Aula sobre Decomposição de Vetores e Paralelismo

2º Aula Decomposição de vetores Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de realizar a decomposição de vetores compreender sobre o paralelismo de dois vetores fazer expressões com vetores Prezadosas alunosas Nesta aula estudaremos sobre decomposição de um vetor no plano expressão analítica de um vetor decomposição no espaço e condições de paralelismo de dois vetores Bons estudos Álgebra Linear e Geometria Analítica 12 1 Decomposição de um vetor no plano 2 Expressão analítica de um vetor 3 Decomposição no espaço 4 Condições de paralelismo de dois vetores 1 Decomposição de um vetor no plano Sendo os vetores e não colineares qualquer outro vetor coplanar a estes pode ser decomposto segundo as direções dos vetores e O problema em questão é determinar dois vetores com as mesmas direções de e que somados resultam no valor de Portanto precisamos determinar e O exemplo a seguir demonstra uma aplicação dos vetores não colineares e e o vetor arbitrário Fig 1 Demonstração de como montar um paralelogramo Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p16 Também existem casos em que tem a mesma direção de ou como no caso a seguir onde porém 0 Fig 2 Conjunto de vetores Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p16 Podemos concluir que e são as bases do plano e que é combinação linear de ambos Os números e são chamados de componentes ou coordenadas de em relação à base Na prática as bases ortonormais são as mais utilizadas cujos vetores e são unitários Existem infi nitas bases ortonormais ao plano xOy porém a mais importante é a com origem em O e extremidade nos pontos 10 e 01 Tais vetores são simbolizados com e e sua base é chamada Seções de estudo canônica de acordo com a fi gura a seguir Fig 3 Vetores em base cônica Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 18 Trataremos em nosso estudo somente da base canônica Na fi gura a seguir temos um vetor onde x e y são componentes de em relação à base o vetor é a projeção ortogonal de sobre eixo x e o vetor é a projeção ortogonal de sobre eixo y Fig 4 Exemplo de vetores em base cônica Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 18 2 Expressão analítica de um vetor É fi xada a expressão com a função de simplifi cação que estabelece uma correspondência entre os vetores do plano e os pares ordenados xy de números reais A primeira componente x é chamada abscissa e a segunda ordenada Uma maneira de exemplifi car é ao invés de escrever podese escrever 3 5 A fi gura a seguir apresenta um ponto P xy que pode ser identifi cado com o vetor sendo O a origem do sistema Fig 5 Expressão de um vetor Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 19 Para fazer a soma de dois vetores deve somar as coordenadas correspondentes exemplo x1 x2 y1 13 y2 Igualdade de dois vetores é dada quando dois vetores x1 y1 e x2 y2 são iguais se x1 x2 e y1 y2 e escreve se Exemplo os vetores 3 5 e 3 5 são iguais Se o vetor x a4 é igual ao vetor 5 2y 6 de acordo com a defi nição de igualdade dos vetores x 1 5 e 2y 6 4 ou x4 e y5 Assim se então x 4 e y 5 Operações de vetores é dada por vetores x1 y1 e x2 y2 Para somar dois vetores somamse suas coordenadas correspondentes e para multiplicar um vetor por um número multiplicase cada componente do vetor por esse número x 1 x2 y1 y2 A ax1 a y1 O vetor defi nido por dois pontos é obtido pois inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema Consideramos o vetor de origem no ponto A x1 y1 e extremidade em B x2 y2STEINBRUCH 1987 conforme a fi gura 6 Fig 6 Vetor Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 23 O vetor OAB da fi gura vem onde Ou x2 y2 x1 y1 e x2 x1 y2 y1 ou seja as componentes são obtidas subtraindose das coordenadas da extremidade B as coordenadas a origem A razão pela qual também se escreve B A 3 Decomposição no espaço No plano qualquer conjunto de dois vetores não colineares é uma base No espaço qualquer conjunto de três vetores não coplanares é uma base demonstrase que todo vetor do espaço é combinação linear dos vetores da base ou seja sempre existe números reais a1 a2 e a3 a1 a2 a3 Onde a1 a2 e a3 são as componentes de em relação a base considerada Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e ortogonais entre si Como apoio de estudo será usada a base cônica representada na fi gura a seguir por Considere a origem dos três vetores no mesmo ponto 0 de onde sai três retas como mostra a fi gura 7 A reta com a direção do vetor é o eixo dos X das abcissas a reta com a direção d vetor é o eixo dos y das ordenadas e a reta com direção do vetor é o eixo dos z das cotas As setas indicam o sentido positivo de cada eixo esses são chamados de eixos coordenados Fig 7 Base cônica Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 25 Portanto têmse três planos coordenados o plano xy xz e yz A cada ponto P no espaço vai corresponder uma terna a b c de números reais chamadas coordenadas de P Para obter as abcissas de P será necessário traçar por P um plano paralelo ao plano yz Para obter a ordenada de P tracemos por P um plano paralelo ao plano xz O ponto de interseção deste plano com o eixo dos y tem uma coordenada b De forma semelhante ao traçar por P um plano paralelo ao plano xy fi ca determinada a coordenada c que é a cota de P Portanto formase um paralelepípedo retângulo conforme a fi gura 8 Fig 8 Plano com ponto P Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 28 Álgebra Linear e Geometria Analítica 14 Se o ponto da fi gura 9 fosse P 243 com idêntico procedimento teríamos o paralelepípedo da fi gura 6 Fig 9 Plano com ponto P 234 Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 29 Com base na fi gura temos A 200 um ponto P xyz está no eixo dos x quando y0 e z0 C 040 um ponto está no eixo dos y quando x0 e z0 E 003 um ponto está no eixo dos z quando x0 e y0 B 240 um ponto está no plano xy quando z0 D 043 um ponto está no plano yz quando x0 F 203 um ponto está no plano xz quando y0 O ponto B é a projeção de P no plano xy assim como D e F são as projeções de P nos planos yz e xz O espaço pode ser encarado como um conjunto de pontos ou conjunto de vetores Diz que esse espaço é tridimensional pois qualquer uma de suas bases tem três vetores O conjunto formado pelo ponto 0 e pela base é chamado referencial ortogonal de origem A representação geométrica do conjunto IR dos reais é a reta que também é chamada de reta real conforme a fi gura 10 Fig 10 Reta IR Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 31 O produto cartesiano IR x IR ou IR² é o conjunto IR² xy xy IR e sua representação geométrica é o plano cartesiano determinado pelos eixos cartesianos ortogonais x e y Fig 11 Plano cartesiano IR² Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 31 O produto cartesiano IR x IR x IR ou IR³ é o conjunto IR³ xyz xyz IR e sua representação geométrica é o espaço cartesiano determinado pelos três eixos cartesianos dois a dois ortogonais Ox Ou e Oz Fig 12 Plano cartesiano IR³ Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 32 Igualdade e operação de vetor defi nido por dois pontos Dois vetores x1 y1 z1 e x2 y2 z2 são iguais se x1 x2 y1 y2 e z1 z2 Dados os vetores x1 y1 z1 e x2 y2 z2 e a IR defi nese x1 x2 y1 y2 z1 z2 ax1 ay1 az1 Se A x1 y1 z1 e B x2 y2 z2 são dois pontos quaisquer no espaço então x2 x1 y2 y1 z2 z1 4 Condições de paralelismo de dois vetores Se dois vetores x1 y1 z1 e x2 y2 z2 são colineares ou paralelos existe um número k tal que k x1 y1z1 k x2 y2 z2 Pela defi nição de igualdade de vetores x1 kx2 y1ky2 z1kz2 15 Ou k Esta é a condição de paralelismo de dois vetores portanto dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais Representase por dois vetores e paralelos Vale ressaltar que se uma componente de um vetor é nula a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula Exemplo 41 dados os pontos P 124 Q 232 e R 211 determinar as coordenadas de um ponto S tal que PQR e S sejam vértices de um paralelogramo Solução Se PQRS é o paralelogramo da fi gura então e Para Sxyz na primeira igualdade obtémse Q P R S ou 112 2x1y 1z Por defi nição de igualdade de vetores temse 2x 1 1y 1 1z 2 Essas igualdades implicam ser x1 y0 e z1 Portanto S 101 Exemplo 42 dados os pontos A 0 1 1 e B 1 2 1 e os vetores 21 1 3 0 1 e 2 2 2 verifi car se existe os números a1 a2 e a3 tais que a1 a2 a3 Temse BA 1 2 1 01 1 1 02 11 1 110 Substituindo os vetores na igualdade dada 2 2 2 a1 1 1 0 a2 2 1 1 a3 3 0 1 ou 2 2 2 a1 a10 2 a2 a2 a2 3 a3 0 a3 Somando os três vetores do segundo membro da igualdade vem 2 2 2 a1 2 a2 3 a3 a1 a2 a2 a3 Pela condição de igualdade de vetores obteremos o sistema a1 2 a2 3 a3 2 a1 a2 2 a2 a3 2 que tem por solução a1 3 a2 1 e a3 1 Logo 3 Retomando a aula Parece que estamos indo bem Então para encerrar esta aula vamos recordar alguns pontos importantes 1 Decomposição de um vetor no plano Nessa seção observamos a decomposição de vetores segundo a direção deles Usando bases ortonormais sendo a mais importante a que tem origem em O e extremidade nos pontos 10 e 01 2 Expressão analítica de um vetor Nesse item vimos que as expressões têm a função de simplificação correspondente entre os vetores do plano e os pares ordenados Usando as coordenadas correspondeste pode ser feita a some de dois vetores 3 Decomposição no espaço Nessa seção estudamos sobre o conjunto de três vetores não coplanares que forma uma base essa é ortonormal se os três vetores forem unitários O espaço é determinado tridimensional quando uma de suas bases tem três vetores 4 Condições de paralelismo de dois vetores Nessa seção analisamos como é possível determinar quando vetores são colineares Dois vetores são definidos paralelos quando suas coordenadas são proporcionais Decomposição de vetores Disponível em https mundoeducacaoboluolcombrfisicadecomposicao vetoreshtm Acesso em 08 Out 2019 Operações com vetores e representações geométricas Disponível em httpsbrasilescolauolcombr matematicaoperacoescomvetoresrepresentacoes Vale a pena acessar Vale a pena Álgebra Linear e Geometria Analítica 16 geometricashtm Acesso em 08 Out 2019 Paralelismo Disponível em httpsmundoeducacao boluolcombrmatematicaparalelismohtm Acesso em 08 Out 2019 Minhas anotações