Integrais Triplas e Teorema de Fubini

Integração em várias variáveis II Apresentação O cálculo diferencial e integral pode ser utilizado em diversos problemas aplicados quer envolvam uma ou mais variáveis independentes No caso de múltiplas variáveis os cálculos do volume de um sólido limitado ou de sua massa ou de seu centroide podem ser feitos por meio da integral tripla de uma função de três variáveis a valores reais que o descreva Um fato muito útil nesse processo é que assim como ocorre para as integrais duplas as propriedades das integrais triplas são estendidas a partir das integrais simples considerando neste caso um domínio limitado imerso no espaço tridimensional Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar integrais triplas e o cálculo destas a partir de uma extensão do teorema de Fubini destacando suas aplicações em problemas práticos Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir integrais triplas Descrever o domínio de integração em intervalos para cada variável da função Resolver problemas envolvendo integrais triplas Desafio As integrais triplas são uma generalização das integrais duplas Em vez de o domínio ser uma região no plano R2 é uma região sólida do espaço R3 As integrais triplas têm muitas das mesmas propriedades das integrais duplas e simples Além disso as integrais triplas podem ser calculadas como integrais iteradas como ocorre no caso das integrais duplas com o uso do teorema de Fubini que nos dá liberdade de calcular a integral iterada em qualquer ordem Ou seja podemos obter seis integrais equivalentes e utilizar aquela que for mais fácil de calcular No Desafio a seguir com o uso do teorema de Fubini reflita como podemos encontrar adequadamente as integrais equivalentes Márcio está cursando a disciplina de cálculo Nesta semana sua professora abordou o teorema de Fubini para integrais triplas Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Se você fosse a professora que resposta daria a Mário utilizando o próprio teorema de Fubini em sua explicação Infográfico No cálculo de integral é muito importante estarmos atentos aos domínios onde a função está sendo integrada Por exemplo nas integrais duplas o domínio de integração se encontra no plano cartesiano já nas integrais triplas o domínio de integração está inserido no espaço tridimensional O Infográfico a seguir mostra a visualização do domínio de integração para integrais duplas e triplas tanto em regiões retangulares quanto em regiões mais gerais Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Conteúdo do livro Por obedecerem às mesmas propriedades de linearidade que as integrais simples e duplas dizemos que as integrais triplas são uma extensão destas No caso das integrais triplas o domínio se encontra imerso no espaço tridimensional Esse domínio pode ser um prisma com faces paralelas aos planos coordenados ou qualquer outro sólido irregular O teorema de Fubini para integrais triplas garante que funções contínuas em seus domínios são integráveis e podem ser calculadas como uma integral iterada desde que respeitado seu domínio de integração Acompanhe o trecho selecionado da obra Cálculo que aborda o conceito de integrais triplas seu cálculo pela extensão do teorema de Fubini e algumas aplicações Inicie sua leitura a partir do tópico Integrais triplas Bons estudos CÁLCULO R721c Rogawski Jon Cálculo recurso eletrônico Jon Rogawski tradução Claus Ivo Doering Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2009 Editado também como livro impresso em 2009 ISBN 9788577804115 1 Cálculo 2 Matemática I Título CDU 517 Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB10Prov02108 880 CÁLCULO FIGURA 28 x y R 0 y 66 Prove a desigualdade onde é o disco 67 Encontre um ponto P em tal que onde é a média de em a existência de um tal ponto é garantida pelo TVM para integrais duplas 68 Verifi que a validade do TVM para integrais duplas para no triângulo delimitado por y 0 x 1 e y x Nos Exercícios 6970 use a Equação 12 para calcular a integral dupla 69 A tabela seguinte dá os valores das áreas dos subdomínios do domínio da Figura 29 e os valores de uma função f x y em pon tos amostrais Dê uma estimativa de FIGURA 29 O domínio D1 D2 D3 D4 D5 D6 70 O domínio entre os círculos de raios 5 e 52 no primeiro qua drante dado na Figura 30 foi dividido em seis subdomínios de largura angular na fi gura também são dados os valo res de uma função f x y em pontos amostrais Calcule a área dos subdomínios e dê uma estimativa de FIGURA 30 x 5 52 25 24 22 2 17 15 y 12 Δ 71 Suponha que f x y seja uma função contínua num domínio fechado e conexo O Teorema do Valor Intermediário TVI afi r ma que se f P a e f Q b onde então f x y atinge qualquer valor entre a e b em algum ponto de a Obtenha um contraexemplo que mostre que o TVI é falso se não for conexo b Prove o TVI para duas variáveis como segue seja ct um ca minho tal que c0 P e c1 Q por ser conexo sempre existe um tal caminho Aplique o TVI de uma variável à função composta f ct 72 Use o TVI e o Teorema 3 para provar o Teorema do Valor Médio para integrais duplas 73 Seja f y uma função só de y e defi na a Use o TFC para provar que b Trocando a ordem de integração na integral iterada mostre que Isso mostra que a antiderivada se gunda de f y pode ser dada como uma integral simples 163 Integrais triplas As integrais triplas de funções f x y z de três variáveis são uma generalização bastante imediata das integrais duplas Em vez de um retângulo no plano consideramos uma caixa Figura 1 Compreensão adicional e desafi os CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 881 consistindo em todos os pontos x y z em tais que Para formar uma soma de Riemann escolhemos inteiros positivos N M e L e parti ções dos três intervalos Sejam os comprimentos dos subintervalos defi nidos por essas partições Em seguida particionamos em NML caixas menores cujos volumes denotamos por Figura 1 Dizemos que essa partição é regular se a b c d e p q estiverem cada um divididos em subintervalos de comprimentos e iguais onde Para qualquer escolha de pontos amostrais em defi nimos a soma de Riemann Como na Seção 161 seja o conjunto de extremidades e o má ximo dos comprimentos Dizemos que f é integrável em se as somas tenderem a um limite quando para quaisquer escolhas de pontos amos trais O valor do limite é denotado por As integrais triplas obedecem às mesmas propriedades de linearidade que as integrais duplas e simples O teorema seguinte garante que funções contínuas são integráveis em caixas e que a integral tripla pode ser calculada como uma integral iterada TEOREMA 1 Teorema de Fubini para integrais triplas Se f x y z for contínua em então existe a integral tripla e é igual à integral iterada Além disso a integral iterada pode ser calculada em qualquer ordem A notação dA usada nas seções precedentes sugere área e ocorre nas integrais duplas em domínios do plano Analogamente dV sugere volume e ocorre em integrais triplas em regiões de FIGURA 1 A caixa decomposta em subcaixas 882 CÁLCULO Como observamos no teorema temos a liberdade de calcular a integral iterada em qualquer ordem Por exemplo No total existem seis ordens diferentes dadas por EXEMPLO 1 Integração numa caixa Calcule a integral em que Solução Escrevemos essa integral tripla como uma integral iterada Passo 1 Calcular a integral de dentro em relação a z mantendo x e y constantes Passo 2 Calcular a integral intermediária em relação a y mantendo x constante Passo 3 Calcular a integral de fora em relação a x Em seguida consideramos integrais triplas em regiões sólidas que são simples no sentido seguinte consiste nos pontos P x y z que fi cam entre os gráfi cos de funções contínuas e ao longo de um domínio do plano xy Figura 2 Suponha que Então O domínio é a projeção de sobre o plano xy Como no caso de integrais duplas defi nimos a integral tripla de f x y z em por onde é uma caixa que contenha e é a função que é igual a f em e é igual a zero fora de Na prática em vez de usar essa defi nição formal calculamos integrais triplas como integrais iteradas Isso é justifi cado pelo teorema seguinte cuja prova é análoga à do Teorema 2 da Seção 162 Quando o integrando for um produto e o domínio de integração uma caixa a integral tripla fatora num produto de três integrais simples Por exemplo a função do Exemplo 1 é um produto e pode ser calculada mais simplesmente como o produto FIGURA 2 O ponto P x y z está na região simples se e Região CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 883 TEOREMA 2 Seja uma região do plano xy Suponha que e sejam contínuas com para Então existe a integral tripla de uma função contínua f x y z no domínio e é igual à integral iterada EXEMPLO 2 Integração num sólido de base retangular Calcule onde é a região entre os planos z x y e z 3x 5y que fi ca acima do retângulo Figura 3 Solução Aplicamos o Teorema 2 com e para escre ver a integral tripla como uma integral iterada e calculamos Observe que a integral em foi convertida numa integral iterada Passo 1 Calcular a integral de dentro em relação a z mantendo x e y constantes Passo 2 Calcular a integral intermediária em relação a y mantendo x constante Passo 3 Calcular a integral de fora em relação a x EXEMPLO 3 Integração num sólido de base triangular Calcule onde é a região na Figura 4 Solução é a região entre os planos z x y e z 3x 5y que fi ca acima do triângulo do plano xy defi nido por FIGURA 3 A região entre os planos z x y e z 3x 5y e acima de FIGURA 4 A região entre os planos z x y e z 3x 5y e acima do triângulo 884 CÁLCULO Assim a integral tripla é igual à integral iterada A integral de dentro é a mesma do exemplo precedente ver Equação 3 Em seguida integramos em relação a y e fi nalmente Nos exemplos até aqui calculamos integrais triplas projetando a região sobre um domínio do plano xy Podemos integrar da mesma maneira projetando sobre domínios dos planos xz ou yz Por exemplo se for a região entre os gráfi cos de e onde acima de um domínio do plano yz Figura 5 então EXEMPLO 4 Escrevendo uma integral tripla de três maneiras Seja a região delimitada por Figura 6 Expresse como uma integral iterada de três maneiras projetando sobre cada um dos três planos coordenados mas não calcule Solução Consideramos separadamente cada plano coordenado Passo 1 O plano xy A face superior intersecta o primeiro quadrante do plano xy z 0 na reta y 2 Figura 6A Portanto a projeção de sobre o plano xy é um triângulo defi nido por e FIGURA 5 é a projeção de sobre o plano yz Pode ser conferido que as três maneiras de escrever a integral no Exemplo 4 como uma integral iterada dão a mesma resposta CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 885 FIGURA 6 As projeções de sobre os planos coordenados Face superior Face esquerda A Projeção sobre o plano xy B Projeção sobre o plano yz C Projeção sobre o plano xz Passo 2 O plano yz A projeção de sobre o plano yz é o domínio Figura 6B A região consiste em todos os pontos que fi cam entre e a face esquerda y 2x Em outras palavras a coordenada x precisa satisfazer Assim Passo 3 O plano xz Esse é o caso mais difícil Em primeiro lugar precisamos decidir o que é a projeção S de sobre o plano xz Para ver isso precisamos da equação da curva tracejada no plano xz na Figura 6C Afi rmamos que um ponto P nessa curva tracejada tem coordenadas Para verifi car isso observe que P é a projeção de um ponto Q x y z da fronteira da face esquerda Como Q está tanto no plano y 2x quanto na superfície temos e portanto conforme afi rmamos Vemos que a projeção de sobre o plano xz é o domínio Temos limites para as variáveis x e z portanto a integral tripla pode ser escrita como Quais são os limites para y A equação da face superior pode ser escrita como Assim está limitada pela face esquerda y 2x e a face supe rior e a coordenada y de um ponto de satisfaz Agora podemos escrever a integral tripla como a integral iterada seguinte 886 CÁLCULO EXEMPLO 5 Integração numa região entre superfícies que se intersectam Integre f x y z x na região delimitada acima por e abaixo por no octante Solução Em primeiro lugar precisamos determinar a projeção de sobre o plano xy As superfícies inferior e superior intersectam na curva Portanto como vemos na Figura 7 projeta sobre o domínio do primeiro quadrante delimitado pela elipse e temos Em seguida expressamos a quarta parte da elipse do primeiro quadrante como um domínio simples e escrevemos a integral tripla como uma integral iterada Aqui estão os resultados de calcular as integrais em ordem Concluímos esta seção mencionando algumas aplicações de integrais triplas Em pri meiro lugar observamos que a integral tripla da função f x y z 1 é o volume Mais geralmente se imaginarmos como um objeto sólido com densidade de massa variável mas contínua em unidades de massa por unidade de volume então a massa total de é FIGURA 7 A região acima da elipse no octante CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 887 Podemos justifi car essa fórmula quando for uma caixa observando que a integral tripla é um limite de somas de Riemann Aqui está dividida em caixinhas de arestas de comprimentos e volu me sendo um ponto amostral em Se for contínua então a densidade é praticamente constante em cada caixinha de modo que a massa de é aproximadamente Figura 8 No limite obtemos a massa exata de Esse argumento se estende imediatamente a regiões mais gerais O valor médio de f x y z numa região de volume V é defi nido por O centróide de uma região é o ponto cujas coordenadas são as médias de x y e z em Mais geralmente se representar um sólido de densidade de massa então o centro de massa de é o ponto em que é defi nido como segue sendo defi nidos analogamente EXEMPLO 6 Centro de massa Encontre a coordenada z do centro de massa do pri meiro octante da esfera unitária supondo uma densidade de massa de Figura 9 Solução O numerador de é A massa total de é igual à integral da densidade de massa em No último passo das contas seguintes usamos a fórmula anotada à margem FIGURA 8 A massa de um cubinho é aproximadamente Massa FIGURA 9 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor As integrais triplas de funções fx y z de três variáveis são uma generalização imediata das integrais duplas Assim como nas integrais duplas elas podem ter domínios em regiões retangulares ou em regiões mais gerais Acompanhe nesta Dica do Professor como podemos calcular uma integral tripla em uma região retangular utilizando o teorema de Fubini e como calculamos uma integral em uma região geral delimitada por dois planos e acima de um retângulo dado Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Antes de calcular uma integral tripla é importante identificar o seu domínio que pode ser uma região retangular ou uma região mais geral Considere Utilizando o Teorema de Fubini o valor da integral é A 65 B 15 C 1 D 6 E 6 No cálculo das integrais triplas utilizamos o teorema de Fubini para transformálas em uma integral iterada Nesse caso devemos calcular três integrais simples Nesse contexto considere 2 O valor da integral intermediária em relação à variável z é A B C D E 3 Assim como nas integrais duplas nas integrais triplas é importante reconhecer o domínio de integração que pode tanto ser uma região retangular R no R3 quanto uma região não retangular W Nesse contexto considere e a região não retangular Calcule o valor da integral A 524 B 1 C 23 D 16 E 16 4 Em problemas aplicados nem sempre os sólidos envolvidos têm volumes que podem ser calculados por fórmulas conhecidas Nesses casos as integrais triplas são muito úteis para o cálculo de volumes de sólidos delimitados por funções Marque a alternativa que contém o volume do sólido do primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano 3x 6y 4z 12 A 64uv B 4 uv C 36uv D 9uv E 4 uv O valor médio de uma função contínua fx y z em um sólido W é definido por Assim o valor médio de fxyz x no tetraedro mostrado na figura abaixo é 5 A 14 D 124 Na prática O conceito de integral tripla de funções de três variáveis é uma extensão natural do conceito de integral definida de funções de uma variável As integrais triplas são utilizadas para o cálculo de algumas grandezas físicas como volume massa momento e centro de massa de sólidos quaisquer Como exemplo temos os silos utilizados em fazendas para o armazenamento de cereais Outra aplicação interessante é no cálculo da massa total de um objeto sólido Mais especificamente sendo G um sólido com densidade de massa ρ ρ xyz medida em unidades de massa por unidade de volume a massa total de G é Massa total de G barf 6 int01 int01x int01xy x dz dy dx 6 cdot frac124 frac14 Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Cursos USP Cálculo diferencial e integral para engenharia III PGM 18 Acompanhe neste vídeo a definição de integrais triplas e suas aplicações como por exemplo o cálculo de densidade A ideia envolvida é a generalização das integrais duplas para o espaço R3 O vídeo também ressalta a importância de definir o domínio de integração Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Cursos USP Cálculo diferencial e integral para engenharia III PGM 19 Acompanhe neste vídeo o cálculo de integrais triplas cujo domínio não são regiões formadas por paralelepípedos retos retângulos mas regiões gerais Aqui o teorema de Fubini para esse tipo de integral é mostrado em detalhes por meio de exemplo Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Cálculo de integrais triplas Este vídeo mostra passo a passo o cálculo de uma integral tripla iterada em um domínio retangular em R3 bloco retangular A integração é feita separadamente para cada variável ressaltando em cada integral qual variável permanece constante e qual é a variável de integração Aponte a 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