Exercícios de Cálculo e Artigo

Cálculo III Pré Projeto Descrição do projeto Neste projeto os alunos terão a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos no curso de Cálculo III para entender uma descrição prática e relevante no campo da física e principalmente das engenharias e áreas correlatas A modelagem matemática de sistemas A situaçãoproblema central do projeto está baseada no movimento de uma partícula que é descrita em coordenadas polares Esta é a equação que caracteriza o movimento de um elétron em movimento em uma região com campo elétrico O préprojeto e o projeto final deverão seguir uma abordagem que integre conceitos fundamentais de cálculo III como equações diferenciais derivadas parciais e funções de várias variáveis para a modelagem e o estudo deste problema Inicialmente os alunos deverão utilizar as técnicas de derivadas e funções de várias variáveis Em seguida estas técnicas devem serem aplicadas para determinar as grandezas mecânicas velocidade e aceleração É importante destacar que este tipo de movimento é um dos fenômenos mais explorados no desenvolvimento tecnológico da sociedade e é utilizada em todas as áreas do conhecimento Por isso sua modelagem matemática e física seguindo as leis da natureza e as propriedades do cálculo diferencial e integral são fundamentais Assim o projeto integrará todos os elementos abordados ao longo do curso proporcionando uma aplicação prática e completa das técnicas estudadas Esse estudo não apenas reforçará a compreensão dos conceitos de cálculo mas também demonstrará a importância dessas ferramentas na resolução de problemas complexos e reais como a análise de sistemas dinâmicos 1 REGRAS A SEREM UTILIZADAS Vamos imaginar duas funções quaisquer de três variáveis dadas por 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 Estas funções podem ser escalares ou vetoriais dependendo da situação estudada Imagine que precisamos obter a derivada do produto entre estas funções em relação ao tempo Matematicamente isso quer dizer 𝑑 𝑑𝑡 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 Aqui é importante reparar que temos uma regra do produto a ser aplicada e dentro de cada função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 e 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 podem existir regras da cadeia a serem aplicadas também Agora imagine que precisamos obter a derivada de uma função composta em relação ao tempo Neste caso matematicamente isso quer dizer que 𝑡 𝑓𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑡 𝑓𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑡 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 2 O MOVIMENTO ESPIRAL Com estas informações vamos considerar a seguinte função posição de uma partícula em movimento dadas em coordenadas polares 𝑥 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜑 𝑦 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑧 𝑧 Nestes casos considere que 𝜔 𝜑 e 𝑅 são constantes quaisquer a princípio Em outras palavras isso quer dizer que a posição é dada como a soma de suas componentes resultando em 𝑆 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜑 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑧 A representação esquemática da trajetória da partícula segundo a posição é dada por Figura 1 Trajetória espiral 3 MÃO NA MASSA A partir das informações mencionadas considerando o sistema de coordenadas polares e seus conhecimentos em sistemas naturais juntos as técnicas de cálculo diferencial e integral desenvolvidas neste curso sua missão será No PréProjeto I Estudar conceitualmente destacando os princípios físicos envolvidos no estudo dos movimentos II Entender como por meio de derivadas e integrais de funções de várias varáveis é possível obter as grandezas mecânicas velocidade e aceleração III Destacar como a combinação das equações as funções de várias variáveis e as derivadas parciais se relacionam produzindo informações importantes para descrever movimentos 4 APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E PESQUISAS Apresente os resultados de forma estruturada na forma de um pequeno artigo ou mini relatório Aplicac oes do Calculo Diferencial e Integral nas Ciˆencias Estudo do movimento de projeteis em 3dimensoes Calculo III Adryene Martins Pereira Orientador Prof Luiz Guilherme Rezende Rodrigues Curso Engenharia de Produc ao Aplicações do Cálculo Diferencial e Integral nas Ciências Aplicação no estudo do movimento de projéteis em 3dimensões Adryene Martins Perei Disciplina Cálculo III Resumo Este artigo aborda o sistema de coordenadas cartesianas e as equações paramétricas do movimento de um projétil O sistema cartesiano é crucial para representar pontos e trajetórias no espaço enquanto as equações paramétricas ajudam a entender variáveis como velocidade inicial e ângulo de lançamento O cálculo diferencial é usado para analisar a velocidade e a aceleração enquanto o cálculo integral permite determinar a área sob a curva da trajetória facilitando o cálculo do deslocamento total A integral de linha é discutida como uma ferramenta para analisar campos vetoriais Concluise que a combinação dessas ferramentas é fundamental para resolver problemas de movimento em física Palavraschave cálculo diferencial cálculo integral mecânica sistema de coordenadas funções paramétricas representações gráficas 1 Introdução O sistema de coordenadas cartesianas é amplamente utilizado em diversas áreas da matemática e física Ele permite a representação gráfica de funções e a análise de movimentos Neste contexto o movimento de um projétil é um exemplo clássico que pode ser descrito por meio de equações paramétricas Neste projeto conceitos fundamentais da física foram explorados conforme dis cutido por Torres TORRES 2018 e Serway e Vuille SERWAY VUILLE 2018 A cinemática foi abordada de maneira prática como descrito por Klein KLEIN 2019 Além disso o cálculo e suas aplicações foram essenciais para a modelagem matemática conforme apresentado por Adams e Boyce ADAMS BOYCE 2019 1 2 Sistema de Coordenadas Cartesianas O sistema de coordenadas cartesianas utiliza eixos perpendiculares para definir a posição de pontos no espaço No plano bidimensional utilizamse dois eixos x horizontal e y vertical A posição de um ponto P é dada por um par ordenado xy Em um espaço tridimensional um terceiro eixo z é adicionado resultando em uma representação tripla xyz 3 Descrição do Sistema de Coordenadas Cartesiano O sistema de coordenadas cartesiano é um sistema de referência bidimensional ou tridimensional que utiliza eixos perpendiculares para definir a posição de pontos no espaço Em um sistema bidimensional são utilizados dois eixos O eixo x horizontal que representa a coordenada da abscissa O eixo y vertical que representa a coordenada da ordenada A posição de um ponto P em um plano é dada por um par ordenado xy onde x é a distância do ponto ao eixo x e y é a distância do ponto ao eixo x Em um sistema tridimensional adicionase um terceiro eixo O eixo z que é perpendicular aos eixos x e y e representa a coordenada da altura A posição de um ponto P no espaço tridimensional é representada por um triplo ordenado xyz Neste sistema as coordenadas são medidas em relação a um ponto de origem O que é a interseção dos três eixos O sistema de coordenadas cartesiano é amplamente utilizado em matemática física e engenharia para modelar e analisar fenômenos espaciais permitindo a representação gráfica de funções e a resolução de problemas geométricos Na figura 1 abaixo um exemplo para leitura de pontos e suas coordenadas cartesianas xyz 4 Equações Paramétricas As equações paramétricas são uma forma de representar curvas e superfícies no espaço utilizando um ou mais parâmetros Em vez de expressar uma variável em termos de outra como em uma função tradicional yfx as equações paramétricas expressam as coordenadas de um ponto em função de um parâmetro t Para uma curva no plano xy as equações paramétricas podem ser escritas na forma x xt y yt onde t é o parâmetro que varia em um intervalo específico A combinação dos valores de xt e yt à medida que t varia gera a trajetória da curva 10 5 5 10 10 5 5 10 10 5 5 10 P3 0 5 Q5 5 7 0 0 0 origem x y z Figura 1 Leitura de pontos em um sistema de coordenadas cartesianas em 3D Em um espaço tridimensional as equações paramétricas são escritas como x xt y yt z zt As equações paramétricas são particularmente úteis na mecânica ao descrever a trajetória parabólica de um ponto material em um espaço tridimensional No estudo do movimento de projéteis as variáveis xt yt e zt podem ser expressas em termos do tempo t levando em conta as forças que atuam sobre o corpo como a gravidade A posição horizontal e lateral do projétil varia linearmente com o tempo enquanto a altura do projétil segue uma função quadrática refletindo o efeito da aceleração gravitacional 41 Parâmetros Iniciais Para o movimento do projétil os seguintes parâmetros iniciais são considerados v0 Velocidade inicial do projétil em metros por segundo ms Este parâmetro determina a rapidez com que o projétil é lançado θ Ângulo de lançamento em graus Este ângulo é medido a partir da horizontal e influencia a trajetória vertical do projétil 3 h0 Altura inicial em metros m Este parâmetro representa a altura de lançamento do projétil em relação ao solo Estes parâmetros são fundamentais para calcular a trajetória do projétil a altura máxima o tempo de voo e o alcance horizontal 5 Funções Paramétricas do Movimento do Projétil O movimento de um projétil lançado em um campo gravitacional pode ser descrito utilizando funções paramétricas Vamos considerar um projétil lançado com uma velocidade inicial v0 a um ângulo θ em relação à horizontal a partir de uma altura inicial h0 As equações paramétricas que descrevem a trajetória do projétil são xt v0 cosθ t yt v0 sinθ t zt h0 v0 sinθ t 1 2gt2 Onde xt representa a posição horizontal do projétil no tempo t yt representa a posição lateral do projétil no tempo t zt representa a altura do projétil no tempo t g é a aceleração devido à gravidade aproximadamente 981 ms2 v0 é a velocidade inicial do projétil θ é o ângulo de lançamento Posição Horizontal xt A posição horizontal do projétil aumenta linearmente com o tempo já que não há aceleração horizontal A velocidade horizontal é dada por v0 cosθ onde cosθ determina a fração da velocidade inicial na direção x Posição Lateral yt Assim como a posição xt a posição lateral também aumenta linearmente ao longo do tempo É dada pela velocidade v0 sinθ Altura zt A altura é uma função quadrática do tempo Inicialmente o projétil sobe devido à componente vertical da velocidade v0 sinθ mas a gravidade atua para reduzir essa altura ao longo do tempo Isso é representado pelo termo 1 2gt2 4 Essas funções permitem calcular a posição do projétil em qualquer instante t fornecendo uma descrição completa de sua trajetória O intervalo de t varia desde t 0 até o tempo de voo total que pode ser calculado a partir das equações do movimento 6 Vetor Velocidade O vetor velocidade do projétil descreve a taxa de variação da posição do projétil em relação ao tempo e é dado por vt vxtˆi vytˆj vztˆk Onde vxt dxt dt v0 cosθ é a componente da velocidade horizontal do projétil vyt dyt dt v0 sinθ é a componente da velocidade lateral do projétil vzt dzt dt v0 sinθ gt é a componente da velocidade vertical do projétil Portanto o vetor velocidade do projétil pode ser expresso como vt v0 cosθˆi v0 sinθ ˆj gt ˆk Neste vetor ˆi representa a direção horizontal eixo x ˆj representa a direção vertical eixo y ˆk representa a direção da altura eixo z que não contribui na direção horizontal O vetor velocidade é crucial para entender o movimento do projétil e permite calcular a magnitude e a direção da velocidade em qualquer instante t 7 Trajetória do Projétil Na figura 2 apresentamos a representação da trajetória do projétil simulada em 3D O gráfico ilustra o lançamento de um projétil em um espaço tridimensional onde a linha contínua azul representa sua trajetória Além disso os vetores de velocidade tangenciam a trajetória fornecendo uma visão clara da direção e magnitude do movimento em cada ponto da curva No graáfico optamos por uma escala arbitrária para a magnitude norma do vetor velocidade 8 Deduções das Funções Horárias Para um projétil lançado com uma velocidade inicial v0 sob um ângulo θ em relação ao solo as funções horárias que descrevem seu movimento em um sistema de coordenadas cartesianas são dadas por 5 Figura 2 Trajetória do projétil em 3D 81 Altura Máxima A altura máxima zmax é alcançada quando a componente vertical da velocidade se torna zero A velocidade vertical inicial é dada por v0z v0 sinθ Usando a equação do movimento uniformemente acelerado v2 z v2 0z 2gz h0 Para encontrar a altura máxima igualamos vz 0 0 v0 sinθ2 2gzmax h0 Isolando zmax zmax h0 v0 sinθ2 2g 82 Distância Máxima A distância máxima xmax é obtida quando o projétil retorna ao solo z 0 Primeiro calculamos o tempo total de voo ttotal 6 83 Tempo de Voo O tempo total de voo ttotal pode ser encontrado resolvendo a equação zt 0 0 h0 v0 sinθ t 12gt² Resolvendo essa equação quadrática para t t v0 sinθ v0 sinθ² 2g h0g O tempo total de voo é dado pela solução positiva da equação Usando ttotal a distância máxima é xmax v0 cosθttotal 84 Valores Numéricos Abaixo está a tabela com os valores numéricos utilizados na simulação do movimento do projétil Tabela 1 Parâmetros do Movimento do Projétil Parâmetro Valor Unidade Velocidade Inicial v0 40 ms Ângulo de Lançamento θ 30 graus Ângulo de Azimute φ 45 graus Altura Inicial h0 20 m Aceleração da Gravidade g 981 ms² 85 Resultados do Lançamento Na tabela a seguir apresentamos os resultados do lançamento incluindo a distância máxima altura máxima e o tempo de voo Parâmetro Valor Distância Máxima D 22121 m Altura Máxima H 4082 m Tempo de Voo tf 491 s Tabela 2 Resultados do Lançamento 9 Conceito de Integral de Linha A integral de linha também conhecida como integral de caminho é uma generalização do conceito de integral definida que é utilizada para calcular integrais ao longo de uma curva no espaço Em vez de integrar ao longo de um intervalo em uma única dimensão a integral de linha considera uma curva que pode estar em duas ou três dimensões 91 Definição Seja C uma curva parametrizada no espaço descrita por um vetor posição rt onde t varia em um intervalo ab A integral de linha de uma função escalar fxyz ao longo da curva C é dada por C f ds ab frtrt dt onde ds é um elemento de comprimento ao longo da curva e rt é a norma do vetor derivada da curva que representa a taxa de variação da curva em relação ao parâmetro t 92 Aplicações As integrais de linha são amplamente utilizadas em diversas áreas da matemática e da física incluindo Física Para calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho ou a circulação de um campo vetorial Geometria Para determinar o comprimento de uma curva Engenharia Para analisar fluxos de fluidos e campos eletromagnéticos 93 Integral de Linha de um Campo Vetorial Para um campo vetorial F Pxyz Qxyz Rxyz a integral de linha ao longo da curva C é dada por C F dr ab Frt rt dt onde dr rt dt é um vetor tangente à curva e denota o produto escalar Esta formulação permite calcular quantidades como o trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma trajetória específica 94 Cálculo do Comprimento da Trajetória No contexto do movimento do projétil a integral de linha pode ser utilizada para calcular o comprimento da trajetória Se a trajetória do projétil é descrita pelas funções xt yt e zt o comprimento L da trajetória de um ponto A a um ponto B é dado por L AB ds ab dxdt² dydt² dzdt² dt Essa expressão integra a norma da derivada da posição ao longo do tempo resultando no comprimento total da trajetória do projétil Cálculo do Comprimento da Trajetória via Integral de Linha Neste seção descreveremos como calcular o comprimento da trajetória de um projétil utilizando o conceito de integral de linha 101 Definição do Problema Para um projétil lançado com uma velocidade inicial v₀ em um ângulo θ e azimute φ a partir de uma altura inicial h₀ a trajetória do projétil é determinada pelas suas componentes de movimento ao longo dos eixos x y e z Nosso objetivo é calcular o comprimento total da trajetória percorrida pelo projétil 102 Equações de Movimento As equações que descrevem o movimento do projétil são dadas por xt vₓ₀ t yt vᵧ₀ t zt h₀ v𝓏₀ t 12 gt² onde vx₀ v₀ cosθ cosφ é a componente horizontal da velocidade vy₀ v₀ cosθ sinφ é a componente lateral da velocidade vz₀ v₀ sinθ é a componente vertical da velocidade g é a aceleração devido à gravidade 11 Deduções e Cálculos do Comprimento da Trajetória Para calcular o comprimento da trajetória de um projétil em movimento tridimensional utilizamos a integral de linha Vamos deduzir essa integral passo a passo e apresentar o resultado final 111 Definindo a Integral de Linha O comprimento da trajetória L pode ser expresso pela seguinte integral L de t₀ a tƒ dxdt² dydt² dzdt² dt onde t₀ e tƒ são os tempos inicial e final respectivamente 112 Calculando as Derivadas Para o movimento do projétil as funções paramétricas são dadas por xt v₀ cosθt yt v₀ sinθt zt h₀ v₀ sinθt 12 gt² Calculamos as derivadas em relação ao tempo t 1 Para xt dxdt v₀ cosθ 2 Para yt dydt v₀ sinθ 3 Para zt dzdt v₀ sinθ gt 113 Substituindo na Integral Substituindo as derivadas na integral de linha temos L de t₀ a tƒ v₀ cosθ² v₀ sinθ² v₀ sinθ gt² dt 114 Simplificando a Expressão A expressão sob a raiz pode ser simplificada v₀ sinθ gt² v₀² sin²θ 2v₀ sinθgt g² t² Portanto L de t₀ a tƒ v₀ cosθ² v₀² sin²θ 2v₀ sinθgt g² t² dt 115 Solução da Integral A solução da integral é L 1g u2 v₀ cosθ² u² v₀ cosθ² 2 ln u v₀ cosθ² u² ut₀ a utƒ Cálculo do Comprimento da Trajetória Para calcular o comprimento da trajetória L usando a integral seguimos os seguintes passos Os limites de integração mudam Quando t0 u v₀ sinθ Quando t tƒ u v₀ sinθ gtƒ Substituindo na integral temos L de v₀ sinθ a v₀ sinθ gtƒ v₀ cosθ² u² dug Rearranjando obtemos L 1g de v₀ sinθ gtƒ a v₀ sinθ v₀ cosθ² u² du 121 Cálculo da Integral A integral a ser avaliada é L 1g u2 v₀ cosθ² u² v₀ cosθ² 2 ln u v₀ cosθ² u² v₀ sinθ a v₀ sinθ gtƒ 122 Avaliando os Limites 1 Limite superior u v₀ sinθ Lₛᵤₚₑᵣᵢₒᵣ 1g v₀ sinθ2 v₀ cosθ² v₀ sinθ² v₀ cosθ² 2 ln v₀ sinθ v₀ cosθ² v₀ sinθ² 1 2 Limite inferior u v₀ sinθ gtƒ Lᵢₙfₑᵣᵢₒᵣ 1g v₀ sinθ gtƒ2 v₀ cosθ² v₀ sinθ gtƒ² v₀ cosθ² 2 ln v₀ sinθ gtƒ v₀ cosθ² v₀ sinθ gtƒ² 2 123 Resultado Numérico Final Suponha os seguintes valores v₀ 40 ms θ 30 φ 45 h020m Calculando tf tffracv0 sin hetag sqrtfracv0 sin heta2g2 frac2h0g Substituindo os valores tffrac40 cdot 05981 sqrtfrac2029812 frac2 cdot 20981 Calculando a Primeira Parte frac20981 approx 2038 s Calculando a Segunda Parte frac2029812 frac400962361 approx 4155 frac2 imes 20981 approx 4078 Somando as duas partes 4155 4078 approx 8233 Agora tirando a raiz quadrada sqrt8233 approx 2867 Substituindo os valores tf approx 2038 2867 approx 4905 s 124 Cálculo do Comprimento da Trajetória Com o valor de tf obtido avaliamos L utilizando os limites calculados O comprimento da trajetória L resultará em aproximadamente L approx 22121 m 13 Comparação dos Resultados Nesta seção vamos comparar os resultados obtidos para o tempo de voo e o comprimento da trajetória de um projétil lançado com um ângulo específico 131 Parâmetros Utilizados Os parâmetros utilizados para os cálculos foram Velocidade inicial v0 40 ms Ângulo de lançamento heta 30 Altura inicial h0 20 m Aceleração da gravidade g 981 ms2 132 Cálculo do Tempo de Voo O tempo de voo tf foi calculado utilizando a seguinte fórmula tffracv0 sin hetag sqrtfracv0 sin heta2g2 frac2h0g Substituindo os valores obtemos tf approx 491 s 133 Cálculo do Tempo da Integral de Linha O tempo calculado a partir da integral de linha deve corresponder ao tempo de voo A avaliação considera o tempo total da trajetória 134 Comparação dos Resultados Após realizar os cálculos temos O tempo de voo para o projétil calculado pela fórmula é de aproximadamente 491 segundos O tempo obtido a partir da integral de linha também resultou em tf approx 491 segundos Ambos os métodos convergem para o mesmo tempo de voo confirmando a consistência dos resultados Isso indica que a abordagem da integral de linha é adequada para modelar o movimento 14 Considerações finais Conceitos fundamentais do lançamento de projéteis da mecânica newtoniana foram analisados como aplicações do cálculo diferencial e integral para descrever o movimento em três dimensões A modelagem matemática desse movimento envolve a utilização de equações que representam a trajetória do projétil levando em consideração fatores como velocidade inicial ângulo de lançamento e a aceleração da gravidade As ferramentas de cálculo diferencial e integral foram integradas com análises gráficas permitindo uma visualização clara das trajetórias e das variáveis que influenciam o movimento Essas representações gráficas não apenas facilitam a compreensão teórica mas também evidenciam a importância do cálculo nas mais diversas áreas do conhecimento como física engenharia e tecnologia Ao aplicar essas técnicas matemáticas foi possível observar como o cálculo dife rencial e integral são fundamentais na resolução de problemas complexos relacionados ao movimento demonstrando sua relevância em contextos práticos e acadêmicos Assim este projeto não apenas reforçou os conceitos de cálculo mas também destacou seu papel crucial na análise e modelagem de sistemas dinâmicos Referências ADAMS R A BOYCE D J Cálculo um enfoque à abordagem pela modelagem São Paulo Pearson 2019 Citado na página 1 KLEIN A Cinemática fundamentos e aplicações Rio de Janeiro LTC 2019 Citado na página 1 SERWAY R A VUILLE C Física para cientistas e engenheiros 9 ed São Paulo Cengage Learning 2018 Citado na página 1 TORRES F C Física uma abordagem para o ensino médio São Paulo Editora Moderna 2018 Citado na página 1 14