Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo Diferencial e Integral II - Áreas e Volumes

CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ATIVIDADE 2 DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PROFESSOR DrWilson Espindola Passos ANO 2023 Resolva as questões OBS Deve ser entregue a memória de cálulo de todos os exercícios PROFESSOR Wilson Espindola Passos 1Determine a area delimitada pelas curva y5 xx 2 e o eixo x 2 Dada a função yx calcular a area sob o gráfico de x0 a x2 3 Determine a área delimitada pelas curva y1 8 x 22x8 e o eixo x entre 24 4 Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva yx 23 x2 eo eixo x que é y0 5 Determinar a área limitada pelas curvas y5 xx 2 e y2x 6 Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva x4y 2 7 Determinar a área limitada pelas curvas y4ax x y3a y0 Primeiro octante com a positivo 8 Achar a área entre as curvas yx 3 e yx 9 Calcule a área entre os gráficos de yx2 e yx 2 10 Achar a área da região limitada pelos gráficos xy 22 y e x2 y3 11 Calcule o volume gerado pela parábola y x2 girando em torno do eixo de y no intervalo 04 12 Calcular usando o método dos anéis circulares o volume formado pela rotação da região entre y x2 e y x 2 13 Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x 6 R é limitada pelos gráficos de y2 4x e x 4 14 Dados os gráficos y x3 e x 2 determine o volume da região para o caso da área plana girar em y 15 Calcular o volume de revolução em torno de y limitado por y x32 y 1 em x13 CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 16 Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y x 2 x2 e o eixo x 17 Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y 2 2x eixo x e x 2 18 Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 2x e y x CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ATIVIDADE 1 DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PROFESSOR DrWilson Espindola Passos ANO 2023 Resolva as questões OBS Deve ser entregue a memória de cálulo de todos os exercícios Exercício 1 Calcular as integrais a dx b xdx c x3dx d 2x5dx e2x 32dx f 3x 23dx gx 3dx h 2x3 x2 2 5 xdx i x4 3 3 x21dx j x2122xdx k xdx l dx x CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO m dx x2 n xxdx o x4x25 x2 dx p x22 x x dx q x52 x5 x4 dx CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ATIVIDADE 1 DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PROFESSOR DrWilson Espindola Passos ANO 2023 Resolva as questões OBS Deve ser entregue a memória de cálulo de todos os exercícios Exercício 1 Calcular as integrais a dx b xdx c x3dx d 2x 5dx e x 2dx 2 3 f x 3dx 3 2 g dx x 3 h xdx x x 5 2 2 2 3 i dx x x 1 3 3 2 4 j 2xdx x 2 2 1 k xdx l x dx m 2 x dx CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO n xdx x o dx x 5 x x 2 2 4 p dx x x x 2 2 q 5dx 2 4 5 x x x Exercício 1 𝑎 1 𝑑𝑥 𝑥 𝐶 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 2 𝐶 𝑐 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑥 4 4 𝐶 𝑑 2𝑥 5 𝑑𝑥 2 𝑥 6 6 𝐶 𝑥 6 3 𝐶 𝑒 22𝑥 5 𝑑𝑥 16 𝑥 3 𝑑𝑥 16 𝑥 4 4 𝐶 4𝑥 4 𝐶 𝑓 33𝑥 2 𝑑𝑥 27 𝑥 2 𝑑𝑥 27 𝑥 3 3 𝐶 9𝑥 3 𝐶 𝑔 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑥 2 2 𝐶 1 2𝑥 2 𝐶 ℎ 2𝑥 3 𝑥 2 2 5𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 4 4 1 2 𝑥 3 3 5 𝑥 2 2 𝐶 2𝑥 3 𝑥 2 2 5𝑥 𝑑𝑥 𝑥 4 2 𝑥 3 6 5𝑥 2 2 𝐶 𝑖 𝑥 4 3 3𝑥 2 1 𝑑𝑥 1 3 𝑥 5 5 3 𝑥 3 3 𝑥 𝐶 𝑥 4 3 3𝑥 2 1 𝑑𝑥 𝑥 5 15 𝑥 3 𝑥 𝐶 𝑗 2𝑥 𝑥 2 1 2 𝑑𝑥 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢 𝑥 2 1 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2𝑥 2𝑥 𝑥 2 1 2 𝑑𝑥 1 2 𝑢2 𝑑𝑢 1 2 𝑢 3 3 𝐶 𝑥 21 3 6 𝐶 𝑘 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 12 𝑑𝑥 𝑥 32 32 𝐶 2𝑥 32 3 𝐶 𝑙 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 12 𝑑𝑥 𝑥 12 12 𝐶 2 𝑥 𝐶 𝑚 1 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 1 1 𝐶 1 𝑥 𝐶 𝑛 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 2 𝑥 32 32 𝐶 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 2 2𝑥 32 3 𝐶 𝑜 𝑥 4 𝑥 2 5 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 1 5 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 3 3 𝑥 5 𝑥 1 1 𝐶 𝑥 4 𝑥 2 5 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 3 3 𝑥 5 𝑥 𝐶 𝑝 𝑥 2 2𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 2 2𝑥 𝐶 𝑞 𝑥 5 2𝑥 5 𝑥 4 𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 3 5𝑥 4 𝑑𝑥 𝑥 2 2 2 𝑥 2 2 5 𝑥 3 3 𝐶 𝑥 5 2𝑥 5 𝑥 4 𝑑𝑥 𝑥 2 2 1 𝑥 2 5 3𝑥 3 𝐶 Exercício 2 𝑎 𝑓𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 7𝑠𝑖𝑛 2𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 7𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 3 7 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 3 7 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 3 7 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑢 2 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 3 7 𝑑𝑢 𝑢 2 3 7 𝑢 2𝑑𝑢 3 7 𝑢 1 1 𝐶 3 7 1 𝑢 𝐶 3𝑐𝑜𝑠𝑥 7𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 3 7𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 3 7 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝐶 𝑏 𝑔𝑡 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡𝑡𝑔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡𝑡𝑔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑡𝑔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 2𝑠𝑖𝑛𝑡 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑢 2 𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑡 1 𝑢 2 𝑑𝑢 𝑢 1 1 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑢 2 𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑡 1 𝑢 𝐶 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝐶 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡𝑡𝑔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 2𝑠𝑖𝑛𝑡 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝐶 2𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑐𝑡 𝐶 𝑐 𝑓𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑔 2𝑥 7 1 7 𝑑𝑥 𝑡𝑔 2𝑥 7 𝑑𝑥 1 7 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 𝑡𝑔 2𝑥 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 1 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑔 2𝑥 7 𝑑𝑥 1 7 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 1 7 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 1 𝑑𝑥 𝑥 7 𝐶 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 1 7 𝑠𝑒𝑐 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 7 𝐶 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 1 7 𝑡𝑔𝑥 𝑥 𝑥 7 𝐶 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 7𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑔𝑥 7 𝑥 7 𝑥 7 𝐶 𝑡𝑔𝑥 7 𝐶 Exercício 3 𝑎 2 2 3𝑥 𝑑𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 2 3𝑥 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑥 3 Rearranjando temos 𝑑𝑥 13 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 2 2 3𝑥 𝑑𝑥 2 𝑢 1 3 𝑑𝑢 Simplificando 2 2 3𝑥 𝑑𝑥 2 3 𝑢 𝑑𝑢 Integrando temos 2 3 𝑢 𝑑𝑢 2 3 2 3 𝑢 32 𝐶 4 9 𝑢 32 𝐶 Substituindo u de volta temos 2 2 3𝑥 𝑑𝑥 4 9 2 3𝑥 32 𝐶 𝑏 3𝑥 2𝑥 2 4 𝑑𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 2𝑥 2 4 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑥 4𝑥 Rearranjando temos 𝑑𝑥 14𝑥 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 3𝑥 2𝑥 2 4 𝑑𝑥 3𝑥 𝑢 1 4𝑥 𝑑𝑢 Simplificando 3𝑥 2𝑥 2 4 𝑑𝑥 3 4 𝑢 𝑑𝑢 Integrando temos 3 4 𝑢 𝑑𝑢 3 4 2 3 𝑢 32 𝐶 1 2 𝑢 32 𝐶 Substituindo u de volta temos 3𝑥 2𝑥 2 4 𝑑𝑥 1 2 2𝑥 2 4 32 𝐶 𝑐 𝑥 1𝑥 𝑑𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 1 𝑥 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑥 1 2 1𝑥 Rearranjando temos 𝑑𝑥 2 1 𝑥 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 𝑥 1𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1𝑥 2 1 𝑥 𝑑𝑢 Simplificando 𝑥 1𝑥 2 1 𝑥 𝑑𝑢 2𝑥 𝑑𝑢 Pondo x em função de u 𝑢 1 𝑥 𝑥 𝑢 2 1 Substituindo na integral temos 2𝑥 𝑑𝑢 2 𝑢 2 1 𝑑𝑢 Integrando temos 2 𝑢 2 1 𝑑𝑢 2 1 3 𝑢 3 𝑢 𝐶 2 3 𝑢 3 2𝑢 𝐶 Substituindo u de volta temos 𝑥 1𝑥 𝑑𝑥 2 3 1 𝑥 3 2 1 𝑥 𝐶 𝑑 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 2 𝑑𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 3𝑥 2 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑥 3 2 Rearranjando temos 𝑑𝑥 2 3 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑢 2 3 𝑑𝑢 Simplificando 𝑠𝑖𝑛 𝑢 2 3 𝑑𝑢 2 3 𝑠𝑖𝑛 𝑢 𝑑𝑢 Integrando temos 2 3 𝑠𝑖𝑛 𝑢 𝑑𝑢 2 3 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝐶 Substituindo u de volta temos 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 2 𝑑𝑥 2 3 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 2 𝐶 𝑒 3𝑡𝑐𝑜𝑠 3𝑡 2 𝑑𝑡 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 3𝑡 2 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑡 6𝑡 Rearranjando temos 𝑑𝑡 1 6𝑡 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 3𝑡𝑐𝑜𝑠 3𝑡 2 𝑑𝑡 3𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑢 1 6𝑡 𝑑𝑢 Simplificando 3𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑢 1 6𝑡 𝑑𝑢 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 Integrando temos 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 1 2 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝐶 Substituindo u de volta temos 3𝑡𝑐𝑜𝑠 3𝑡 2 𝑑𝑡 1 2 𝑠𝑖𝑛3𝑡 2 𝐶 𝑓 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 Utilizando identidades trigonométricas 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑠𝑖𝑛𝑡 Simplificando 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑠𝑖𝑛 2𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑠𝑖𝑛 2𝑡 Utilizando identidades trigonométricas 𝑠𝑖𝑛 2𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 1 Rearranjando 𝑠𝑖𝑛 2𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 Substituindo 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 Rearranjando 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡1 2 Substituindo na integral 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡1 2 𝑑𝑡 Simplificando 𝑐𝑜𝑠2𝑡1 2 𝑑𝑡 1 2 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑡 𝑑𝑡 Ganhamos duas integrais 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑡 𝑒 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝐶 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑡 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 2𝑡 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑡 2 Rearranjando temos 𝑑𝑡 1 2 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑢 1 2 𝑑𝑢 Simplificando 𝑐𝑜𝑠𝑢 1 2 𝑑𝑢 1 2 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 Integrando temos 1 2 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 1 2 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝐶 Substituindo u de volta temos 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑡 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝐶 Retornando à integral original 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 1 2 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝑡 𝐶 Simplificando temos 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 1 4 𝑠𝑖𝑛2𝑡 1 2 𝑡 𝐶 𝑔 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 Utilizando identidades trigonométricas 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 𝑡𝑔 2𝑥 1 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 1 𝑡𝑔 2 𝑥 Substituindo 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 1𝑡𝑔 2 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑔 2 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 Ganhamos duas integrais 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑡𝑔 2 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 𝐶 𝑡𝑔 2 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 𝑥 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑥 1 2 𝑥 Rearranjando temos 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 𝑡𝑔 2 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑔 2𝑢 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑢 Simplificando 𝑡𝑔 2𝑢 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑢 2 𝑡𝑔 2𝑢 𝑑𝑢 Utilizando identidades trigonométricas 𝑡𝑔 2𝑥 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 1 Substituindo temos 2 𝑡𝑔 2𝑢 𝑑𝑢 2 𝑠𝑒𝑐 2𝑢 1 𝑑𝑢 Integrando temos 2 𝑠𝑒𝑐 2𝑢 1 𝑑𝑢 2 𝑡𝑔𝑢 𝑢 𝐶 2𝑡𝑔𝑢 2𝑢 𝐶 Substituindo u de volta temos 2𝑡𝑔𝑢 2𝑢 𝐶𝑡 2𝑡𝑔 𝑥 2 𝑥 𝐶 Retornando à integral original 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 2𝑡𝑔 𝑥 2 𝑥 𝐶 Simplificando temos 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 2𝑡𝑔 𝑥 𝐶 ℎ 1 19𝑥 2 𝑑𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑥 𝑢3 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑥𝑑𝑢 13 Rearranjando temos 𝑑𝑥 1 3 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 1 19𝑥 2 𝑑𝑥𝑡 1 19 𝑢3 2 1 3 𝑑𝑢 Simplificando 1 19 𝑢3 2 1 3 𝑑𝑢 1 3 1 1𝑢 2 𝑑𝑢 Integrando temos 1 3 1 1𝑢 2 𝑑𝑢 1 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢 𝐶 Substituindo u de volta temos 1 19𝑥 2 𝑑𝑥 1 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3𝑥 𝐶 Exercício 4 𝑎 𝑥 𝑥1 𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑣 1 𝑥1 𝑑𝑥 𝑣 1 𝑥1 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑣 1 𝑢 𝑑𝑢 2 𝑢 2 𝑥 1 Obtemos 𝑥 𝑥1 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥 1 2 𝑥 1𝑑𝑥 2𝑥 𝑥 1 2 𝑥 1𝑑𝑥 Devemos resolver a integral 𝑥 1𝑑𝑥 𝑥 1 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑑𝑥 𝑢 𝑑𝑢 2 3 𝑢 32 𝐶 𝑥 1 𝑑𝑥 2 3 𝑥 1 32 𝐶 Substituindo 𝑥 𝑥1 𝑑𝑥 2𝑥 𝑥 1 2 2 3 𝑥 1 32 𝐶 Simplificando 𝑥 𝑥1 𝑑𝑥 2𝑥 𝑥 1 4 3 𝑥 1 32 𝐶 𝑏 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑢 1 1𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑥 𝑥 Obtemos 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 𝑥 1 1𝑥 2 𝑑𝑥 Organizando temos 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 1𝑥 2 𝑑𝑥 Devemos resolver a integral 𝑥 1𝑥 2 𝑑𝑥 1 𝑥 2 𝑢 𝑑𝑢 2𝑥𝑑𝑥 𝑥 1𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑢 𝑑𝑢 2𝑥 1 2 1 𝑢 𝑑𝑢 1 2 2 𝑢 𝐶 1 𝑥 2 𝐶 Substituindo 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑥 2 𝐶 Organizando temos 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑥 2 𝐶 𝑐 2𝑥 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 2𝑥 1 𝑑𝑢 2𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Obtemos 2𝑥 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 2𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑑𝑥 Organizando temos 2𝑥 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑥 1 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 Como a integral de cosseno é conhecida e automática ganhamos 2𝑥 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑥 1 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 𝑑 𝑥 3𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 𝑥 3 𝑑𝑢 3𝑥 2𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑥 Obtemos 𝑥 3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 3𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝐶 Devemos resolver a integral 𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 𝑥 2 𝑑𝑢 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥 Obtemos 𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑥 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝐶 Substituindo 𝑥 3𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 3 𝑥 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝐶 Devemos resolver a integral 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑥 Obtemos 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝐶 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 Agora substituindo as integrais na equação original temos 𝑥 3𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 3 𝑥 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 𝑥 3𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 3 𝑥 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 2𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 𝑥 3𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 3𝑥 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 6𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 6𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 𝑒 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 𝑑𝑣 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 Obtemos 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑑𝑥 Somamos em ambos os lados 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 2 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 Dividimos ambos os lados por 2 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 1 2 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑓 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐 2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 2𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 2𝑥 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Obtemos 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 2𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 2𝑥 2𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 2𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 Fazemos 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 Obtemos 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 2𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑚 2 𝑑𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 2𝑥 2 𝑑𝑚 𝑚 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 2𝑥 2 1 𝑚 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 1 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 2 𝑚 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑠𝑒𝑐𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 3 x 2 x CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ATIVIDADE 1 DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PROFESSOR DrWilson Espindola Passos ANO 2023 Resolva as questões OBS Deve ser entregue a memória de cálulo de todos os exercícios Exercício 1 Calcular as integrais a dx b xdx c x 3dx d 2x 5dx e 2x3 2dx f 3x2 3dx g x3dx h 2x 2 5xdx i x 4 3x 2 1dx 3 j x 2 12 2xdx k xdx l dx m d x x 2 n x x dx CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO o x 4 x 2 5dx x 2 x 2 2x dx x x5 2x 5 q x 4 dx p 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 2 𝐶 𝑥 𝑑𝑥 16 𝑑𝑥 27 𝑑𝑥 𝑥 2 2 3 𝑑𝑥 𝑥 𝐶 ℎ 2𝑥 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 1 𝑥 5 𝑥 2𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 6 5𝑥 2 𝑖 𝑥 3𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑥 3 𝑥 𝑥 3𝑥 1 𝑑𝑥 𝑥 2 3 4 4 2 2 𝑥 𝑥 𝑥 Exercício 1 𝑎 1 𝑑𝑥 𝑥 𝐶 𝐶 3 4 𝑐 𝑥 4 5 6 𝑑 2𝑥 6 6 𝐶 5 𝑒 22𝑥 3 𝑑𝑥 16 𝑥 𝐶 4𝑥 4 𝐶 2 𝑓 33𝑥 2 𝑑𝑥 27 𝑥 3 3 3 𝐶 9𝑥 𝐶 3 𝑔 𝑥 2 2 𝐶 1 2𝑥 𝐶 3 2 3 2 4 3 2 4 2 3 2 4 3 2 2 𝐶 4 2 5 3 3 4 2 3 5 3 5 3 1 𝑗 2𝑥𝑥 2 1 2 𝑑𝑥 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢 𝑥 1 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 2 3 2 3 2𝑥𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑢2 𝑑𝑢 1 𝑢 𝐶 𝑥 1 𝐶 2 2 3 6 12 32 32 𝑘 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝐶 2𝑥 𝐶 32 3 𝑙 1 12 𝑑𝑥 𝑥 12 12 2 2𝑥 𝐶 𝑥 𝐶 𝑥 𝐶 𝑑𝑥 𝑥 𝐶 𝑚 1 2 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 1 1 𝐶 1 𝐶 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 2 2 3 2 𝑜 𝑥 𝑥 5 𝑑𝑥 𝑥 1 5 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 5 𝑥 2𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑡𝑔𝑡 𝑑𝑡 2𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑡𝑔𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 2 2 𝑥 𝑛 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 2 32 2 32 𝐶 2 32 2 3 4 2 2 3 1 4 2 3 𝑥 𝑥 5 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 5 𝐶 2 𝑥 2 2 𝑝 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 𝐶 𝑥 2 5 3 4 2 2 3 𝑞 𝑥 2𝑥 5 𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 5𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑥 5 𝑥 𝐶 4 𝑥 5 2 𝑥 2𝑥 5 𝑑𝑥 𝑥 1 5 𝐶 4 2 𝑥 𝑥 3 3𝑥 Exercício 2 𝑎 𝑓𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 7𝑠𝑖𝑛 𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 7𝑠𝑖𝑛 𝑥 7 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 3 𝑑𝑢 3 2 1 3 1 𝑑𝑥 𝑢 𝑑𝑢 3 𝑢 𝐶 𝐶 7 𝑠𝑖𝑛 𝑥 7 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑥 7 𝑢 7 7 1 7 𝑢 3𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 3 𝐶 3 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝐶 2 7𝑠𝑖𝑛 𝑥 7𝑠𝑖𝑛𝑥 7 2 2𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑡𝑔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 2 2 𝑏 𝑔𝑡 𝑑𝑡 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 3 2 2 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 2𝑠𝑖𝑛𝑡 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑡 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑢 7 7 7 𝑑𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑔 𝑥 1 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑠𝑒𝑐 𝑥 1𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑡𝑔𝑥 𝑥 𝑥 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝑥 𝑥 𝐶 𝑡𝑔𝑥 𝐶 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 3𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑢 1 1 𝑑𝑢 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 𝑠𝑖𝑛𝑡 2 1 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑢 1 𝐶 1 𝐶 2 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑡 2𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑡𝑔𝑡 𝑑𝑡 2𝑠𝑖𝑛𝑡 1 𝐶 2𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑐𝑡 𝐶 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 2 2 𝑐 𝑓𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 2 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 2 2 2 2 2 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 1 𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 1 2 2 2 2 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 7 7 2 2 2 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 7 7 2 2 2 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 7 7 2 2 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 7𝑐𝑜𝑠 𝑥 7 7 2 Exercício 3 𝑎 2 𝑑𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 2 3𝑥 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑥 3 7 7 7 7 7 3 𝑢 2 3𝑥 Rearranjando temos 𝑑𝑥 13 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 2 𝑑𝑥 2 1 𝑑𝑢 3 𝑢 2𝑥 4 4 3 3 3 9 4 4 3 2 2 3𝑥 𝑢 𝑢 2 3𝑥 2𝑥 4 2 2𝑥 4 2 𝑢 2𝑥 4 2 𝑢 𝑢 2𝑥 4 2 1𝑥 1 𝑥 Simplificando 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑢 Integrando temos 2 𝑑𝑢 2 2 𝑢 32 𝐶 4 𝑢 32 𝐶 Substituindo u de volta temos 2 𝑑𝑥 4 32 𝐶 9 2 3𝑥 𝑏 3𝑥 𝑑𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 2 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑥 4𝑥 Rearranjando temos 𝑑𝑥 14𝑥 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 3𝑥 𝑑𝑥 3𝑥 1 4𝑥 𝑑𝑢 Simplificando 3𝑥 𝑑𝑥 3 𝑑𝑢 Integrando temos 3 𝑑𝑢 3 2 𝑢 32 𝐶 1 𝑢 32 𝐶 Substituindo u de volta temos 3𝑥 1 2 32 𝑑𝑥 2 2𝑥 4 𝐶 𝑐 𝑥 𝑑𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 1𝑥 1 𝑥 1𝑥 1𝑥 1 𝑥 1𝑥 1 𝑥 1 𝑥 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑥 1 2 Rearranjando temos 𝑑𝑥 2 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑢 Simplificando 𝑥 2 𝑑𝑢 2𝑥 𝑑𝑢 Pondo x em função de u 𝑢 2 𝑥 𝑢 1 3 2 2 2 3 2 𝑢 3𝑡 6 6 2 3 2 3 2 1𝑥 1 𝑥 Substituindo na integral temos 2𝑥 𝑑𝑢 2 𝑢 2 1 𝑑𝑢 Integrando temos 2 𝑢 2 1 𝑑𝑢 2 𝖥 1 𝑢 3 𝑢 𝐶 2 𝑢 3 2𝑢 𝐶 3 3 Substituindo u de volta temos 𝑥 𝑑𝑥 2 3 1 𝑥 2 𝐶 𝑑 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 3𝑥 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑥 3 Rearranjando temos 𝑑𝑥 2 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑢 2 𝑑𝑢 Simplificando 𝑠𝑖𝑛𝑢 2 𝑑𝑢 2 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑑𝑢 3 3 Integrando temos 2 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑑𝑢 2 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝐶 3 3 Substituindo u de volta temos 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝐶 𝑒 3𝑡𝑐𝑜𝑠3𝑡 𝑑𝑡 Vamos fazer a seguinte substituição 2 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑡 6𝑡 Rearranjando temos 𝑑𝑡 1 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 3𝑡𝑐𝑜𝑠3𝑡 2 𝑑𝑡 3𝑡𝑐𝑜𝑠𝑢 1 𝑑𝑢 Simplificando 3𝑡𝑐𝑜𝑠𝑢 1 𝑑𝑢 1 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 6t 2 2 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 2 2 2 Integrando temos 1 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 1 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝐶 2 2 Substituindo u de volta temos 3𝑡𝑐𝑜𝑠3𝑡 2 𝑑𝑡 1 𝑠𝑖𝑛3𝑡 2 𝐶 2 𝑓 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 Utilizando identidades trigonométricas 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑠𝑖𝑛𝑡 2 2 2 2 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 Utilizando identidades trigonométricas 2 2 2 2 𝑠𝑖𝑛 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 Rearranjando 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 1 2 Substituindo na integral 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡1 𝑑𝑡 Simplificando 𝑐𝑜𝑠2𝑡1 𝑑𝑡 1 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 2 Ganhamos duas integrais 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑡 𝑒 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝐶 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑡 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 2𝑡 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑡 2 Rearranjando temos 𝑑𝑡 1 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑢 1 𝑑𝑢 Simplificando 𝑐𝑜𝑠𝑢 1 𝑑𝑢 1 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 2 2 Simplificand o Rearranjand o Substituind o 2 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 Integrando temos 1 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 1 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝐶 2 2 Substituindo u de volta temos 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑑𝑡 1 𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝐶 Retornando à integral original 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 1 𝖥 1 𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝑡 𝐶 2 2 Simplificando temos 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 1 𝑠𝑖𝑛2𝑡 1 𝑡 𝐶 4 2 𝑔 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 Utilizando identidades trigonométricas 2 2 2 2 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 1 𝑠𝑒𝑐 𝑥 1 𝑡𝑔 𝑥 2 2 2 Substituindo 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 1𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Ganhamos duas integrais 1 2 1 𝑑𝑥 2 𝐶 2 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑢𝑑𝑥 Rearranjando temos 𝑑𝑥 2 𝑑𝑢 2 2 Substituindo na integral temos 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑔 𝑢 2 𝑑𝑢 2 Simplificando 𝑡𝑔 𝑢 2 2 𝑑𝑢 2 𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 Utilizando identidades trigonométricas 𝑡𝑔 2𝑥 𝑠𝑒𝑐 2𝑥 1 Substituindo temos 2 𝑡𝑔 2𝑢 𝑑𝑢 2 𝑠𝑒𝑐 2𝑢 1𝑑𝑢 Integrando temos 2 𝑠𝑒𝑐 2𝑢 1𝑑𝑢 2𝑡𝑔𝑢 𝑢 𝐶 2𝑡𝑔𝑢 2𝑢 𝐶 2 3 2 2 2 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥1 𝑥1 𝑥1 𝑢 𝑢 𝑥 1 𝑥1 𝑥 1 𝑥 1 Substituindo u de volta temos 2𝑡𝑔𝑢 2𝑢 𝐶𝑡 2𝑡𝑔 𝑥 2 𝐶 Retornando à integral original 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 2 2𝑡𝑔 𝑥 2 𝐶 Simplificando temos 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 2𝑡𝑔 𝑥 𝐶 ℎ 1 𝑑𝑥 19𝑥 Vamos fazer a seguinte substituição 𝑥 𝑢3 Derivando em relação a x temos 𝑑𝑥𝑑𝑢 13 Rearranjando temos 𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 Substituindo na integral temos 1 𝑑𝑥𝑡 1 1 𝑑𝑢 2 19𝑥 19𝑢3 3 Simplificando 1 1 𝑑𝑢 1 1 𝑑𝑢 19𝑢3 3 3 1𝑢 Integrando temos 1 1 𝑑𝑢 1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢 𝐶 3 1𝑢 3 Substituindo u de volta temos 1 𝑑𝑥 1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3𝑥 𝐶 19𝑥 3 Exercício 4 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑣 1 𝑑𝑥 𝑣 1 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑣 1 𝑑𝑢 2 2 Obtemos 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 𝑥 1𝑑𝑥 2𝑥 2 2 𝑥 1𝑑𝑥 Devemos resolver a integral 𝑥 1𝑑𝑥 𝑥 1 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 3 𝑥 1 𝑢 𝑥 1 𝑥 1 𝑥1 𝑥1 𝑥 1 1𝑥 2 1𝑥 2 1𝑥 2 1𝑥 2 𝑢 1𝑥 2 𝑢 𝑢 1 𝑥 2 1 𝑥 2 1 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2 𝑢 32 𝐶 𝑑𝑥 2 32 𝐶 3 𝑥 1 Substituindo 𝑥 𝑑𝑥 2𝑥 2𝖥 2 𝑥 1 32 𝐶 3 Simplificando 𝑥 𝑑𝑥 2𝑥 4 32 𝐶 3 𝑥 1 𝑏 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑥 𝑥 Obtemos 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 𝑥 1 𝑑𝑥 Organizando temos 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 𝑑𝑥 Devemos resolver a integral 𝑥 2 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑢 𝑑𝑢 2𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑢 1 1 𝑑𝑢 1 2 𝐶 2𝑥 2 2 𝐶 Substituindo 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝖥 𝐶 Organizando temos 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 𝑐 2𝑥 1𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 2𝑥 1 𝑑𝑢 2𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Obtemos 2𝑥 1𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 2𝑥 1𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑑𝑥 Organizando temos 2𝑥 1𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑥 1 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 Como a integral de cosseno é conhecida e automática ganhamos 2𝑥 1𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑥 1 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 3 𝑑 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 3 2 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 3𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑥 3 3 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝐶 Devemos resolver a integral 2 2 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝐶 Substituindo 𝑥 3𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 3 𝑥 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝐶 Devemos resolver a integral 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑥 Obtemos 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝐶 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 Agora substituindo as integrais na equação original temos 3 3 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 3 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 3 3 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 3 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 2𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 3 3 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 3𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 6𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 6𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶 𝑒 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 Escolhemos Obtemo s Escolhemos Obtemo s 2 2 Somamos em ambos os lados 2 2 Escolhemos 𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑢 2 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥 2 2 𝑑𝑣 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 Obtemos 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑑𝑥 2 2 2 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑑𝑥 2 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 2 2 2 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 Dividimos ambos os lados por 2 2 1 2 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 2 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑓 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥1 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Escolhemos 𝑢 1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑 𝑢 2𝑡𝑔𝑥 𝑑 𝑡 𝑔 𝑥 2𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Obtemos 2 2 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥1 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 2𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥 2 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥1 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 2 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 Fazemos 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 Obtemos 2 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 2 2 𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 2 𝑑𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 2 2 𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥1 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 2𝑥 2 1 𝐶 2 2 2 2 2 2 𝑠𝑖𝑛𝑥1 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 1𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑚 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝑥1 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 2𝑠𝑒𝑐𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥1 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ATIVIDADE 2 DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PROFESSOR DrWilson Espindola Passos ANO 2023 Resolva as questões OBS Deve ser entregue a memória de cálulo de todos os exercícios PROFESSOR Wilson Espindola Passos 1Determine a area delimitada pelas curva 𝒚 𝟓𝒙 𝒙𝟐 e o eixo 𝒙 2 Dada a função 𝒚 𝒙 calcular a area sob o gráfico de 𝒙 𝟎 a 𝒙 𝟐 3 Determine a área delimitada pelas curva 𝒚 𝟏 𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟖 e o eixo 𝒙 entre 𝟐 𝟒 𝟖 4 Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva 𝒚 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟐 eo eixo 𝒙 que é 𝒚 𝟎 5 Determinar a área limitada pelas curvas 𝒚 𝟓𝒙 𝒙𝟐 e 𝒚 𝟐𝒙 6 Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva 𝒙 𝟒 𝒚𝟐 7 Determinar a área limitada pelas curvas 𝒚 𝟒𝒂𝒙 𝒙 𝒚 𝟑𝒂 𝒚 𝟎 Primeiro octante com a positivo 8 Achar a área entre as curvas 𝒚 𝒙𝟑 e 𝒚 𝒙 9 Calcule a área entre os gráficos de 𝒚 𝒙 𝟐 e 𝒚 𝒙𝟐 10 Achar a área da região limitada pelos gráficos 𝒙 𝒚𝟐 𝟐𝒚 e 𝒙 𝟐𝒚 𝟑 11 Calcule o volume gerado pela parábola y x2 girando em torno do eixo de y no intervalo 04 12 Calcular usando o método dos anéis circulares o volume formado pela rotação da região entre y x2 e y x 2 13 Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x 6 R é limitada pelos gráficos de y2 4x e x 4 14 Dados os gráficos y x3 e x 2 determine o volume da região para o caso da área plana girar em y ENGENHARIA DE PRODUÇÃO FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA GRANDE DOURADOS DA UNIVERSITÁRIO CENTRO 15 Calcular o volume de revolução em torno de y limitado por y x32 y 1 em x13 16 Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y x2 𝒙 𝟐 e o eixo x 17 Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y2 2x eixo x e x 2 18 Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 2x e y x Questão 𝑦 5𝑥 A área delimitada pela curva 2 e o eixo x pode ser encontrada usando a fórmula da integral definida 𝑏 Área 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑎 onde a e b são os limites da integral e fx é a função que define a curva Para encontrar a área delimitada pela curva y 5x x2 e o eixo x primeiro precisamos encontrar os limites da integral Isso pode ser feito encontrando os pontos onde a curva intersecta o eixo x 2 5𝑥 𝑥 0 𝑥5 𝑥 0 𝑥 0 𝑜𝑢 𝑥 5 Portanto os limites da integral são 0 e 5 5 2 Á𝑟𝑒𝑎 5𝑥 𝑥 𝑑𝑥 0 Agora podemos calcular a integral 2 5 2 1 3 5𝑥 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 3 𝑥 𝐶 onde C é a constante de integração Aplicando os limites da integral temos Á𝑟𝑒𝑎 5 52 1 53 5 02 1 03 125 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 2 3 2 3 6 Portanto a área delimitada pela curva y 5x x2 e o eixo x é de 1256 unidades de área Questão A função y x define uma reta que passa pela origem e tem inclinação 1 Para calcular a área sob o gráfico de x 0 a x 2 precisamos calcular a integral definida da função y x de x 0 a x 2 Á𝑟𝑒𝑎 2 𝑥 𝑑𝑥 0 Para calcular a integral usamos a fórmula 𝑥 𝑑𝑥 1 2 𝐶 2 𝑥 onde C é a constante de integração Aplicando os limites da integral temos Á𝑟𝑒𝑎 1 22 1 02 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 2 2 Portanto a área sob o gráfico de y x de x 0 a x 2 é de 2 unidades de área Questão 1 2 1 2 8 8 2 Para determinar a área delimitada pela curva y 18x2 2x 8 e o eixo x entre x 2 e x 4 podemos usar a integral definida 4 4 Á𝑟𝑒𝑎 𝑥 2𝑥 8 𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 8 𝑑𝑥 8 8 2 2 Primeiro expandimos a integral 1 4 2 4 4 Á𝑟𝑒𝑎 𝑥 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 8 𝑑𝑥 2 2 2 Podemos agora calcular a integral termo a termo 2 1 3 𝑥 𝑑𝑥 3 𝑥 𝐶 2 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝐶 8 𝑑𝑥 8𝑥 𝐶 Aplicando os limites da integral temos Á𝑟𝑒𝑎 1 1 3 3 2 2 8 3 4 2 4 2 84 2 1 24 12 48 1 36 9 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área delimitada pela curva y 18x2 2x 8 e o eixo x entre x 2 e x 4 é de 92 unidades de área 8 Questão 6 Para calcular a área da região limitada inferiormente pela curva y x2 3x 2 e o eixo x que é y 0 precisamos calcular a integral definida da função de x a a x b onde a e b são os pontos de interseção da curva com o eixo x Para encontrar esses pontos igualamos y a zero e resolvemos para x 2 𝑥 3𝑥 2 0 𝑥 2𝑥 1 0 𝑥 1 𝑜𝑢 𝑥 2 Então a área procurada é 2 2 Á𝑟𝑒𝑎 𝑥 1 3𝑥 2 𝑑𝑥 Integrando a função temos 2 1 3 3 2 𝑥 3𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝑥 2 𝑥 2𝑥 𝐶 Aplicando os limites de integração Á𝑟𝑒𝑎 1 3 3 2 1 3 3 2 3 2 2 2 22 3 1 2 1 21 Á𝑟𝑒𝑎 8 6 4 1 3 2 3 3 2 Á𝑟𝑒𝑎 2 5 3 6 Á𝑟𝑒𝑎 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área da região limitada inferiormente pela curva y x2 3x 2 e o eixo x que é y 0 entre x 1 e x 2 é de 16 unidades de área Questão Para determinar a área limitada pelas curvas y 5x x2 e y 2x precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas Igualando as expressões de y temos 2 5𝑥 𝑥 2𝑥 2 𝑥 3𝑥 0 𝑥𝑥 3 0 𝑥 0 𝑜𝑢 𝑥 3 Plotando o gráfico das duas funções no intervalo de x 0 até x 3 podemos ver que a curva y 5x x2 fica acima da curva y 2x no intervalo de x 0 a x 3 Então para calcular a área limitada pelas curvas y 5x x2 e y 2x fazemos 3 3 2 2 Á𝑟𝑒𝑎 5𝑥 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 3𝑥 𝑥 𝑑𝑥 0 0 Integrando temos 2 3 2 1 3 3𝑥 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 3 𝑥 𝐶 Aplicando os limites de integração 3 3 2 1 3 3 3 0 2 1 0 3 9 0 9 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 2 3 2 3 2 2 Portanto a área limitada pelas curvas y 5x x2 e y 2x é de 92 unidades de área Questão A curva x 4 y2 é uma parábola voltada para baixo com vértice no ponto 40 e corta o eixo x no intervalo 2 2 Para determinar a área limitada pelo eixo y e por essa curva podemos integrar a expressão da curva em relação a y no intervalo 2 2 2 2 Á𝑟𝑒𝑎 4 𝑦 𝑑𝑦 2 Integrando temos 2 1 3 4 𝑦 𝑑𝑦 4𝑦 3 𝑦 𝐶 Aplicando os limites de integração Á𝑟𝑒𝑎 4 2 1 23 4 2 1 2 8 8 8 8 3 3 3 3 3 Á𝑟𝑒𝑎 8 8 8 8 16 16 32 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 3 3 3 3 Portanto a área limitada pelo eixo y e pela curva x 4 y2 é de 323 unidades de área Questão 2 1 1 Vamos começar desenhando as curvas no primeiro octante A primeira curva é uma reta x y 3a que intercepta o eixo x em 3a e o eixo y em 3a A segunda curva é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y e vértice na origem A equação da parábola é y 4ax e ela intercepta o eixo x na origem A terceira curva é a reta y 0 que é o próprio eixo x Vamos determinar os pontos de interseção entre as curvas Substituindo y 4ax na equação da reta temos 𝑥 4𝑎𝑥 3𝑎 Resolvendo para x obtemos 3𝑎 14𝑎 Portanto as curvas se interceptam em x 3a14a A área limitada pelas curvas é dada pela integral dupla 𝑅 𝑑𝐴 onde R é a região limitada pelas curvas Vamos dividir a região em duas partes R1 de y0 até 𝑦𝑥 𝑦𝑥 3𝑎 e R2 de 𝑦𝑥 𝑦𝑥 3𝑎 até y 3a A área da região R1 pode ser calculada pela integral 3𝑎 𝑦 3𝑎 14𝑎 4𝑎 14𝑎 𝑦 1 2 𝑦 1 3𝑎 2 𝑅1 𝑑𝐴 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 0 4𝑎 𝑑𝑦 0 4 𝑎 2 8𝑎 14 𝑎 0 𝑅1 𝑑𝐴 1 3𝑎 2 2 9𝑎 9𝑎 8𝑎 14𝑎 2 8𝑎14𝑎 2 814𝑎 A área da região R2 pode ser calculada pela integral 𝑅2 𝑑𝐴 3𝑎𝑦 1 2 𝑅2 𝑑𝐴 2 𝑦 3𝑎3𝑎 1 3𝑎 2 3𝑎 3𝑎 1 3𝑎 2 9𝑎 2 9𝑎 2 𝑥 3𝑎 3𝑎𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3𝑎 3𝑎 𝑦 𝑑𝑦 Questão 2 9𝑎2 1 2 9𝑎 2 14𝑎 2 14𝑎 2 14𝑎 2 14𝑎 2 22 2 2 2 2 𝑅2 𝑑𝐴 9𝑎 9𝑎 9𝑎 1 9𝑎 9𝑎 9𝑎 9𝑎 2 14𝑎 2 14𝑎 2 14𝑎 2 214𝑎 2 2 Assim a área total é a soma entre R1 e R2 Portanto temos 2 2 2 2 2 2 2 Á𝑟𝑒𝑎 9𝑎 9𝑎 9𝑎 9𝑎 9𝑎36𝑎 72𝑎 14𝑎36𝑎 14𝑎 2 814𝑎 2 14𝑎 2 214𝑎 2 814𝑎 2 2 3 2 2 2 3 2 3 4 4 Á𝑟𝑒𝑎 9𝑎36𝑎 72𝑎 288𝑎 36𝑎 18𝑎16𝑎 9𝑎36𝑎 288𝑎 36𝑎 288𝑎 576𝑎 9𝑎576𝑎 2 814𝑎 2 814𝑎 2 814𝑎 Portanto a área limitada pelas curvas y 4ax x y 3a e y 0 no primeiro octante com a 4 positivo é de 9𝑎576𝑎 unidades de área 814𝑎 Questão 𝑥 𝑥 𝑥 Vamos começar encontrando os pontos de interseção das curvas 3 𝑦 𝑥 𝑒 𝑦 3 𝑥 Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos 6 𝑥 𝑥 6 𝑥 𝑥 0 5 𝑥𝑥 1 0 Portanto x 0 ou x 1 são pontos de interseção das curvas A área entre as curvas é dada por 𝐴 1 0 3 𝑥 𝑑𝑥 Integrando a expressão acima temos 𝐴 2 32 1 4 3 𝑥 4 𝑥 𝐴 23 14 𝐴 512 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área entre as curvas y x3 e y x é de 512 unidades de área Questão 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 2 3 Para calcular a área entre as curvas y x 2 e y x2 precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas Igualando as duas equações temos 2 𝑥 2 𝑥 Reorganizando temos 2 𝑥 𝑥 2 0 Resolvendo essa equação quadrática obtemos 𝑥 1 𝑜𝑢 𝑥 2 Portanto as curvas se interceptam nos pontos 1 1 e 2 4 Para encontrar a área entre as duas curvas podemos integrar a diferença entre elas no intervalo entre os pontos de interseção Assim temos 𝐴 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 2 3 𝐴 𝑥 2𝑥 𝑥 𝐶 2 3 Aplicando os limites de integração 2 3 2 3 𝐴 2 4 8 1 2 1 𝐴 9 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área entre as curvas y x 2 e y x2 é de 92 unidades de área 𝐴 Questão Para encontrar a área da região limitada pelos gráficos x y22y e x2y3 precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção dessas duas equações Igualando as duas equações temos 2 𝑦 2𝑦 2𝑦 3 Simplificando temos 2 𝑦 4𝑦 3 0 Fatorando obtemos 𝑦 1𝑦 3 0 Portanto os pontos de interseção são y 1 e y 3 Substituindo esses valores na equação x y2 2y temos Quando y 1 x 12 21 1 Quando y 3 x 32 23 3 Portanto a área da região limitada pelos gráficos x y2 2y e x 2y 3 é dada por 3 2 2𝑦 3 𝑦 1 2𝑦 𝑑𝑦 Simplificando temos 3 2 𝑦 1 4𝑦 3 𝑑𝑦 Integrando obtemos 1 3 3 4 2 3 𝑦 2 𝑦 3𝑦 1 Substituindo os limites de integração temos 1 3 3 4 3 2 3 3 1 1 3 4 1 2 3 1 Questão 3 2 3 2 Simplificando obtemos 3 3 3 2 3 2 1 27 4 9 9 1 4 3 9 18 9 4 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área da região é igual a 43 unidades de área Questão Para calcular o volume gerado pela parábola y x2 girando em torno do eixo de y no intervalo 04 podemos usar o método de discos ou o método de cascas Aqui vamos usar o método de discos Ao girar a região delimitada pela parábola em torno do eixo de y obtemos uma série de discos cilíndricos concêntricos Cada disco tem raio x e espessura dx O volume de cada disco é dado por 2 𝑑𝑉 π𝑥 𝑑𝑥 Para encontrar o volume total precisamos somar todos os discos no intervalo 04 4 2 2 𝑉 π𝑥 0 𝑑𝑥 Questão Integrando obtemos 𝑉 π 5 5 𝑥 0 4 Substituindo os limites de integração temos 5 3 𝑉 π54 π50 Simplificando temos 𝑉 10245π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 5 3 2 Questão Para calcular o volume formado pela rotação da região entre y x2 e y x 2 usando o método dos anéis circulares precisamos primeiro determinar os limites de integração Os gráficos de y x2 e y x 2 se intersectam quando x2 x 2 ou seja quando x2 x 2 0 Fatorando obtemos x 2x 1 0 o que implica que as curvas se cruzam em x 1 e x 2 Então o intervalo de integração será 1 2 Agora vamos considerar um anel infinitesimal de raio r largura dr e altura h que é criado pela rotação da faixa delimitada pelas curvas y x2 e y x 2 em torno do eixo y A altura do anel é dada por h x 2 x2 enquanto seu raio é r x Assim seu volume pode ser expresso como 2 2 2 𝑑𝑉 π 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 O volume total é a integral do volume de cada anel sobre o intervalo 1 2 2 2 2 2 2 2 4 𝑉 π 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 π 𝑥 2𝑥 4 𝑥 𝑑𝑥 1 1 2 4 2 𝑉 π 𝑥 𝑥 1 2𝑥 4 𝑑𝑥 Integrando termo a termo temos 𝑉 π 1 𝑥 5 3 1 𝑥 3 2 1 𝑥 2 4𝑥 1 2 Substituindo os limites de integração temos 𝑉 π 1 2 5 3 1 2 3 2 1 2 2 4 2 1 1 5 3 1 1 3 2 1 1 2 4 1 5 3 2 5 3 2 𝑉 π 32 8 4 8 1 1 1 4 5 5 𝑉 π 68 19 5 5 Simplificando obtemos Questão 𝑉 875π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Questão Para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x 6 vamos utilizar o método das cascas cilíndricas Primeiro é preciso determinar a altura do sólido Como a região R é limitada pelo gráfico de y2 4x e x 4 podemos observar que a altura máxima do sólido é dada por y 2 4 4 Agora vamos calcular a área da seção transversal do sólido para uma altura y genérica Essa seção transversal é formada por um anel de raio externo 6 e raio interno x O raio interno pode ser determinado a partir da equação y2 4x ou seja x y24 Assim a área da seção transversal é dada por 𝐴𝑦 π62 𝑦242 Por fim o volume do sólido é dado pela integral de Ay entre y 0 e y 4 4 4 4 4 𝑉 𝐴𝑦 𝑑𝑦 π62 𝑦242 𝑑𝑦 π36 𝑦 16 𝑑𝑦 0 0 0 Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração por substituição e por partes O resultado final é 𝑉 6565π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 5 5 Questão 𝑉 𝑏 π𝑅2 𝑟2𝑑𝑦 𝑎 onde a e b são os limites da integração em y R é o raio exterior do disco e r é o raio interior do disco Para encontrar R e r precisamos expressar x em termos de y A partir da equação y x3 temos que x y13 Quando x 2 temos y 8 Portanto a integração deve ser feita no intervalo de y de 0 a 8 O raio exterior do disco é dado por R 2 que é a distância da linha vertical x 2 ao eixo y O raio interior do disco é dado por r y13 que é a distância do ponto y13 y ao eixo y Substituindo os valores na fórmula de integração temos 8 23 8 23 𝑉 π4 𝑦 0 𝑑𝑦 π 4 𝑦 0 𝑑𝑦 3 53 8 3 53 3 53 𝑉 π4𝑦 5 𝑦 π 4 8 5 8 0 4 0 5 0 𝑉 π32 3 32 64 π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Portanto o volume da região é 645π 1 Questão Para calcular o volume de revolução em torno do eixo y limitado pelas curvas y x32 e y 1 no intervalo 13 podemos utilizar o método das cascas cilíndricas O raio de cada casca cilíndrica será a distância do eixo de rotação eixo y até a curva y x32 que é dada por r x32 A altura de cada casca cilíndrica será a diferença entre as duas curvas h x32 1 Assim o volume de cada casca cilíndrica é dado por 2 32 2 32 92 3 𝑉 π𝑟 ℎ π𝑥 𝑥 1 π𝑥 π𝑥 Integrando a expressão acima em relação a x no intervalo 13 obtemos o volume de revolução 3 92 3 112 4 3 𝑉 π𝑥 π𝑥 𝑑𝑥 211𝑥 1 π𝑥 4 1 𝑉 𝑉 112 4 112 4 2113 π3 4 2111 π1 4 2113 π814 211 π14 𝑉 13 51 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Questão 16 Para encontrar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y x2 x 2 e o eixo x podemos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas Método dos discos Se usarmos o método dos discos devemos considerar que a área é formada por discos concêntricos como se fosse uma pilha de moedas Cada disco tem raio x e espessura dx O volume de cada disco é dado por dV πr2 dh Para encontrar o limite superior de integração igualamos y x2 a zero o que resulta em x 0 Então integramos de x 0 até x 2 Assim o volume é Questão 2 2 2 2 π 4 π 1 5 2 π 5 𝑉 π𝑥 0 𝑑𝑥 4 𝑥 0 𝑑𝑥 4 𝑥 2 0 8 2 4π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Questão Para encontrar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y2 2x eixo x e x 2 podemos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas Método dos discos Se usarmos o método dos discos devemos considerar que a área é formada por discos concêntricos como se fosse uma pilha de moedas Cada disco tem raio y e espessura dy O volume de cada disco é dado por dV πy2 dx2 Para encontrar o limite superior de integração igualamos x 2 a y2 2x encontramos então o x variando de x 0 até x 2 Assim o volume é 2 2 2 2 2 𝑉 π 2𝑥 𝑑𝑥 π 2𝑥𝑑𝑥 π2 0 4π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 0 0 𝑉 π2 0 2 5 𝑦42 𝑑𝑦 𝑉 π10 𝑦5 0 2 5 𝑉 2π5 2 555 𝑉 8π5 Questão 18 Para encontrar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 2x e y x podemos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas Método dos discos Se usarmos o método dos discos devemos considerar que a área é formada por discos concêntricos como se fosse uma pilha de moedas Cada disco tem raio y e espessura dy O volume de cada disco é dado por dV πy2 dx Para encontrar os limites de integração igualamos y x a y2 2x o que resulta em x 0 e x 2 Então integramos de x 0 até x 2 Assim o volume é 2 2 2 2 2 2 3 2 𝑉 π 2𝑥 𝑥 𝑑𝑥 π 2𝑥 𝑥 𝑑𝑥 π𝑥 Questão 𝑥 30 0 0 2 32 2 3 4π 𝑉 π𝑥 𝑥 30 π2 2 3 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ATIVIDADE 2 DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PROFESSOR DrWilson Espindola Passos ANO 2023 Resolva as questões OBS Deve ser entregue a memória de cálulo de todos os exercícios PROFESSOR Wilson Espindola Passos 1Determine a area delimitada pelas curva 𝒚 𝟓𝒙 𝒙𝟐 e o eixo 𝒙 2 Dada a função 𝒚 𝒙 calcular a area sob o gráfico de 𝒙 𝟎 a 𝒙 𝟐 3 Determine a área delimitada pelas curva 𝒚 𝟏 𝟖 𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟖 e o eixo 𝒙 entre 𝟐 𝟒 4 Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva 𝒚 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟐 eo eixo 𝒙 que é 𝒚 𝟎 5 Determinar a área limitada pelas curvas 𝒚 𝟓𝒙 𝒙𝟐 e 𝒚 𝟐𝒙 6 Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva 𝒙 𝟒 𝒚𝟐 7 Determinar a área limitada pelas curvas 𝒚 𝟒𝒂𝒙 𝒙 𝒚 𝟑𝒂 𝒚 𝟎 Primeiro octante com a positivo 8 Achar a área entre as curvas 𝒚 𝒙𝟑 e 𝒚 𝒙 9 Calcule a área entre os gráficos de 𝒚 𝒙 𝟐 e 𝒚 𝒙𝟐 10 Achar a área da região limitada pelos gráficos 𝒙 𝒚𝟐 𝟐𝒚 e 𝒙 𝟐𝒚 𝟑 11 Calcule o volume gerado pela parábola y x2 girando em torno do eixo de y no intervalo 04 12 Calcular usando o método dos anéis circulares o volume formado pela rotação da região entre y x2 e y x 2 13 Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x 6 R é limitada pelos gráficos de y2 4x e x 4 14 Dados os gráficos y x3 e x 2 determine o volume da região para o caso da área plana girar em y CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 15 Calcular o volume de revolução em torno de y limitado por y x32 y 1 em x13 16 Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y x2 𝒙 𝟐 e o eixo x 17 Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y2 2x eixo x e x 2 18 Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 2x e y x Questão 01 A área delimitada pela curva e o eixo x pode ser encontrada usando a 𝑦 5𝑥 𝑥 2 fórmula da integral definida Área 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑑𝑥 onde a e b são os limites da integral e fx é a função que define a curva Para encontrar a área delimitada pela curva y 5x x2 e o eixo x primeiro precisamos encontrar os limites da integral Isso pode ser feito encontrando os pontos onde a curva intersecta o eixo x 5𝑥 𝑥 2 0 𝑥5 𝑥 0 𝑥 0 𝑜𝑢 𝑥 5 Portanto os limites da integral são 0 e 5 Á𝑟𝑒𝑎 0 5 5𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 Agora podemos calcular a integral 5𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 5 2 𝑥 2 1 3 𝑥 3 𝐶 onde C é a constante de integração Aplicando os limites da integral temos Á𝑟𝑒𝑎 5 2 52 1 3 53 5 2 02 1 3 03 125 6 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área delimitada pela curva y 5x x2 e o eixo x é de 1256 unidades de área Questão 02 A função y x define uma reta que passa pela origem e tem inclinação 1 Para calcular a área sob o gráfico de x 0 a x 2 precisamos calcular a integral definida da função y x de x 0 a x 2 Á𝑟𝑒𝑎 0 2 𝑥 𝑑𝑥 Para calcular a integral usamos a fórmula 𝑥 𝑑𝑥 1 2 𝑥 2 𝐶 onde C é a constante de integração Aplicando os limites da integral temos Á𝑟𝑒𝑎 1 2 22 1 2 02 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área sob o gráfico de y x de x 0 a x 2 é de 2 unidades de área Questão 03 Para determinar a área delimitada pela curva y 18x2 2x 8 e o eixo x entre x 2 e x 4 podemos usar a integral definida Á𝑟𝑒𝑎 2 4 1 8 𝑥 2 2𝑥 8 𝑑𝑥 1 8 2 4 𝑥 2 2𝑥 8 𝑑𝑥 Primeiro expandimos a integral Á𝑟𝑒𝑎 1 8 2 4 𝑥 2𝑑𝑥 2 4 2𝑥 𝑑𝑥 2 4 8 𝑑𝑥 Podemos agora calcular a integral termo a termo 𝑥 2 𝑑𝑥 1 3 𝑥 3 𝐶 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝐶 8 𝑑𝑥 8𝑥 𝐶 Aplicando os limites da integral temos Á𝑟𝑒𝑎 1 8 1 3 4 3 2 3 4 2 2 2 8 4 2 1 8 24 12 48 1 8 36 9 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área delimitada pela curva y 18x2 2x 8 e o eixo x entre x 2 e x 4 é de 92 unidades de área Questão 04 Para calcular a área da região limitada inferiormente pela curva y x2 3x 2 e o eixo x que é y 0 precisamos calcular a integral definida da função de x a a x b onde a e b são os pontos de interseção da curva com o eixo x Para encontrar esses pontos igualamos y a zero e resolvemos para x 𝑥 2 3𝑥 2 0 𝑥 2𝑥 1 0 𝑥 1 𝑜𝑢 𝑥 2 Então a área procurada é Á𝑟𝑒𝑎 1 2 𝑥 2 3𝑥 2 𝑑𝑥 Integrando a função temos 𝑥 2 3𝑥 2 𝑑𝑥 1 3 𝑥 3 3 2 𝑥 2 2𝑥 𝐶 Aplicando os limites de integração Á𝑟𝑒𝑎 1 3 2 3 3 2 2 2 22 1 3 1 3 3 2 1 2 21 Á𝑟𝑒𝑎 8 3 6 4 1 3 3 2 2 Á𝑟𝑒𝑎 2 3 5 6 Á𝑟𝑒𝑎 1 6 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área da região limitada inferiormente pela curva y x2 3x 2 e o eixo x que é y 0 entre x 1 e x 2 é de 16 unidades de área Questão 05 Para determinar a área limitada pelas curvas y 5x x2 e y 2x precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas Igualando as expressões de y temos 5𝑥 𝑥 2 2𝑥 𝑥 2 3𝑥 0 𝑥𝑥 3 0 𝑥 0 𝑜𝑢 𝑥 3 Plotando o gráfico das duas funções no intervalo de x 0 até x 3 podemos ver que a curva y 5x x2 fica acima da curva y 2x no intervalo de x 0 a x 3 Então para calcular a área limitada pelas curvas y 5x x2 e y 2x fazemos Á𝑟𝑒𝑎 0 3 5𝑥 𝑥 2 2𝑥 𝑑𝑥 0 3 3𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 Integrando temos 3𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 3 2 𝑥 2 1 3 𝑥 3 𝐶 Aplicando os limites de integração 3 2 3 2 1 3 3 3 3 2 0 2 1 3 0 3 9 2 0 9 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área limitada pelas curvas y 5x x2 e y 2x é de 92 unidades de área Questão 06 A curva x 4 y2 é uma parábola voltada para baixo com vértice no ponto 40 e corta o eixo x no intervalo 2 2 Para determinar a área limitada pelo eixo y e por essa curva podemos integrar a expressão da curva em relação a y no intervalo 2 2 Á𝑟𝑒𝑎 2 2 4 𝑦 2 𝑑𝑦 Integrando temos 4 𝑦 2 𝑑𝑦 4𝑦 1 3 𝑦 3 𝐶 Aplicando os limites de integração Á𝑟𝑒𝑎 4 2 1 3 23 4 2 1 3 2 3 8 8 3 8 8 3 Á𝑟𝑒𝑎 8 8 3 8 8 3 16 16 3 32 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área limitada pelo eixo y e pela curva x 4 y2 é de 323 unidades de área Questão 07 Vamos começar desenhando as curvas no primeiro octante A primeira curva é uma reta x y 3a que intercepta o eixo x em 3a e o eixo y em 3a A segunda curva é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y e vértice na origem A equação da parábola é y 4ax e ela intercepta o eixo x na origem A terceira curva é a reta y 0 que é o próprio eixo x Vamos determinar os pontos de interseção entre as curvas Substituindo y 4ax na equação da reta temos 𝑥 4𝑎𝑥 3𝑎 Resolvendo para x obtemos 𝑥 3𝑎 14𝑎 Portanto as curvas se interceptam em x 3a14a A área limitada pelas curvas é dada pela integral dupla 𝑅 𝑑𝐴 onde R é a região limitada pelas curvas Vamos dividir a região em duas partes R1 de y0 até e R2 de até y 3a 𝑦𝑥 𝑦 𝑥 3𝑎 14𝑎 𝑦𝑥 𝑦 𝑥 3𝑎 14𝑎 A área da região R1 pode ser calculada pela integral 𝑅1 𝑑𝐴 0 3𝑎 14𝑎 0 𝑦 4𝑎 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 3𝑎 14𝑎 𝑦 4𝑎 𝑑𝑦 1 4𝑎 𝑦 2 2 1 8𝑎 3𝑎 14𝑎 2 0 2 𝑅1 𝑑𝐴 1 8𝑎 3𝑎 14𝑎 2 9𝑎 2 8𝑎 14𝑎 2 9𝑎 8 14𝑎 2 A área da região R2 pode ser calculada pela integral 𝑅2 𝑑𝐴 3𝑎 14𝑎 3𝑎 0 3𝑎𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3𝑎 14𝑎 3𝑎 3𝑎 𝑦 𝑑𝑦 3𝑎𝑦 1 2 𝑦 2 𝑅2 𝑑𝐴 3𝑎 3𝑎 1 2 3𝑎 2 3𝑎 3𝑎 14𝑎 1 2 3𝑎 14𝑎 2 9𝑎 2 9𝑎 2 2 9𝑎 2 14𝑎 1 2 9𝑎 2 14𝑎 2 𝑅2 𝑑𝐴 9𝑎 2 9𝑎 2 2 9𝑎 2 14𝑎 1 2 9𝑎 2 14𝑎 2 9𝑎 2 2 9𝑎 2 14𝑎 9𝑎 2 2 14𝑎 2 Assim a área total é a soma entre R1 e R2 Portanto temos Á𝑟𝑒𝑎 9𝑎 8 14𝑎 2 9𝑎 2 2 9𝑎 2 14𝑎 9𝑎 2 2 14𝑎 2 9𝑎36𝑎 272𝑎 2 14𝑎 36𝑎 2 14𝑎 2 8 14𝑎 2 Á𝑟𝑒𝑎 9𝑎36𝑎 272𝑎 2288𝑎 336𝑎 2 18𝑎16𝑎 2 8 14𝑎 2 9𝑎36𝑎 2288𝑎 336𝑎 2288𝑎 3576𝑎 4 8 14𝑎 2 9𝑎576𝑎 4 8 14𝑎 2 Portanto a área limitada pelas curvas y 4ax x y 3a e y 0 no primeiro octante com a positivo é de unidades de área 9𝑎576𝑎 4 8 14𝑎 2 Questão 08 Vamos começar encontrando os pontos de interseção das curvas 𝑦 𝑥 3 𝑒 𝑦 𝑥 𝑥 3 𝑥 Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos 𝑥 6 𝑥 𝑥 6 𝑥 0 𝑥𝑥 5 1 0 Portanto x 0 ou x 1 são pontos de interseção das curvas A área entre as curvas é dada por 𝐴 0 1 𝑥 𝑥 3 𝑑𝑥 Integrando a expressão acima temos 𝐴 2 3 𝑥 32 1 4 𝑥 4 𝐴 23 14 𝐴 512 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área entre as curvas y x3 e y x é de 512 unidades de área Questão 09 Para calcular a área entre as curvas y x 2 e y x2 precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas Igualando as duas equações temos 𝑥 2 𝑥 2 Reorganizando temos 𝑥 2 𝑥 2 0 Resolvendo essa equação quadrática obtemos 𝑥 1 𝑜𝑢 𝑥 2 Portanto as curvas se interceptam nos pontos 1 1 e 2 4 Para encontrar a área entre as duas curvas podemos integrar a diferença entre elas no intervalo entre os pontos de interseção Assim temos 𝐴 𝑥 2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝐴 𝑥 2 2 2𝑥 𝑥 3 3 𝐶 Aplicando os limites de integração 𝐴 2 2 2 2 2 2 3 3 1 2 2 2 1 1 3 3 𝐴 2 4 8 3 1 2 2 1 3 𝐴 9 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área entre as curvas y x 2 e y x2 é de 92 unidades de área Questão 10 Para encontrar a área da região limitada pelos gráficos x y22y e x2y3 precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção dessas duas equações Igualando as duas equações temos 𝑦 2 2𝑦 2𝑦 3 Simplificando temos 𝑦 2 4𝑦 3 0 Fatorando obtemos 𝑦 1𝑦 3 0 Portanto os pontos de interseção são y 1 e y 3 Substituindo esses valores na equação x y2 2y temos Quando y 1 x 12 21 1 Quando y 3 x 32 23 3 Portanto a área da região limitada pelos gráficos x y2 2y e x 2y 3 é dada por 1 3 2𝑦 3 𝑦 2 2𝑦 𝑑𝑦 Simplificando temos 1 3 𝑦 2 4𝑦 3 𝑑𝑦 Integrando obtemos 1 3 𝑦 3 4 2 𝑦 2 3𝑦 3 1 Substituindo os limites de integração temos 1 3 3 3 4 2 3 2 3 3 1 3 1 3 4 2 1 2 3 1 Simplificando obtemos 1 3 27 4 2 9 9 1 3 4 2 3 9 18 9 4 3 4 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área da região é igual a 43 unidades de área Questão 11 Para calcular o volume gerado pela parábola y x2 girando em torno do eixo de y no intervalo 04 podemos usar o método de discos ou o método de cascas Aqui vamos usar o método de discos Ao girar a região delimitada pela parábola em torno do eixo de y obtemos uma série de discos cilíndricos concêntricos Cada disco tem raio x e espessura dx O volume de cada disco é dado por 𝑑𝑉 π𝑥 2 𝑑𝑥 Para encontrar o volume total precisamos somar todos os discos no intervalo 04 𝑉 0 4 π 𝑥 2 2 𝑑𝑥 Integrando obtemos 𝑉 π 5 𝑥 5 0 4 Substituindo os limites de integração temos 𝑉 π54 5 π50 3 Simplificando temos 𝑉 10245π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Questão 12 Para calcular o volume formado pela rotação da região entre y x2 e y x 2 usando o método dos anéis circulares precisamos primeiro determinar os limites de integração Os gráficos de y x2 e y x 2 se intersectam quando x2 x 2 ou seja quando x2 x 2 0 Fatorando obtemos x 2x 1 0 o que implica que as curvas se cruzam em x 1 e x 2 Então o intervalo de integração será 1 2 Agora vamos considerar um anel infinitesimal de raio r largura dr e altura h que é criado pela rotação da faixa delimitada pelas curvas y x2 e y x 2 em torno do eixo y A altura do anel é dada por h x 2 x2 enquanto seu raio é r x Assim seu volume pode ser expresso como 𝑑𝑉 π 𝑥 2 2 𝑥 2 2 𝑑𝑥 O volume total é a integral do volume de cada anel sobre o intervalo 1 2 𝑉 1 2 π 𝑥 2 2 𝑥 2 2 𝑑𝑥 π 1 2 𝑥 2 2𝑥 4 𝑥 4 𝑑𝑥 𝑉 π 1 2 𝑥 4 𝑥 2 2𝑥 4 𝑑𝑥 Integrando termo a termo temos 𝑉 π 1 5 𝑥 5 3 1 3 𝑥 3 2 1 2 𝑥 2 4𝑥 1 2 Substituindo os limites de integração temos 𝑉 π 1 5 2 5 3 1 3 2 3 2 1 2 2 2 4 2 1 5 1 5 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 4 1 𝑉 π 32 5 8 4 8 1 5 1 1 4 𝑉 π 68 5 19 5 Simplificando obtemos 𝑉 875π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Questão 13 Para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x 6 vamos utilizar o método das cascas cilíndricas Primeiro é preciso determinar a altura do sólido Como a região R é limitada pelo gráfico de y2 4x e x 4 podemos observar que a altura máxima do sólido é dada por y 24 4 Agora vamos calcular a área da seção transversal do sólido para uma altura y genérica Essa seção transversal é formada por um anel de raio externo 6 e raio interno x O raio interno pode ser determinado a partir da equação y2 4x ou seja x y24 Assim a área da seção transversal é dada por 𝐴𝑦 π62 𝑦242 Por fim o volume do sólido é dado pela integral de Ay entre y 0 e y 4 𝑉 0 4 𝐴𝑦 𝑑𝑦 0 4 π62 𝑦242 𝑑𝑦 π 0 4 36 𝑦 416 𝑑𝑦 Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração por substituição e por partes O resultado final é 𝑉 6565π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Questão 14 𝑉 𝑎 𝑏 π𝑅2 𝑟2𝑑𝑦 onde a e b são os limites da integração em y R é o raio exterior do disco e r é o raio interior do disco Para encontrar R e r precisamos expressar x em termos de y A partir da equação y x3 temos que x y13 Quando x 2 temos y 8 Portanto a integração deve ser feita no intervalo de y de 0 a 8 O raio exterior do disco é dado por R 2 que é a distância da linha vertical x 2 ao eixo y O raio interior do disco é dado por r y13 que é a distância do ponto y13 y ao eixo y Substituindo os valores na fórmula de integração temos 𝑉 0 8 π4 𝑦 23 𝑑𝑦 π 0 8 4 𝑦 23𝑑𝑦 𝑉 π 4𝑦 3 5 𝑦 53 0 8 π 4 8 3 5 8 53 4 0 3 5 0 53 𝑉 π 32 3 5 32 64 5 π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Portanto o volume da região é 645π Questão 15 Para calcular o volume de revolução em torno do eixo y limitado pelas curvas y x32 e y 1 no intervalo 13 podemos utilizar o método das cascas cilíndricas O raio de cada casca cilíndrica será a distância do eixo de rotação eixo y até a curva y x32 que é dada por r x32 A altura de cada casca cilíndrica será a diferença entre as duas curvas h x32 1 Assim o volume de cada casca cilíndrica é dado por 𝑉 π𝑟 2ℎ π𝑥 32 2𝑥 32 1 π𝑥 92 π𝑥 3 Integrando a expressão acima em relação a x no intervalo 13 obtemos o volume de revolução 𝑉 1 3 π𝑥 92 π𝑥 3 𝑑𝑥 211𝑥 112 π𝑥 44 1 3 𝑉 2113 112 π3 44 2111 112 π1 44 𝑉 2113 112 π814 211 π14 𝑉 13 51 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Questão 16 Para encontrar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y x2 x 2 e o eixo x podemos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas Método dos discos Se usarmos o método dos discos devemos considerar que a área é formada por discos concêntricos como se fosse uma pilha de moedas Cada disco tem raio x e espessura dx O volume de cada disco é dado por dV πr2 dh Para encontrar o limite superior de integração igualamos y x2 a zero o que resulta em x 0 Então integramos de x 0 até x 2 Assim o volume é 𝑉 0 2 π𝑥 2 2 𝑑𝑥 π 4 0 2 𝑥 4 𝑑𝑥 π 4 1 2 𝑥 5 0 2 π 8 2 5 4π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Questão 17 Para encontrar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y2 2x eixo x e x 2 podemos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas Método dos discos Se usarmos o método dos discos devemos considerar que a área é formada por discos concêntricos como se fosse uma pilha de moedas Cada disco tem raio y e espessura dy O volume de cada disco é dado por dV πy2 dx2 Para encontrar o limite superior de integração igualamos x 2 a y2 2x encontramos então o x variando de x 0 até x 2 Assim o volume é 𝑉 0 2 π 2𝑥 2 𝑑𝑥 π 0 2 2𝑥𝑑𝑥 π 2 2 0 2 4π 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑉 π2 0 2 5 𝑦42 𝑑𝑦 𝑉 π10 𝑦5 0 2 5 𝑉 2π5 2 555 𝑉 8π5 Questão 18 Para encontrar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 2x e y x podemos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas Método dos discos Se usarmos o método dos discos devemos considerar que a área é formada por discos concêntricos como se fosse uma pilha de moedas Cada disco tem raio y e espessura dy O volume de cada disco é dado por dV πy2 dx Para encontrar os limites de integração igualamos y x a y2 2x o que resulta em x 0 e x 2 Então integramos de x 0 até x 2 Assim o volume é 𝑉 π 0 2 2𝑥 2 𝑥 2 𝑑𝑥 π 0 2 2𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 π 𝑥 2 𝑥 33 0 2 𝑉 π 𝑥 2 𝑥 33 0 2 π 2 2 2 33 4π 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒