Cálculo IV ESAMC 2023-01: Curvas no Espaço, Divergente, Rotacional e Integrais

ESAMC Regime especial 202301 Cálculo IV Prof Diogo Cirulli Parte 01 Curvas no espaço R³ 1 Obtenha uma parametrização das seguintes curvas determinando I 2 Elimine o parâmetro de 3 Determine o vetor tangente às seguinte curvas 4 Determine as equações da reta tangente às seguintes curvas 5 Determine o comprimento de arco das seguinte curvas Parte 02 Divergente e Rotacional 1 Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores 2 Determine se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo ache seu potencial Parte 03 Integrais Parte 04 Teorema de Green 11 a y 2x 7 ①Parametrização x t y 2t 7 t IR b y x 2 0 ①Parametrização x t y t 2 t IR c x2 y2 16 42 ①Parametrização x 4cos t y 4sen t t 0 2π d x2 y 1 ①parametrização x t y 1t2 t IR e x12 y12 4 22 ①Parametrização i x 1 2cos t y 2cos t 1 ii y 1 2sen t y 2sen t 1 x 2cos t 1 y 2sen t 1 t 0 2π d 9x2 4y2 36 ①parametrização 9x2 4y236 x24 y29 1 x222 y232 1 x 2cos t y 3sen t t 0 2π 21 a xt a1 t yt b t ① Eliminando y b t t yb x a1 yb x ab yb b x a b a y a y b x a b a y b x a b 0 b xt a sec t yt a tgt ① Eliminando sec t xa tg t ya sen2 t cos2 t 1 tg2 t 1 sec2 t y2a2 1 x2a2 x2a2 y2a2 1 c xt z tgt yt 3 cotgt ① Eliminando tgt x2 cotgt y3 tgt 3y x2 3y y 6x d xt 2t 2 yt 2t2 4t ① Eliminando x 2 t 2 t x 22 y 2x222 4x22 y 2x2 4 x 44 2x2 y 12 x2 4 x 4 2 x 4 y x22 2 x 2 x 4 y x22 2 21 e xt 21 cos t yt 2 sen t ① Eliminando sen t y2 cos t x2 1 x22 sen2 t cos2 t 1 y24 x 224 1 f xt sen4 t yt cos4 t ① Eliminando sen2 t x cos2 t y sen2 t cos2 t 1 x y 1 3 a xt a at yt bt 1 vetor tangente γt a b b xt asect yt atgt 1 vetor tangente γt asecttgt asec²t c xt ztgt yt 3cotgt 1 vetor tangente γt 2sec²t 3cossec²t d xt 2t 2 yt 2t² 4t 1 vetor tangente γt 2 4t 4 e xt 2 2cost yt 2sent 1 vetor tangente γt 2sent 2cost f xt sent⁴ t yt cos⁴ t 1 vetor tangente γt 4sent³tcost 4cos³tsent 4 a γt t 1 t² 2 0 1 2 1 γt 1 2to 0 to 0 2 reta tangente x t y 1 z 2 b γt 2t³1 35t² 8t 2 1 2 10 1 γt 6t² 10to 8 to 1 γ1 6 10 8 2 reta tangente x 1 6t y 2 10t z 10 8t c βt et tet t 4 1 0 4 1 βt et et tet 1 t 0 β0 1 1 1 2 reta tangente x 1 t y t z 4 t 5 a xt 21sent yt 21cos t 0 t π 1 comprimento do arco Lγ abγt dt 2 γt γt 2cost 2sent 3 γt γt 2cost² 2sent² γt 2 4 Lγ 0π2 dt 2π b xt t cost yt t sent 0 t π 1 γt γt tcost tsent 2 γt γt costtsent sent tcost 3 γt γt costtsent² sent tcost² γt t² 1 4 Lδ 0π t² 1 dt Lδ ππ² 1 lnπ π² 1 2 VI 1 a Fxyzx2 z2 x 1 div div F F1x F2y F3z div F y2 0 0 div F y2 2 rot F rot F i j k x y z F1 F2 F3 rot F F3y F2z i F1z F3x j F2x F1y k rot F x2 1 2xz 2xy b Fxyz xyz x2 yz 1 div div F 2F12x F2y 2F32z div F 1 0 y div F 1 y 2 rot F rot F z 1 2x1 VI 1 c Fxyz x2y3z4 xy3 xzyz 1 div div F F1x F2y F3z div F 2x xz x y div F 3x y xz 2 rot F rot F z xy 4z3 z yz 3y2 d Fxyz xyz2 xy2z xyz3 1 div div F F1x F2y F3z div F yz2 3xy2z 3xyz2 2 rot rot F xz3 xy3 2xyz yz3 yz3 xz2 Z1 a Fxyz 2xz y2 2xy 3y2 ez x2 1 rotacional rot F i j k x y z 2xzy2 2xy3y2 ez x2 rot F 0 2x2x 2y2y rot F 0000 É conservativo 2 Potencial f 2xz y2 dx x2 z y2 x Ayz f 2xy 3y2 dy x y2 y3 Bxz f ez x2 dz ez x2 z Cxy f x2 z x y2 y3 ez K xyz b Fxyz xy ex ez 1 rotacional rot F i j k x y z xy ex ez rot F 0 0 ex x rot F 0 Não é conservativo c Fxyz ex 2ey 3ez rot F i j k x y z ex 2ey 3ez rot F 0 0 0 É conservativo 1 Potencial f ex dx ex Ayz f 2ey dy 2ey Bxz f 3ez dz 3ez Cxy fxyz ex 2ey 3ez K I a fxy 2x y² γt cos t sen t 0 t π2 1 fγt fγt 2cos t sen² t 2 γt γt sen t cos t 3 γt γt sen² t cos² t 1 4 γ f 0π2 2cos t sen² t dt 23 sen³ t 0π2 23 b fxy x² y² x² y² 4 A 20 a B02 1 Esboço y B02 A20 x x2cos t y2 sen t 0 t π2 2 γt γt 2cos t 2 sen t γt 2 sen t 2 cos t 3 γt γt 2 sen t² 2 cos t² 2 4 fγt fγt 2 cos t² 2 sen t² 4 5 γ f 0π2 42 dt 8π2 4π VI c fxy x² y² 1 Reta y y₀ mx x₀ 0 2 m 2 0 m 1 y x 2 x t y t 2 2 γt γt t t 2 3 γt γt 1 1 4 γt γt 1² 1² 2 5 fγt fγt t² 2 t² fγt t² 4 4t t² fγt 2t² 4t 4 6 γ f 02 2 2t² 4t 4 dt 2 163 γ f 1623 I c 4y dx 7x dy 1 Esboço y 22 1 3 00 2 40 x 2 Diretamente c F dr c1 Fdr c2 Fdr c3 Fdr i xt yt 20 4t7t11 dt 02 4t 7t dt 02 11t dt 22 ii xt y0 0t 07t10 dt 0 iii xt yt4 42 t t 16 7t11 dt 42 4t 16 7t dt 24 11t 16 dt 34 Resposta c 4y dx 7x dy 34 22 12 3 Green D F2x F1y dA 0 7 4 dA 3 dA 3A Abh24224 Resposta c 4y dx 7x dy 34 12 21 a c eyx dx ey lnx 2x dy c x y4 1 1 teorema Green c F D F2x F1y dA D eyx 2 eyx dA D 2 dA 2A 2 Área y graph x2 x y4 1 y4 x 1 y x 114 A 2 ₁² x114 dx 16 3 Resposta c eyx dx ey ln x 2x dy 2 16 32 b c cos x 5y dx 4x y1 dy 1 Green D 4 5 dA D 9 dA 9 A 2 Área y graph x5 2 2 5 x2 9 0 x2 A ₂² x2 9 5 dx A 323 3 Resposta c cos x 5y dx 4x y1 dy 96