4 6 Temos detB 2 4 12 16 4 4 6 Logo B1 32 1 1 12 c seja C 4 1 0 8 2 4 1 3 6 Temos detC 4 1 0 8 2 4 1 3 6 4 2 6 1 4 1 0 8 3 1 2 0 3 4 4 6 8 1 52 Temos que C1 1detC AdjCT Primeiro vamos encontrar a matriz adjunto de C onde AdjC Temos AdjC Δ11 Δ12 Δ13 Δ21 Δ22 Δ23 Δ31 Δ32 Δ33 Δ11 111 4 1 0 8 2 4 1 3 6 126 43 0 Δ12 112 4 1 0 8 2 4 1 3 6 186 41 52 Δ13 113 4 1 0 8 2 4 1 3 6 183 21 26 Δ21 121 4 1 0 8 2 4 1 3 6 116 03 6 Δ22 122 4 1 0 8 2 4 1 3 6 146 01 24 Δ23 123 4 1 0 8 2 4 1 3 6 143 11 13 Δ31 131 4 1 0 8 2 4 1 3 6 114 02 4 Δ32 132 4 1 0 8 2 4 1 3 6 144 08 16 Δ33 133 4 1 0 8 2 4 1 3 6 142 18 0 Logo AdjC 0 52 26 6 24 13 4 16 0 AdjCT 0 6 4 52 24 16 26 13 0 Portanto C1 1detC AdjCT 152 0 6 4 52 24 16 26 13 0 0 326 113 1 613 413 12 14 0 d Seja D 1 4 5 2 8 3 3 0 1 Temos detD 1 4 5 2 8 3 3 0 1 1 8 1 4 3 3 5 2 0 3 8 5 0 3 1 1 2 4 140 Logo existe a inversa de D sabemos que D1 1detD AdjDT Temos AdjD Δ11 Δ12 Δ13 Δ21 Δ22 Δ23 Δ31 Δ32 Δ33 Onde Δ11 1114 5 8 3 1 8 1 3 0 8 Δ12 1121 5 3 1 1 2 1 3 3 7 Δ13 1131 4 3 0 1 2 0 8 3 24 Δ21 1214 5 0 1 1 4 1 5 0 4 Δ22 1221 5 3 1 1 1 1 5 3 14 Δ23 1231 4 3 0 1 1 0 4 3 12 Δ31 1314 5 8 3 1 4 3 5 8 52 Δ32 1321 5 2 3 1 1 3 5 2 7 Δ33 1331 4 2 8 1 1 8 4 2 16 Logo AdjD 8 7 24 4 14 12 52 7 16 e AdjDT 8 4 52 7 14 7 24 12 16 Dai segue que D1 1140 8 4 52 7 14 7 24 12 16 235 135 1335 120 110 120 635 335 435 Portanto D1 235 135 1335 120 110 120 635 335 435