Cálculo III ESAMC 2023 - Roteiro de Trabalho Avaliativo sobre Funções de Várias Variáveis e Integração Dupla

ESAMC Cálculo III 2º Semestre de 2023 Roteiro de Trabalho para Avaliação de Alunos em Regime Especial Nome RA 1 Para cada uma das funções abaixo determine o conjunto dos pontos xy onde f xy é contínua a f xy sen x²y b f xy ln x² y² c f xy exyx y d f xy ln cos x² y² 2 Calcule o limite lim x0 y0 2x²yx⁴ y² nos seguintes casos a Ao longo da parábola y x² substituindo y na expressão acima e depois tomando o limite b Ao longo da parábola y x² substituindo y na expressão acima e depois tomando o limite c Com base nos resultados dos itens a e b esta função é contínua na origem 3 Seja a função de duas variáveis f xy ln xy a Qual é o domínio de f xy Faça um desenho do plano xy mostrando as regiões em que esta função é definida b Calcule fx fy e escreva o gradiente da função f xy ou seja f xy c Calcule a derivada direcional de f xy no ponto P 31 na direção u 34 Não se esqueça de normalizar o vetor u 4 Dada a função de três variáveis g xyz xy yz zx e o ponto P 112 determine a O gradiente de g xyz em P ou seja g 112 b A equação do plano tangente à superfície de nível g xyz 5 no ponto P Lembrese de que neste tipo de problema o plano é definido por um vetor normal cujas componentes são nx ny nz g xyz 5 Em cada uma das guras a b e c abaixo são apresentados os grácos de uma superfície e das curvas de nível correspondentes a b c a A qual gura corresponde a função f x y x2 y2 Justique b A qual gura corresponde a função f x y x y2 Justique c A qual gura corresponde a função f x y ex2y2 Justique d Nos grácos de curvas de nível uma densidade maior de linhas corresponde a uma variação maior ou menor da função naquela região 6 Utilize a integração dupla para encontrar a área da região delimitada pelas parábolas y x² e y 2x x² Desenhe a região onde as curvas se intersectam indicando todos os pontos importantes para a determinação dos limites de integração 7 Encontre o volume acima do plano xy delimitado pela superfície z x² y² e pelos planos x 1 e y 1 8 Determine o valor da integral dupla sen x y dx dy no intervalo 0 x π2 e 0 y π2 9 Qual é o valor de ₀¹ ₀1x ₀xy f xyz dz dy dx para f xyz 1 10 Calcule a área no interior da cardióide r θ a 1 cos θ onde a é uma constante positiva através de uma integral dupla em coordenadas polares Dado cos² θ 1 cos 2θ2 11 Use uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para encontrar o volume abaixo do paraboloide z 1 x² y² acima do plano xy