Razão Proporção e Regra de Três - Matemática Financeira - Exercícios Resolvidos

1 MATEMÁTICA FINANCEIRA I RAZÃO PROPORÇÃO e REGRA DE TRÊS Professor Marcos Fernando Prandi 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA I RAZÃO PROPORÇÃO e REGRA DE TRÊS Professor Marcos Fernando Prandi 1 RAZÃO DE DOIS NÚMEROS A comparação de dois números racionais através da divisão chamase Razão Razão do número a para o número b diferente de zero é o quociente a por b Indicamos ou ab lemos a para b Os números a e b são os termos da razão a é chamado de ANTECEDENTE b é chamado de CONSEQUENTE da razão 3 EXEMPLO 1 A razão de 3 para 12 é 2 Um concurso teve 240 aprovados para 1200 candidatos A razão de 240 para 1200 é A Razão entre aprovados e candidatos ou seja 1 candidato foi aprovado para cada 5 candidatos 3 A razão de 5 para 12 é ou 4 1 RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS Razão de duas grandezas dadas em certa ordem é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda grandeza Se as grandezas são da mesma espécie suas medidas devem ser expressas na mesma unidade Neste caso a razão é um número puro EXEMPLO 1 A razão de 6 m para 3 m é 63 2 Resposta 2 2 Qual a razão entre 2 horas para 30 minutos Transformamos horas em minutos para que fiquem na mesma unidade 2 horas 120 minutos 12030 4 Resposta 4 5 Se as grandezas não são da mesma espécie a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão A velocidade média é uma razão entre grandezas diferentes e é calculada pela divisão entre a distância percorrida em quilômetros pelo tempo gasto no percurso em horas 1 Um automóvel percorre 160 km em 2 horas A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrêla é 160Km2h 1602 Kmh 80 Kmh Velocidade Média Distância percorrida Tempo gasto 80 Kmh 6 Densidade demográfica É a razão entre o número de habitantes de uma região habitantes e a área Área em quilômetros quadrados dessa região Densidade demográfica habitantes Área Essa razão é de extrema importância por oferecer um valor proporcional da quantidade de habitantes das cidades 2 A cidade A possui 10000 moradores em uma área total de 1000 km2 e a cidade B possui os mesmos 10000 moradores em um espaço de 100 km2 Qual das duas cidades possui a situação mais crítica Observe que a pergunta não especificou o que é situação crítica mas é evidente que a cidade que possui mais moradores dentro de um espaço menor precisa de maior atenção Por isso pode ser considerada a que está em situação crítica Densidade demográfica da Cidade A DA Habitantes Área DA 10000 habitantes DA 10 habitanteskm2 1000 Km² Densidade demográfica da Cidade B DB Habitantes Área DB 10000 habitantes DB 100 habitanteskm2 100 Km² Logo a cidade B é a que possui situação mais crítica 7 PROPORÇÃO Definição UMA PROPORÇÃO É UMA IGUALDADE ENTRE DUAS RAZÕES Dados quatro números 15 3 20 4 como a razão entre os dois primeiros números 15 e 3 é igual a razão entre os dois últimos números 20 e 4 isto é Dizemos que os números 15 3 20 e 4 nesta ordem formam uma proporção que expressamos mediante a igualdade das duas razões Assim dados em certa ordem quatro números a b c e d diferentes de zero dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros a e b é igual a razão entre os dois últimos c e d E simplesmente representamos uma proporção por e lemos a está para b assim como c está para d Logo Uma proporção é uma igualdade de duas razões 8 ELEMENTOS Na proporção a b c d são os termos a e c são os antecedentes b e d são os consequentes a e d são os extremos b e c são os meios PROPRIEDADE FUNDAMENTAL EM TODA PROPORÇÃO O PRODUTO DOS EXTREMOS É IGUAL AO PRODUTO DOS MEIOS Sejam a b c e d números reais diferentes de zero tais que tomando por verdadeira a propriedade fundamental que Podemos afirmar ad bc 9 EXEMPLO 1 Dada a proporção vamos verificar Temos 4 X 3 12 e 6 X 2 12 Logo a proporção é verdadeira VERIFIQUE SE SÃO OU NÃO VERDADEIRAS AS SEGUINTES PROPORÇÕES 1 3 10 CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO Aplicando a propriedade fundamental das proporções é sempre possível determinar o valor de um termo qualquer quando são conhecidos os outros três EXEMPLO Aplicando a propriedade fundamental da proporção 15x 20 60 15x 1200 x x 80 Substituindo o x temos 15 80 20 60 1200 1200 11 Regra de três Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é diretamente ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas Temos dois tipos de regra de três Simples que trabalha com apenas duas grandezas Composta que envolve mais de duas grandezas REGRA DE TRÊS SIMPLES Neste caso são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra o qual corresponde a um dos valores da primeira grandeza Devemos então obter a valor da segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira 12 1 Comprei 6 metros de tecido por R 10500 Quanto gastaria se tivesse comprado 8 metros Neste problema figuram duas grandezas comprimento e preço do tecido lêse 6 metros está para 8 assim como R 10500 está para x Devemos perguntar se eu gastar mais posso comprar mais tecido Se a resposta for positiva então teremos grandezas diretamente proporcionais Mais tecidos mais reais Mais tecidos mais reais 13 2 Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra Neste problema também figuram duas grandezas operários e dias lêse 10 dias estão para x dias assim como 6 operários estão para 20 operários Devemos perguntar mais dias mais ou menos operários Menos operários Se a resposta for negativa então teremos grandezas inversamente proporcionais Tratandose de regra de três inversamente proporcionais temos que inverter os valores da coluna do número de operários inversamente proporcional temos que inverter 14 REGRA DE TRÊS COMPOSTA Como dissemos antes na regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas relacionadas entre si Neste caso de cada grandeza são dados dois valores com exceção de uma delas da qual é dado apenas um valor relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas Exemplos 1 Se para imprimir 87500 exemplares 5 rotativas gastam 56 minutos em que tempo 7 rotativas iguais às primeiras imprimirão 350000 desses exemplares Se mais tempos mais ou menos exemplares Mais tempo mais exemplares Diretamente Se mais tempo mais ou menos rotativas Mais tempo menos rotativas Inversamente 15 𝟓𝟔 𝐱 𝟔𝟏𝟐 𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝟕𝟓𝟎 𝟎𝟎𝟎 16 2 15 operários trabalhando 9 horas por dia construíram 36 metros de muro em 16 dias Em quantos dias 18 operários farão 60 metros do mesmo muro trabalhando 8 horas por dia 4 grandezas operários construção tempo em horas tempo em dias verificamos a proporcionalidade 1 mais dias mais ou menos operários 2 Mais dias mais ou menos horas 3 Mais dias mais ou menos tarefa 17 1 Um carro percorreu 25 km em 15 minutos Que distância percorreria com a mesma velocidade em 60 minutos Verificar a proporcionalidade Mais distância mantida a mesma velocidade gastar Mais ou Menos tempo 2 Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias empregando 15 operários Concluiu a obra em 20 dias com quantos operários ele trabalhou Verificar a proporcionalidade mais dias mais ou menos operários Resposta mais dias menos operários 18 3 Um veículo percorre certa distância com a velocidade de 80 kmh em 30 minutos Quanto tempo demorará a percorrer esta mesma distância a 120 kmh Verificar a proporcionalidade mais tempo mais ou menos velocidade 4 Se 20 tratores levaram 6 dias para realizar um trabalho quantos tratores o fariam em 4 dias Verificar a proporcionalidade mais tratores mais ou menos tempo 19 5 8 pessoas consomem em 2 dias 20 bigmacs Quantos bigmacs serão consumidos em 6 dias por 10 pessoas Verificar a proporcionalidade mais bigmacs mais ou menos pessoas Mais bigmacs mais ou menos dias 6 30 operários trabalhando 8 horasdia fabricam 8 peças em 10 dias Quantos operários devem ser acrescentados para que em 15 dias trabalhando também 8 horas diárias produzam 12 peças Verificar a proporcionalidade 20 Exercícios de fixação 1 Uma viagem foi feita em 12 dias percorrendose 150 km por dia Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem percorrendose 200 km por dia 2 Um trem percorreu 245 km em 28 minutos Que distância percorreria com a mesma velocidade em 54 minutos 21 3 Um operário faz em 12 dias um trabalho cuja dificuldade é representada por 02 Em quantos dias poderia fazer outro trabalho cujo coeficiente de dificuldade fosse 025 4 Trabalhando 6 horas por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias Em quantos dias nas mesmas condições poderia fazêlo trabalhando 8 horas por dia 22 5 Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão Quantos quilogramas de pão serão consumidos em 5 dias estando 2 pessoas ausentes 6 Quinze homens trabalhando 8 horas diárias cavaram um poço de 400 metros cúbicos em 10 dias Quantos homens devem ser acrescentados para que em 15 dias trabalhando 6 horas diárias cavem os 600 m³ restantes 23 7 Um trem com 24 vagões transporta 12 toneladas de minério de ferro em 30 dias operando 15 horasdia Quantos vagões transportarão 18 toneladas deste mesmo material em 36 dias operando 18 horasdia Quantos vagões deverão ser acrescidos 8 13 de determinada rua pode ser asfaltada em 30 dias com 20 operários trabalhando 8 horas por dia quantos operários serão necessários para concluir a obra em 20 dias trabalhando 6 horas por dia MFP 0122