Capítulo 15: Oscilações - Movimento Harmônico Simples

Cap 15 Oscilações Física Geral II FIS304 Prof Oscar Cavichia de Moraes Hélice na água Asas de abelha Íons em um sólido Ondas na água Ondas sonoras Ondas de luz Vibrações Ondas Variações temporais Variações temporais e espaciais 2 MHS Vibrações Como podemos descrever as vibrações Ex Massa vibrante descrita pelas variáveis Deslocamento x a partir da posição de equilíbrio Período T é o tempo necessário para completar um ciclo Frequência f é o número de ciclos por unidade de tempo Ø Um ciclo é o movimento de um ponto até outro ponto retornando novamente ao ponto inicial Ø O período T é o tempo necessário para completar um ciclo e a frequência f é o número de ciclos por segundo T f f T 1 ou 1 3 Movimento oscilatório que se repete periodicamente resulta em ondas senoidais Movimento Harmônico Simples MHS 4 Movimento oscilatório que se repete periodicamente resulta em ondas senoidais Exemplos Metrônomo música Massa em uma mola Pêndulo Movimento Harmônico Simples MHS 5 O gráfico de um Movimento Harmônico Simples é descrito por uma curva senoidal MHS 6 httpwwwacspsuedudrussellDemosSHOmasshtml MHS 8 Dinâmica do MHS Sabemos que a qualquer instante F ma deve ser válido Mas neste caso F kx Lei de Hooke e ma Portanto kx ma 2 2 d x m dt 2 2 d x k x dt m Equação diferencial para xt 2 2 d x m dt k x m a F 9 2 2 d x k x dt m 2 2 2 d x x dt ω k m ω Tentando a solução sin dx v A t dt ω ω 2 2 2 2 cos d x a A t x dt ω ω ω definindo Dinâmica do MHS x t Acos ωt 10 Dinâmica do MHS E por que não x t Asin ωt 11 E por que não xt A senωt Repare que xt A senωtπ2 senabsenacosb cosasenb Então xt A senωtπ2 A cosωt Dinâmica do MHS 12 Velocidade e Aceleração k x m 0 Posição xt A cosωt φ Velocidade vt ωA sinωt φ Aceleração at ω2A cosωt φ pois a t dv t dt v t dx t dt xMAX A vMAX ωA aMAX ω2A 13 t yt a b c Exemplo 1 Uma massa oscila para cima e para baixo em uma mola Sua posição em função do tempo é mostrada abaixo Em quais dos pontos assinalados a massa tem uma velocidade positiva e uma aceleração negativa 14 A inclinação yt nos mostra o sinal da velocidade pois t yt a b c v dy dt a 0 v 0 a 0 v 0 a 0 v 0 A resposta é c Exemplo 1 solução yt e at têm sinais opostos pois at ω2 yt 15 t xt Exemplo 2 Como determinar a fase inicial Posição xt A cosωt φ x0 A cosφ φ cos1 x0 A 16 k x m vMAX ωA ω rad 1 20 10 2 s cm s m A vMAX m k ω também k mω 2 Portanto k 2 kg x 20 2 800 kgs2 800 Nm Exemplo 3 Uma massa m 2 kg oscila em uma mola com amplitude A 10 cm Em t 0 sua velocidade é máxima e vale v 2 ms Calcule a A freqüência angular da oscilação ω b A constante da mola k 17 Resumo MHS onde A amplitude m ω frequência angular rads ou s1 φ fase inicial T período s ωt φ fase do movimento Para uma massa em uma mola Ø A frequência não depende da amplitude Isso é geral para qualquer MHS Ø A oscilação ocorre ao redor do ponto de equilíbrio onde a força resultante é nula k m ω T 2π k m T 2π Solução xt A cosωt φ 18 Java Applet MHS e Movimento Circular Uniforme MCU httpsngsirnetfirmscomenglishhtm SpringSHMhtm 19 MHS e Movimento Circular Uniforme Ou seja o MHS pode ser visto como um MCU projetado no diâmetro do círculo de raio A 20 A θ x 2 2 A x v0 v θ v x A 0 MHS e Movimento Circular Uniforme cos θ x A cos x A θ t θ ω cos x A ωt 2 f ω π ω velocidade angular com x y z 21 Força elástica e energia potencial Configuração de referência x0 0 x k xdx x U 0 0 2 2 1 kx U x Ou k x F k x m 0 F dU dx e 22 Energia no pto de equilibrio é cinética Energia Mecânica de um OHS é Proporcional ao quadrado de sua Amplitude Energia no MHS 2 2 1 1 2 2 E mv kx Energia Cinética Energia Potencial Elástica Quando x A ou x A extremos 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 E m k A kA x A x A x 0 Fkx Quando x 0 ponto de equilibrio 2 2 2 0 0 1 1 1 0 2 2 2 E mv k mv Energia Mecânica Total U K E 23 Conservação de energia mecânica E kx mv 2 2 2 1 2 1 24 MHS e potenciais quadráticos Mas geralmente isso não ocorre na natureza Por exemplo o potencial entre átomos de H em uma molécula de H2 tem uma forma do tipo U x Potencial de LennardJones A A 0 x U U K E E K U O MHS vai ocorrer sempre que o potencial for quadrático 25 Revisão molas em série e paralelo 26