Resumo sobre Movimento Harmônico Simples e Pêndulos

Resumo MHS Solução xt A coswt f onde A amplitude w frequência angular f fase T período Para uma massa em uma mola Ø A frequência não depende da amplitude Isso é geral para qualquer MHS Ø A oscilação ocorre ao redor do ponto de equilíbrio onde a força resultante é nula k m ω T 2π k m T 2π 2 L m mg z O Pêndulo Simples 4 O Pêndulo Simples Mas senθ θ para pequenos valores de θ L x m mg z FT mg sinL mg sin mg cos O torque devido à gravidade ao redor do eixo de rotação eixo z é 5 senθ e cosθ para pequenos valores de θ A expansão de Taylor para senθ e cosθ em torno de θ 0 3 5 sin 3 5 θ θ θ θ 2 4 cos 1 2 4 θ θ θ Então para θ 1 e sinθ θ 1 cos θ 6 O Pêndulo Simples O torque devido à gravidade ao redor do eixo de rotação eixo z é Mas senθ θ para pequenos valores de θ L m mg z 2 2 2 d mgL mL dt θ θ 2 2 2 d dt θ ω θ L g ω onde Que é idêntica à Equação diferencial do MHS Daí cos 0 φ ω θ θ t t mg sinL mgL I I mL2 Portanto Mas 7 ω 2π f 2π T T 2π ω 2π L g 1 1 2 g f T L π válido para θ pequeno O Pêndulo Simples Período L x m mg z FT mg sin mg cos 8 0 p E L dLsenθ m z Lcos θ h L Lcosθ L1 cosθ 2 2 k p mv E E E mgh httpwwwphyntnuedutwjavaPendulumPendulumhtml O Pêndulo Simples Energia httpwwwcabrilloedujmcculloughAppletsoscillationshtml 9 Consiste de uma vareta de comprimento L e massa m pendurada por uma de suas extremidades Vamos encontrar a freqüência de oscilação para pequenos deslocamentos L mg z x CM O Pêndulo Físico 11 Exemplo Que comprimento deve ter um pêndulo simples para ter o mesmo período de um pêndulo físico LR LS ωS ωR se R S 3 L 2 L S S L g ω R R L 2 3g ω 13 Pêndulo Físico Geral Consideremos um sólido de forma arbitrária de massa M pendurado em um eixo fixo Sabemos onde o CM está localizado e qual é o momento de inércia I em torno desse eixo O torque em torno do eixo de rotação z para θ pequenos é θ Mg z R x CM 2 2 dt d θ MgRθ I τ α d dt 2 2 2 θ ω θ ω MgR I onde θ θ0 cosωt φ θ θ sin τ MgRsenθ MgRθ A frequência de oscilação será 14 Exemplo Pêndulo Físico Um pêndulo é construído ao pendurar um bambolê de diâmetro D em um pequeno prego Qual é a freqüência angular de oscilação do bambolê para deslocamentos pequenos ICM mR2 para um aro pivô prego R CM x m 15 Exemplo Pêndulo Físico Um pêndulo é construído ao pendurar um bambolê de diâmetro D em um pequeno prego Qual é a freqüência angular de oscilação do bambolê para deslocamentos pequenos ICM mR2 para um aro Teorema dos eixos paralelos I ICM mR2 I mR2 mR2 2mR2 I mgR ω Para pequenos deslocamentos ω mgR mR g R g D 2 2 2 Daí pivô prego R CM x m 16 Consideremos um objeto suspenso por um fio preso ao seu CM O fio define o eixo de rotação e o momento de inércia I em torno desse eixo é conhecido O fio atua como uma mola rotacional Quando o objeto é rodado o fio é torcido Isso provoca um torque que se opõe à rotação Em analogia com uma mola o torque produzido é proporcional ao deslocamento τ kθ k constante de torção I fio θ ω Pêndulo de Torção 17 Pêndulo de Torção Como τ kθ e τ Iα teremos 2 2 dt d θ k θ I d dt 2 2 2 θ ω θ ω k I onde Que é similar ao caso massamola exceto que I tomou o lugar de m I fio θ ω 18 Lista sin F mg mg θ θ Usando temos mg F x cte x L mg cte L Igual ao caso da massamola x L L x m mg z FT mg sin mg cos 21