A Física das Ondas Sonoras: Ecos e Acústica

Os ecos podem ser encantadores em ambientes bucólicos e desagradáveis nos auditórios mas costumam ser fiéis à fonte sonora O eco de um bater de palmas por exemplo é quase sempre o som de um bater de palmas Perto da escadaria da foto porém que pertence a uma pirâmide situada nas ruínas maias de Chichen Itza no México o eco de um bater de palmas é uma nota musical cuja frequência diminui com o tempo O que produz um eco musical nas escadas de uma pirâmide dos maias A resposta está neste capítulo 149 171 O QUE É FÍSICA A física das ondas sonoras está presente nos artigos científicos de muitas especialidades Vamos dar apenas alguns exemplos Os fisiologistas querem saber como a fala é produzida como corrigir os defeitos de dicção como reduzir a perda de audição e até mesmo como ter uma pessoa mímica Os engenheiros acústicos procuram melhorar a acústica das cadeiras e salas de concertos reduzir o nível de ruído perto de rodovias ou outras públicas e reproduzir sons de altofalantes com o máximo de fidelidade Os engenheiros aeronáuticos estudam as ondas de choque produzidas pelos combustíveis e os ruídos que os aviões e helicópteros provocam nos ambientes biomedicados Para compreender a física do som devemos responder à pergunta O que são as ondas sonoras 172 Ondas Sonoras 173 A Velocidade do Som TABELA 171 A Velocidade do Som Meio Velocidade ms Gases Ar 0ºC 331 Ar 20ºC 343 Hélio 965 Hidrogênio 1284 Água 0ºC 1482 Água 20ºC 1482 Água salada 1522 Sólidos Aço 5941 Alumínio 6420 Granito 6000 FIG 173 Um pulso de compressão se propaga da direita para a esquerda em um tubo longo cheio de ar O referencial da figura foi escolhido de tal forma que o pulso permanece em repouso o se move da esquerda para a direita a Um elemento de ar de largura Ar se move em direção ao pulso com velocidade v b A borda dianteira do elemento penetra no pulso São mostradas as forças associadas à pressão do ar que agem sobre as bordas dianteira e traseira Vamos aplicar a segunda lei de Newton ao elemento Durante o intervalo de tempo Δt a força média exercida sobre a borda traseira do elemento é pA dirigida para a direita e a força média exercida sobre a face dianteira é p ΔpA dirigida para a esquerda Assim a força resultante média exercida sobre o elemento durante o intervalo Δt é F pA p ΔpA Δp força resultante O sinal negativo indica que a força resultante que age sobre o elemento de ar aponta para a esquerda na Fig 173b O volume do elemento é ΔAx assim com a ajuda da Eq 174 podemos escrever a massa como Δm ρΔV ρA Δx ρAv Δt massa A aceleração média do elemento durante o intervalo Δt é a Δv Δt aceleração Assim de acordo com a segunda lei de Newton F ma e as Eqs 175 176 e 177 temos ΔpA ρA Δx Δv Δt que pode ser escrita na forma ρv² Δp Δx O ar que ocupa um volume V AΔx fora do pulso sofre uma redução de volume ΔV AΔvAr ao penetrar no pulso Assim ΔV V A Δv Δx Substituindo a Eq 179 e a Eq 172 na Eq 178 temos ρv² Δp ΔV Explicitando v obtemos a Eq 173 para a velocidade do ar para a direita na Fig 173 e portanto a velocidade do pulso para a esquerda Exemplo 171 Quando um pulso sonoro como o som de um bater de palmas é produzido perto da escadaria da pirâmide dos mais que aparece na fotografia de abertura deste capítulo as ondas sonoras são refletidas pelos degraus primeiro pelos mais próximos mais baixos Fig 174a e depois pelos mais afastados mais altos Fig 174b Os degraus têm d 0263 m de largura e a velocidade do som é 343 ms A trajetória das ondas sonoras até os degraus mais baixos pode ser tomada como sendo aproximadamente horizontal A trajetória até os degraus mais altos faz um ângulo de aproximadamente 45 com a horizontal Com que frequência fbase os ecos produzidos pela reflexão dos pulsos nos degraus próximos da base da pirâmide chegam ao ouvinte Com que frequência falta os ecos produzidos pela reflexão dos pulsos nos degraus próximos do alto da pirâmide chegam ao ouvinte um pouco mais tarde IDEIASCHAVE 1 A frequência f com a qual os pulsos voltam ao ouvinte é o inverso do intervalo de tempo Δt entre pulsos sucessivos 2 O intervalo de tempo Δt necessário para que o som percorra uma certa distância L está relacionada à velocidade do som através da equação v LΔt Cálculos Perto da base da pirâmide Fig 174a a onda sonora refletida por um grau percorre uma distância L 2d maior que a onda sonora refletida pelo grau imediatamente abaixo A onda sonora precisa atravessar duas vezes a largura de um grau Assim as chegadas dos ecos dos pulsos ao ouvinte estão separadas por um intervalo de tempo Δtbase L v 2d v 1710 20263 m 343 ms 1533103 s A frequência fbase com a qual os pulsos chegam ao ouvinte é fbase 1 Δtbase 1711 1 1533103 s 652 Hz Resposta O intervalo de tempo Δtfalto é curto demais para que o ouvinte perceba os pulsos separadamente Em vez disso o cérebro interpreta o som como uma onda senoidal de frequência fbase e o ouvinte tem a impressão de que está ouvindo uma nota musical de frequência 652 Hz Perto do alto da pirâmide Fig 174b o percurso inclinado das ondas sonoras faz com que a onda sonora refletida por um grau percorra uma distância L 22d maior que a onda sonora refletida pelo grau imediatamente abaixo A onda sonora precisa atravessar duas vezes a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são iguais à largura de um grau Assim nesse caso o intervalo de tempo entre a chegada dos pulsos é dado por Δtfalto L v 2d v 1712 220263 m 343 ms 2168103 s e a frequência percebida pelo ouvinte é falt 1 Δtfalto 1 2168103 s 461 Hz Resposta Assim um bater de palmas perto da escadaria produz um eco que começa com uma frequência de 652 Hz e termina com uma frequência de 461 Hz Este tipo de eco musical estará presente em muitas escadas e também em cerca de jardim FIG 175 a Uma onda sonora que se propaga com velocidade v em um tubo longo cheio de ar é composta por uma série de expansões e compressões periódicas do ar que se deslocam ao longo do tubo A onda é mostrada em um instante arbitrário b Uma vista horizontal ampliada de uma pequena parte de tubo Quando a onda passa um elemento de ar de espessura Ar oscila para a esquerda e para a direita em movimento harmônico simples em torno da posição de equilíbrio No instante mostrado em b o elemento se encontra deslocado uma distância s para a direita da posição de equilíbrio O deslocamento máximo para a direita ou para a esquerda é smax A Fig 177 mostra os gráficos das Eqs 1713 e 1714 no instante t 0 como o passar do tempo as duas curvas se movem para a direita ao longo dos eixos horizontais Note que o deslocamento e a variação de pressão estão defasados de π2 rad 90 Assim por exemplo a variação de pressão Δp em qualquer ponto da onda é nula no instante em que o deslocamento é máximo A amplitude de pressão Δpm para o som mais fraco de 1000 Hz que o ouvido humano pode detectar é 28 x 105 Pa Procedendo como antes obtemos sm 11 x 1011 m ou 11 pm que corresponde a um décimo de raio de um átomo de ar ρ 121 kgm³ a frequência do som é 1000 Hz e a velocidade do som é 343 ms Na Fig 179a duas fontes pontuais S₁ e S₂ que estão em fase e separadas por uma distância D 151 λ emitem ondas sonoras esféricas em fase Através de simetria para localizar os pontos de interferência totalmente construtiva no resto da circunferência A simetria em relação à reta de nos dá pontos para os quais ΔL λ No total temos N 6 Se você já tentou dormir enquanto alguém ouvia música a todo volume sabe muito bem que existe algo no som além da frequência comprimento de onda e velocidade Há também a intensidade A intensidade I de uma onda sonora em uma superfície é a taxa média por unidade de área com a qual a energia contida na onda atravessa a superfície ou é absorvida pela superfície Matematicamente temos I PA onde P é a taxa de variação com o tempo da transferência de energia potência da onda sonora e A é a área da superfície que intercepta o som Como vamos mostrar daqui a pouco a intensidade I está relacionada a amplitude do deslocamento sₘ da onda sonora através da equação I ½ρvₒ²sₘ² 1727 1727 a intensidade de um som varia com o quadrado da amplitude a razão entre as intensidades nesses limites do sistema auditivo humano é 10² Isso significa que os seres humanos podem ouvir um enorme faixa de intensidades Para lidar com um intervalo tão grande de valores recorremos aos logaritmos Considera a relação y log x onde x e y são variáveis Uma propriedade desta equação é que x é multiplicado por 10 y aumenta de 1 unidade Para mostrar que isso é verdade escrevemos y log10x log x log x 1 y Da mesma forma quando multiplicamos x por 10¹² y aumenta apenas de 12 unidades Assim em vez de falarmos da intensidade I de uma onda sonora é muito mais conveniente falarmos do nível sonoro β definido como β 10 dB log II₀ 1729 onde dB é a abreviação de decibel a unidade de nível sonoro um nome escolhido em homenagem a Alexander Graham Bell I₀ na Eq 1729 é uma intensidade de referência 10¹² Wm² cujo valor foi escolhido porque está próximo do limite inferior da faixa de audição humana Para I I₀ a Eq 1729 fornece β 10 log II₀ 0 do que a intensidade de referência corresponde a zero decibel O valor de β aumenta com a intensidade sonora aumenta de uma ordem de grandeza um fator de 10 Assim β 40 corresponde a uma intensidade 10⁴ maior que a intensidade de referência A Tabela 172 mostra os níveis sonoros em alguns ambientes Para obter essa equação usamos o fato de que o valor médio do quadrado de uma função seno ou coseno para uma oscilação completa é 12 Supondo que a energia potencial é transportada pela onda com a mesma taxa média A intensidade I da onda que é a taxa média por unidade de área com a qual a energia nas duas formas é transmitida pela onda é portanto de acordo com a Eq 1733 I 2dKdtₘₑₑdA que é a Eq 1727 a equação que queríamos demonstrar 177 Fontes de Sons Musicais 1714 a O padrão de deslocamento mais simples para uma onda sonora longitudinal estacionária em um tubo com as duas extremidades abertas possui um ant nó A em cada extremidade e um nó N no ponto médio do tubo b O padrão correspondente para uma onda elástica transversal estacionária em uma corda 1716 As famílias do saxofone e do violino mostrando a relação entre o comprimento do instrumento e a faixa de frequências A frequência f é dada pela Eq 1741 com n 1 para o modo fundamental f n v4 L 1343 ms40670 m 128 Hz Resposta fbat fa2 fb1 432 Hz 371 Hz 61 Hz Resposta f fv vDv vS equação general do efeito Doppler 1747 onde v é a velocidade do som no ar vD é a velocidade do detector em relação ao ar e vS é a velocidade da fonte em relação ao ar O Efeito Doppler Capítulo 17 Ondas II 1710 Velocidades Supersônicas Ondas de Choque REVISÃO E RESUMO Ondas Sonoras Ondas sonoras são ondas mecânicas longitudinais que podem se propagar em sólidos líquidos e gases A velocidade v de uma onda sonora em um meio de módulo de elasticidade volumétrico B e massa específica ρ é v Bρ velocidade do som Nível Sonoro em Decibéis O nível sonoro β em decibéis dB é definido como β 10 dB log II₀ 1729 onde I₀ 10¹² Wm² é um nível de intensidade de referência com o qual todas as intensidades são comparadas Para cada aumento de um fator de 10 na intensidade 10 dB são somados ao nível sonoro Pergunta 2 2 Na Fig 1726 duas fontes pontuais S₁ e S₂ estão em fase emitindo ondas sonoras iguais de comprimento de onda λ 20 m Em termos de comprimentos de onda qual é a diferença de fase entre as ondas que chegam ao ponto P a L₁ 38 m e L₂ 34 m b L₁ 39 m e L₂ 36 m c Supondo que a distância entre as fontes é muito menor que L₁ e L₂ que tipo de interferência ocorre em P nas situações a e b Uma fonte pontual de 10 W emite ondas sonoras isotropicamente Supondo que a energia da onda é conservada determine a intensidade a a 10 m da fonte e b 25 m da fonte Uma fonte emite ondas sonoras isotropicamente A intensidade das ondas a 250 m da fonte é 191 x 104 Wm² Supondo que a energia da onda é conservada determine a potência da fonte A diferença entre os níveis sonoros de dois sons é 100 dB Qual é a razão entre a intensidade maior e a intensidade menor A distância entre os 38 cm e a velocidade de propagação é 1500 ms Determine a frequência da onda sonora Um detector estacionário mede a frequência de uma fonte sonora que se aproxima em linha reta passa pelo detector e se afasta mantendo a velocidade constante A frequência emitida pela fonte é f A frequência detectada durante a aproximação é f f1 vvs qual é a frequência fundamental do tubo D Uma corda de violino de 300 cm de comprimento tem uma massa específica de 0650 gm e colocada perto de um altofalante alimentado por uma onda de frequência variável Observase que a corda entra e oscila apenas nas frequências de 880 Hz e 1320 Hz quando a frequência do oscilador está no intervalo de 500 a 1500 Hz Qual é a tensão da corda Fig 1747b mostra o registro de uma série de cliques detectados por um hidrofone O intervalo de tempo correspondente a 1 ms está indicado no gráfico Supondo que a velocidade do som no saco de esperma 100 Os ocupantes de um carro que se move a 160 ms ouvem a sirene de uma ambulância que se aproxima por trás a uma velocidade de 400 ms em relação ao ar e ao chão A frequência da sirene é 950 Hz e a velocidade do som no ar é 340 ms a Qual é a frequência da sirene ouvida pelo motorista da ambulância b Qual é a frequência ouvida pelos ocupantes do carro que ocorreram ultrapassado pela ambulância 110 O período de uma estrela variável pulsante pode ser estimado supondo que a estrela está executando pulsações longitudinais radiais no modo fundamental de uma onda estacionária ou seja que o raio da estrela varia periodicamente com o tempo com um atInó do deslocamento na superfície da estrela a Nesse modelo o centro da estrela é um nó ou um antinó do deslocamento b Por analogia com um tubo com uma extremidade aberta e outra fechada mostre que o período de pulsação é dado por T 4Rv onde R é o raio de equilíbrio da estrela e v é a velocidade média do som no interior da estrela