Introdução a Integrais Primitivas

1º Aula Introdução a integrais primitivas Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de conceituar a integral conhecer uma integral primitiva aprender a regra geral de integração utilizar a tabela de integração As integrais primitivas fornecem a base para que se compreenda como funcionam os métodos de integração de funções assim como o uso das tabelas de integrais imediatas Bons estudos 65 Cálculo Diferencial e Integral II 6 1 Seções de estudo História da integral 2 Conceito e definição da integral 3 Integrais imediatas 1 História da integral O cálculo pode ser dividido em duas partes uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais ou Cálculo Integral Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas eles as relacionavam com a área do quadrado por ser essa a figura plana mais simples Assim buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual da figura em questão UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO sd A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas como o círculo ou figuras limitadas por arcos de outras curvas As lúnulas regiões que se assemelham com a lua no seu quartocrescente foram estudadas por Hipócrates de Chios 440 aC que realizou as primeiras quadraturas da História Antifon por volta de 430 aC procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos primeiro um quadrado depois um octógono em seguida um hexadecágono e assim por diante Havia entretanto um problema essa sequência nunca poderia ser concluída Apesar disso essa foi uma ideia genial que deu origem ao método da exaustão UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO sd Fonte httpsslideplayercombrslide56566546images3 UmpoucodehistC3B3riajpg Acesso em 28032019 Nesse contexto uma das questões mais importantes e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo surgiu por volta do ano 225 aC Tratase de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer é igual a 43 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO sd Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado evitando com o método da exaustão a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo obtendo uma das primeiras aproximações para o número UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO sd Fonte http3bpblogspotcomFai8gDjYc4S988dO8NL6IAAAAAAAAAlc hwvOOWWwpZMs1600Arquimedesjpg Acesso em 29032019 Outras integrações foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica o volume do cone e a área da superfície cônica a área da região limitada por uma elipse o volume de um paraboloide de revolução e o volume de um hiperboloide de revolução Em seus cálculos Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para escapar da situação incômoda Basicamente se não podia ser nem maior nem menor tinha que ser igual UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO sd A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade Em 1606 em Roma Luca Valerio publicou De quadratura parabolae onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo ANTON 2000 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO sd Kepler em seu trabalho sobre o movimento dos planetas teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas método este que na prática apresentava muita imprecisão Analogamente para calcular volumes de sólidos pensava na soma de fatias planas Desse modo calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo Para o cálculo de cada um desses volumes Kepler subdividia o sólido em várias fatias chamadas infinitésimos e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado GALVÃO NUNES sd Conforme exposto em O Cálculo Integral Alguns Fatos Históricos sd os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram 66 Fermat e Cavalieri Em sua obra mais conhecida Geomerria entre as abscissas e portanto eu fepresento em meu indivisibilibus continuorum nova Cavalieri desenvolveu a ideia calculo a area da figura por Jxdx Ambos desenvolveram de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas o Calculo Integral separadamente entretanto Newton via o Aparentemente Cavalieri pensou na area como uma soma Calculo como geométrico enquanto Leibniz o via mais como on Loe te ty a x infinita de componentes ou segmentos indivisiveis analitico SWOKOWSKI 1994 UNIVERSIDADE DE SAO Ele mostrou usando os seus métodos 0 que hoje em dia PAULO sd escrevemos Leibiniz acreditava que a notagao era de fundamental a nti importancia e de fato a sua notacao foi mais eficaz do que a a 4 xdx de Newton e acabou por se consolidar sendo utilizada até os 0 nmi1 dias de hoje mantendo exatamente a mesma forma Newton a tevi 1 propri nao foi feliz em encontrar um Todo o processo geométrico desenvolvido por oscrevia pata St Prop NP RSID E DE SiO PAULO Le not nsistent VE AD Cavalieri foi entao aritmetizado por Wallis Em 1655 em seu 4 aao consistente U trabalho Arithmetica infinitorum Wallis desenvolveu principios Os trabalhos de Leibniz sobre o Calculo Integral foram de indugao e interpolagéo que o levaram a encontrar diversos publicados em 1684 e em 1686 sob o nome Calculus resultados importantes entre eles a antecipacao de parte do A 0 Céleulo I al foi ctiad h ummatorius O nom ntegral foi cri ra n trabalho de Euler sobre a fungao gamma UNIVERSIDADE avons Ome LATCMO EDLC FAY FO CvaclO Po Je an x Bernoullie e publicado pela primeira vez por seu irmao DE SAO PAULO sd p pew P P ne mais velho Jacques Bernoulli em 1690 Principalmente Fermat desenvolveu uma técnica pata achar a atea sob sncia do T Fund al do Céleul cada uma das entao chamadas parabolas maiores curvas do iN consequencia hen ai ament co cure n integr ram simplesment t m tipo xkx onde k0 constante e n234 etc Empregou ewton as 8 als Foram S Presmente vis as CO ne net detivadas reversas Na mesma época da publicagao das entio uma série geométrica para fazer o mesmo pata cada uma tabelas de j is de N hann Betnoulli descobri t integer n nn Bern riu das curvas do tipo xkx onde k0 e v 234 etc Por apes ce 8 als ewto Jo ot hae Esco rf istemati integrar t racion volta de 1640 a formula geral da integral das parabolas maiores P OCESSOS iste ar COS para 8 ar Odas as Tungoes racionals 4 que échamado método das fragGes parciais Essas ideias foram era conhecida por Fermat Blaise Pascal Descartes Torricelli e id L 4d Bul 5 bre j xO fesumi ra nar f na su rf re integer outros GUIDORIZZI 1987 UNIVERSIDADE DE SAO TSSUMICAS POF Leonard Baler Na sua obFa sobre integrals PAULO sd UNIVERSIDADE DE SAO PAULO sd sd O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades vatiadas A derivada da distancia era a velocidade e a operacio inversa partindo da velocidade levava a distancia A partir desse problema envolvendo movimento a ideia de operacio inversa da derivada desenvolveuse naturalmente e a ideia de que a integral e a derivada eram processos inversos era y La notacién d y de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaria ser importante mas familiar a Barrow Embora Barrow nunca tenha enunciado adelante Para 1675 Leibniz se habia quedado con la notacién fy dy y2 escrita exactamente como se formalmente Oo Teorema Fundamental do Ca4lculo estava hace hoy Sus resultados sobre calculo integral fueron publicados en 1864 y 1686 con el nombre de trab alhan do em direcio a esse resultado foi Newton calculus summatorius el término cAlculo integral fue sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690 entretanto quem continuando na mesma direcao formulou Fonte htépswuwmonografiascomtrabajas99historiadelcalculoimage002jpg icesso em o teorema LEITHOLD 1986 UNIVERSIDADE DE SAO PAULO sd Apés o estabelecimento do Calculo Euler daria Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo continuidade ao estudo de fungdes ainda prematuro na sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o época juntamente com Cauchy Gauss e Riemann Foi Calculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz Ele Euler entretanto quem reuniu todo o conhecimento até desenvolveu os métodos das fluxions derivacao fluents entdo desenvolvido e criou os fundamentos da Andlise Hoje integracao e utilizouos na construcao da mecanica clAssica em dia oO Calculo Integral é largamente utilizado em varias Para Newton a integracao consistia em achar fluents para um areas do conhecimento humano e aplicado pata a solugao de dado fluxion considerando desta maneira a integracao como problemas nao sé de Matematica mas de Fisica Astronomia inversa da derivado Com efeito Newton sabia que a detivada Economia Engenharia Medicina Quimica por exemplo da velocidade por exemplo eta a aceleracao e a integral da UNIVERSIDADE DE SAO PAULO sd aceleragao era a velocidade UNIVERSIDADE DE SAO PAULO sd ates i sl ae 2 Conceito e definicdo da integral Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questdo por exemplo a integral de y era representada por y Leibniz diferentemente de Newton O conceito e definicao de integral assim como os usava a integracdo como uma soma de uma maneira bastante exemplos proposides e exercicios de fixacao discorridos parecida a de Cavalieri Daf vem 0 simbolo J um s longo 4 seguit podem ser encontradas em httpswww para representar summa Segundo ele represento a dea passeidiretocomarquivo2579911 aulaintroducaoa de uma figura pela soma das areas de todos os retangulos integracao infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferengas Definicao Uma fungao Fx é chamada de uma primitiva Calculo Diferencial e Integral II 8 da funcao fx em um intervalo I se para todo x I temos F fx LEMMING GONCALVES 1992a 1 faxte3adr3aaeaeoq2 oc Observamos que de acordo com nossa definiéo as prtimitivas de uma func4o fx estao sempre definidas sobre aleum intervalo Quando nfo explicitamos o intervalo e nos xx e Simplificando referimos a duas primitivas da mesma funcao f entendemos que essas fungdes sao primitivas de f no mesmo intervalo I 2 a x de ire Elif EDWARDS JR PENNEY 1997 LARSON et al 1998 aa ar 1 3 3 Exemplo 1 Fx 13 x é uma primitiva da funcao fx 3 vidextac2 C a x4 Care 40a AC x pois Fx x 3 3 8 3 2 2 As fungdes Gx x3 4 e Hx 13 3 também sao primitivas da funcao fx x pois Gx Hx OBS Para verificarmos se o resultado esta correto fx basta derivalo e tentar obter o Integrando 3 A fungao Fx 12 sen 2x c onde céumaconstante é primitiva da fungao fx cos 2x Exercicios de fixagao Os exemplos mostram que as fungdes admitem mais de 1 uma primitiva Calcular as integrais Proposigao 1 Seja Fx uma primitiva da fungdo fx a J dx R xte Entao se c é uma constante qualquer a funcao Gx Fx ye ee 3 c também é primitiva de fx by fx dx R ke Proposigao 2 Se fx se anula em todos os pontos de 4 um intetvalo I entao f é constante em I c Jrcax R T Proposigao 3 Se Fx e Gx sao fungdes primitivas de x6 fx no intervalo I entao existe uma constante c tal que Fx d J 2xdx RX 37 Gx c pata todo x I 304 RR 4x4 Dessa proposicao concluimos que se Fx é uma of exp 2c 5 ae te particular primitiva de f entao toda primitiva de f é da forma f f 3x3dx R 9x3 c Gx FX g x dx R 5p te h fox 5 5xdx R 4 F 5 c 5 i f x2 pdx R woe xe a ee c x 1 O simbolo é chamado sinal de integragao fx i J x 1 2xdx Rig te tee e oy e fungao integrando e fxdx integrando FLEMMING GONCALVES 1992b ay 1k J vxax R ote a kaxe kxC comk cte Regra da Constante i R 2vx e b ef aek fedex Regra do Multiplo constante vx dx 1 R c lyebxsoddeeQoee RegradaSoma mo x 2 vx d fpeckef oyarJ ena Regra da Diferenga J bc Vx R 2e nel e xae0e com n 1 Regra Simples da 0 28a R By 54 As n1 x2 3 Pe Poténcia x 2x R x 5 Obs oaemxe com x 0 P J x oy towne Exemplos q ax ti 5 4 2 2 3 Acompanhe os passos basicos pata uma boa ve integracao 9 69 3 Integrais imediatas Integrais imediatas Na secao 3 vimos a tabela das principais integrais Ha algumas integrais que sio comumente usadas com imediatas Uteis para resolucao dos exercicios valores tabelados chamadas de integrais imediatas segue abaixo a tabela com as principais integrais uteis Tabela de integrais imediatas fvas0 nl Jsee xdxInligr secs C Valea pena n 1 Icosec xdx Incotgx cosecy C Joax fx taxInhC Jeg x dx IncosC Ss JsenxdxcosxC 1 dx arc senxC Joosx dx senxC J VIx P se Vale a pena ler fe dxeC fJotisdrLaregc p V4 a p au c Revisao de primitivas e integrais indefinidas Disponivel fa dx0 a0 al ax 2a ax Ina em httpsptkhanacademyorgmathcalculushome oectedemtget la are son Cc integrationcalc indefiniteintegralsofcommonfunctions calcaantiderivativesandindefiniteintegralsreview Joosecx dx cotgxC Retomando a aula lid ae Vale a pena assistir Ost Vida Matematica 4 O Mundo em Movimento Calculo Diferencial e Integral RTP2 Disponivel em Ppv Chegamos ao final da aula entdo vamos recordar hipswwwyoutubecomwatchvqdywLs36dg foe Calculo 1 O que é integral introducao intuitiva ao a conceito Disponivel em httpswwwyoutubecom Pv 1 Histéria da integral watchvXZJlOuKh8eA os Integral indefinida 0 método das fragdes patciais Na segao 1 vimos que os primeitos problemas que et on 13 Disponivel em httpswwwyoutubecom apareceram na Historia relacionados com as integrais s40 os hovVVuKSYea9u problemas de quadratura Um dos problemas mais antigos watcha Vuis9 teqaw enfrentados pelos gregos foi o da medicao de superficies a fim Graficos de integrais indefinidas Matematica Khan de encontrar suas areas Academy Disponivel em httpswwwyoutubecom Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo watchvTS55PErkleX0 sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu 0 Clculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz Ele desenvolveu os métodos das fluxions derivagio e fluents integragao e utilizouos na construgao da mecanica classica Apés o estabelecimento do Calculo Euler daria Minhas anota goes continuidade ao estudo de fungdes ainda prematuro na poca juntamente com Cauchy Gauss e Riemann Foi Euler entretanto quem reuniu todo o conhecimento até entao a desenvolvido e criou os fundamentos da Anilise ee a 2Conceito e definigao da integral Na secao 2 estudamos a definicao de integral indefinida tivemos uma apresentagao da regra geral de integracdo de J uma fungao com a regta geral de integragao j ide cae 4c comn 1 nl