Apostila Dinamica do Corpo Rigido - Impulso e Quantidade de Movimento

APOSTILA DA SEMANA 12 DINÂMICA DE UM CORPO RÍGIDO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO Nesta semana exploraremos em detalhes os conceitos fundamentais de quantidade de movimento linear e quantidade de movimento angular aplicados à dinâmica de corpos rígidos em movimento plano Compreenderemos não apenas as definições dessas grandezas mas também suas origens significados físicos e como elas se relacionam com as leis fundamentais da mecânica 1 DEFINIÇÕES 11 QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR A quantidade de movimento linear também conhecida como momento linear ou momentum de um corpo rígido é uma grandeza vetorial que representa o produto da massa total do corpo pela velocidade do seu centro de massa É uma medida da inércia de um corpo em movimento linear indicando a dificuldade em alterar seu estado de movimento Matematicamente é expressa por 𝐿 𝑚𝑣 𝐺 Onde é a quantidade de movimento linear no SI 𝐿 𝑘𝑔𝑚𝑠 é a massa total do corpo 𝑚 é a velocidade do centro de massa do corpo 𝑣 𝐺 𝐺 O movimento linear significa a resistência de um corpo às mudanças em seu movimento Quanto maior a massa ou a velocidade maior a quantidade de movimento linear 12 QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR A quantidade de movimento angular ou momento angular de um corpo rígido em relação a um ponto ou eixo é uma grandeza vetorial que representa a tendência do corpo em manter seu estado de rotação Ela leva em consideração tanto a distribuição de massa do corpo em relação ao ponto ou eixo quanto sua velocidade angular Matematicamente o momento angular em relação a um ponto é definido 𝐻 𝑃 𝑃 pelo produto vetorial 𝐻 𝑃 𝑟 𝑚𝑖𝑣 𝑖 Onde é o momento angular em relação ao ponto no SI 𝐻 𝑃 𝑃 𝑘𝑔𝑚 2𝑠 é o vetor posição da partícula em relação ao ponto 𝑟 𝑖𝑃 𝑖 𝑃 é a quantidade de movimento linear da partícula 𝑚𝑖𝑣 𝑖 𝑖 O momento angular pode ser expresso também em termos da velocidade no ponto ao invés da velocidade no ponto Se o corpo tem uma velocidade 𝑃 𝑖 angular então a velocidade pode ser escrita como Ω 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖 𝑣 𝑃 𝑣 𝑖𝑃 𝑣 𝑃 Ω 𝑟 Utilizando as coordenadas cartesianas e fazendo 𝑚𝑖𝑑𝑚𝑖 𝐻𝑃 𝑖 𝑘 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑣𝑃 𝑥 𝑖 𝑣𝑃 𝑦 𝑗 ω 𝑘 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝐻𝑃 𝑖 𝑑𝑚𝑖𝑦 𝑣𝑃 𝑥 𝑑𝑚𝑖𝑥 𝑣𝑃 𝑦 𝑑𝑚𝑖 ω𝑟 2 Integrando em toda a massa 𝑚 𝐻𝑃 𝑚 𝑦 𝑑𝑚 𝑣𝑃 𝑥 𝑚 𝑥 𝑑𝑚 𝑣𝑝 𝑦 𝑚 𝑟 2𝑑𝑚 ω Considerando as distancias e do ponto ao centro de gravidade conforme 𝑥 𝑦 𝑃 𝐺 apresentado na figura As integrais da equação podem ser reescritas da seguinte forma 𝑚 𝑥𝑑𝑚 𝑥𝑚 𝑚 𝑦𝑑𝑚 𝑦𝑚 𝑚 𝑟 2𝑑𝑚 𝐼𝑃 Assim a equação de pode ser reescrita como 𝐻𝑃 𝐻𝑃 𝑦𝑚 𝑣𝑃 𝑥 𝑥𝑚 𝑣𝑃 𝑦 𝐼𝑃ω Se o ponto coincidir com o centro de gravidade do corpo 𝑃 𝑥 𝑦 0 resumindo a equação em 𝐻𝐺 𝐼𝐺ω 2 APLICAÇÕES A aplicação dos conceitos de quantidade de movimento linear e angular varia conforme o tipo de movimento ao qual o corpo rígido está sujeito Analisaremos três casos distintos translação pura rotação em torno de um eixo fixo e movimento geral no plano 21 TRANSLAÇÃO Na translação pura todos os pontos do corpo se movem com a mesma velocidade e aceleração ou seja a velocidade angular ω 0 A quantidade de movimento linear pode ser escrita como 𝐿 𝑚𝑣 𝐺 Como a quantidade de movimento angular em relação ao centro de ω 0 massa pode ser escrita como 𝐻 𝐺 0 22 ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO Quando o corpo gira em torno de um eixo fixo que passa por um ponto o 𝑂 centro de massa descreve um movimento circular em torno de 𝐺 𝑂 A quantidade de movimento linear pode ser descrita como 𝐿 𝑚𝑣 𝐺 A quantidade de movimento angular é dada por 𝐻 𝐺 𝐼𝐺Ω Considerando a quantidade de movimento angular em relação ao ponto 𝑂 𝐻𝑂 𝐼𝐺ω 𝑟𝐺 𝑚𝑣𝐺 𝐼𝐺ω 𝑟𝐺 𝑚ω𝑟𝐺 𝐼𝐺ω 𝑚𝑟𝐺 2ω 𝐼𝐺 𝑚𝑟𝐺 2 ω 𝐻𝑂 𝐼𝑂ω L mvG HG IGω rG ω O G 23 MOVIMENTO GERAL NO PLANO No caso em que o corpo apresenta simultaneamente translação do centro de massa e rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano de movimento as quantidades de movimento linear e angular podem ser escritas através das equações 𝐿 𝑚𝑣 𝐺 𝐻 𝐺 𝐼𝐺Ω Caso seja desejado calcular o momento angular em relação a um ponto 𝐴 qualquer é necessário incluir o momento e em relação a esse ponto 𝐿 𝐻𝐺 𝐻𝐴 𝐼𝐺Ω 𝑑 𝐿 𝐼𝐺Ω 𝑑 𝑚𝑣 𝐺 Se o ponto for o centro instantâneo de rotação é possível escrever a equação 𝐴 simplificada 𝐻 𝐶𝐼𝑅 𝐼𝐶𝐼𝑅Ω