Energia Potencial e Gravitação - Aula 2

Aula2 Gravitação Física Geral II FIS 304 Prof Oscar Cavichia de Moraes Energia Potencial para forças gravitacionais F GMm r2 ˆr dU F ds Frdr GMm r2 dr Integrando U GMmr2 dr GMmr1 C U 0 C 0 ΔU W A variação da energia potencial é igual ao negativo do trabalho Daí Ur GMm r 3 Ur r R 0 R GMm U r Ur UR GMm r GMm R GMm rR r R r h U h GM R2 R r mh h r R Seja U a energia potencial tal que U 0 quando r R Na vizinhança da Terra R r g GM R 2 983 ms 2 Uh mgh 5 Na vizinhança da Terra g Ex g 400km 983 637106 677106 2 870 ms2 FMmr GMm r2 m g g r GM r2 g h GM r2 GM R2 R r 2 g R R h 2 g gr R 0 GM R 2 r h 6 Fatores que podem afetar g 1 A Terra não é uniforme 2 A Terra não é exatamente uma esfera o raio Equatorial é 21 Km maior do que nos polos Portanto g é maior nos polos 3 Movimento de rotação da Terra 7 Fatores que podem afetar g 3 Movimento de rotação da Terra N mag mω 2R ˆr mg mag mω 2R g ag ω 2R Usando R 637 X 106 m e onde T 24 h teremos que g é menor que ag por apenas cerca de 0034 ms2 N P mac mω 2R ˆr ac P mag Supondo N m g rˆ ω 2π T 8 Velocidade de escape ET K U 0 Então vesc 2gR 2 983 637106 112 km s Daí vesc 2 2GM R 2gR vesc 2gR É a velocidade mínima tal que no infinito Mas na superfície K U 1 2 mvesc 2 GMm R 0 9 Teorema das Cascas Newton dUanel G m s dM dM M área do anel 4πa2 Consideramos uma distribuição de massa em camadas esféricas como se fosse uma cebola Sendo M a massa da camada esférica O raio do anel é ρ asenθ e sua larguraé adθ Então área do anel 2πρ adθ 2πa 2senθ dθ dM M área do anel 4πa2 senθ dθ 2 10 θ dθ s G M m sen dU anel 2 Portanto a energia potencial do anel fica A energia potencial total de uma casca esférica é obtida pela soma sobre todos os anéis o que equivale a integrar sobre de 0 até π θ θ θ θ 0 2 d s sen G M m U s dM G m dUanel Teorema das Cascas Newton θ π 11 a r s a r s s min 2 2 min 2 0 θ ds d s ar sen θ θ min max 2 2 max min s ar s G M m ds ar G M m U s s Mas s varia com Usando a lei dos cosenos temos Derivando em onde Mudando a variável para s fica cosθ 2 2 2 2 ar r a s a r s a r s s max 2 2 max 2 π θ Teorema das Cascas Newton θ θ 12 s a r θ min max 2 2 max min s ar s G M m ds ar G M m U s s a r s max r a s min Análise da energia potencial Se r a a Se r a r s min Temos sempre Então a r r G M m U a r a G M m U Teorema das Cascas Newton Como s 0 distância 13 s a r θ Portanto o módulo da força gravitacional será Ø r R Ø r R Esfera maciça Newton 3 R GmM K Kr F r F r R G mM F r 3 2r G M m F r r 17 Distribuição esfericamente simétrica de massa Newton precisou desenvolver o cálculo infinitesimal para demonstrar que Uma distribuição esférica de massa atrai uma partícula externa como se toda a massa da distribuição estivesse concentrada em seu centro Aparentemente o fato de não ter a solução deste problema fez Newton adiar a publicação de sua teoria da gravitação por aproximadamente 20 anos desde 1666 O Teorema das Cascas Esféricas bem como a teoria completa da gravitação e a fundamentação da Mecânica Clássica apareceram no livro de Newton Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de 1687 18 A nossa Galáxia Via Láctea A Via Láctea vista por nós Representação de como seria a Via Láctea vista de cima 19 Para um objeto com massa m em R a gravidade precisa balancear a aceleração do movimento circular v m M R Rotação Diferencial O Movimento a uma distância R do centro depende apenas de MR A massa se comporta como se estivesse concentrada toda no centro vR fornece a Curva de Rotação da Galáxia 20 MR ρrdV 0 R GMRmR2 mv2R MR vR2RG Medindo vR obtémse MR vR GMR12 Para os planetas no Sistema Solar M é dominada pela Msun então M não muda muito com R Curva de rotação keplariana Dentro da Galáxia M aumenta com o raio então V pode ficar constante pois a massa e o raio aumentam em conjunto Curva de rotação plana Se fora da Galáxia como no Sistema Solar M permanece constante com R aumentando se a massa acaba com o limite visível esperaríamos uma curva de rotação do tipo kepleriana Massa Raio V Entendendo as curvas de rotação 21 Como a curva de rotação da Via Láctea não mostra um decaimento das velocidades além da fronteira visível do disco ao redor de R15 kpc isto indica a presença de matéria adicional não luminosa à Matéria escura muito fraca ou pouco interagente para ser detectada com as tecnologias atuais Mesmo que a Matéria Escura seja detectada através de medidas no disco ela não está necessariamente confinada no disco Ela está distriuída também no Halo Galáctico A maioria das galáxias parecem ter este Halo de Matéria Escura Entendendo as curvas de rotação 22 O que é a matéria escura Neutrinos partículas de baixa massa que interagem via gravidade ou força nuclear fraca A maioria dos neutrinos produzidos a partir da fusão nuclear escapam facilmente do Sol São partículas comuns mas por terem baixa massa previne que contribuam com mais de poucos porcentos da matéria escura MACHOs Massive Compact Halo Objects Estrelas anãs brancas anãs vermelhas 02 Msun anãs marrons 008 Msun Estrelas de Neutrons Buracos negros Nota os remanescentes mais massivos resultam de estrelas progenitoras massivas as quais são raras 23 WIMPs Weakly Interacting Massive Particles partículas subatômicas exóticas previstas por teorias supersimétricas do Modelo Padrão Massa de repouso prevista 200500 vezes a massa do próton Ainda sendo procuradas por aceleradores de partículas e experimentos com grandes detectores Só precisamos de geometria para descrever trajetórias dos corpos Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia curvatura do espaçotempo Relatividade Geral Lente Gravitacional 25 Supernova explosão de uma estrela de grande massa MS 10 MSol Ø M 14 MSol esfria e vira anã branca Ø M 14 MSol contrai e vira uma estrela de nêutrons r 10 km densidade 1015 gcm3 Buraco Negro surge quando M 3 MSol Nada escapa de um Buraco Negro radiação de Hawking O raio de Schwarzschild Rs onde a velocidade de escape é c luz é chamado horizonte de eventos o limite em que algo pode se aproximar do buraco negro e ainda tem a possibilidade de escapar Buracos negros 26 Quando a velocidade de escape é igual à velocidade da luz c vescape O raio de um buraco negro de massa M será R R GM gR c 2 2 2 2 2 c GM R Raio de Schwarzschild Buracos negros 27 Os limites da Lei da Gravitação de Newton A lei de Newton vale para planetas e para a queda de corpos Até onde ela ainda fica válida Tentativas de verificar correções à lei de Newton que poderiam corroborar teorias de supercordas já foram feitas A lei de Newton continua válida 28