Dinâmica do Ponto Material Energia e Quantidade de Movimento - Conceitos e Aplicações

MECÂNICA GERAL II Marcelo Quadros Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Demonstrar o conceito de trabalho e energia cinética do ponto material Reconhecer o significado e a aplicação de energia potencial linear e angular Descrever a cinemática das colisões dos corpos choque Introdução Neste capítulo você estudará a dinâmica do ponto material em função da energia mecânica que é definida como a soma da energia cinética e da potencial A energia cinética é a associada ao movimento de um objeto e a mudança de energia cinética resultante de forças aplicadas é igual ao trabalho realizado pelas forças Já a energia potencial é armazenada na configuração de um sistema de objetos que exercem forças entre si Você verá sobre o momento também conhecido por quantidade de movimento impulso que é a variação da quantidade de movimento e por fim as colisões que podem ser elásticas e inelásticas Trabalho e energia cinética do ponto material Segundo Knight 2009 p 304 a palavra trabalho é de uso comum no português e apresenta diversos significados Quando você pensa pela primeira vez em trabalho provavelmente pensa em esforço físico ou atividade com o qual alguém se sustenta como descrito no dicionário pois afinal falamos em esforço ou dizemos eu vou para casa depois do trabalho Todavia não é esse o significado de trabalho na física O modelo básico de energia emprega trabalho no sentido da transferência de energia para um corpo ou para fora dele por meio da aplicação de uma força Podemos também descrever trabalho como uma energia transferida para um objeto ou de um objeto causado pela ação de uma força externa o positivo transfere energia para o objeto e o negativo transfere do objeto Trabalho é o produto escalar do vetor força pelo vetor de deslocamento De acordo com o modelo básico de energia o trabalho realizado pode ser positivo ou negativo indicando respectivamente energia transferida para dentro ou para fora do mesmo As grandezas F e Δr são sempre positivas de modo que o sinal de W é determinado inteiramente pelo ângulo Θ entre a força F e o deslocamento Δr demonstrados no Quadro 1 Energia cinética Nenhuma grandeza física tem maior importância em nossa vida diária do que a energia Consumo energético eficiência energética e produção de energia são de extrema importância econômica e objetos de discussões acaloradas sobre políticas nacionais e acordos internacionais A energia também desempenha um papel importante na rotina diária de cada indivíduo consumo energético através de calorias alimentares e por meio de processos celulares atividades trabalho e exercício Em última análise a perda ou o ganho de peso devemse a um desequilíbrio entre consumo e uso de energia BAUER WESTFALL DIAS 2012 Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento 2 Força e deslocamento θ Trabalho W Sinal Transferência de energia 0 FΔr Energia é transferida para o sistema As partículas aceleram e K aumenta 90 FΔrcosθ 90 0 0 Nenhuma energia é transferida O módulo da velocidade e o valor de K são constantes Quadro 1 Sinais de acordo com o trabalho realizado Continua 3 Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento Fonte Adaptado de Knight 2009 Quadro 1 Sinais de acordo com o trabalho realizado Força e deslocamento θ Trabalho W Sinal Transferência de energia 90 FΔrcosθ Energia é transferida para fora do sistema As partículas desaceleram e K diminui 180 FΔr Continuação Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento 4 Saiba mais Além das formas de energia mecânica como energia cinética e energia potencial temos outras de grande importância as quais listamos a seguir Figura 1 Energia térmica outra forma de energia que é um dos pilares centrais da termodinâmica Energia química é armazenada em compostos químicos e reações químicas podem consumir energia do ambiente reações endotérmicas ou gerar energia utilizável para o ambiente reações exotérmicas Energia solar quase todas as outras fontes de energia renovável na Terra remontam à energia solar Energia eólica é responsável pelo vento que impulsiona grandes aerogeradores de energia Energia por biomassa outra forma de energia renovável que depende da capacidade de plantas e animais em armazenarem energia solar durante seus processos metabólicos e de crescimento Figura 1 Tipos de energias Fonte Alberto MasnovoShutterstockcom Sabemos que existem diversos e importantes tipos de energia entretanto nosso objeto de estudo baseiase em um tipo específico que é a energia as sociada ao movimento de um objeto ou descrita como energia cinética Essa é definida como metade do produto da massa de um objeto em movimento pelo quadrado de sua velocidade sendo Observe que por definição a energia cinética é sempre positiva ou igual a zero sendo somente zero para um objeto em repouso Também note que a energia cinética como todas as formas de energia é um escalar e não uma grandeza vetorial Como ela é o produto da massa kg e da velocidade ao quadrado ms ms as unidades de energia cinética são kg m2s2 Uma vez que a energia é uma grandeza tão importante ela tem sua própria unidade do SI o joule J A unidade de força do SI o Newton é 1 N 1 e podemos fazer uma conversão útil sendo unidade de energia 1 J 1 Nm 1 kgm2s2 Para facilitar o entendimento de nossos estudos analisaremos um exemplo de energia cinética de um veículo de massa 1890 kg movimentandose a uma velocidade limite de 25 ms Ele tem uma energia cinética de Outro exemplo para melhor a compreensão dos conceitos da energia cinética e também do trabalho é o de uma prensa industrial de 650 kg que acerta o topo de uma matriz de forja de 140 kg Após o impacto a punção e a matriz se juntam e têm uma velocidade de 3 ms A força vertical exercida sobre a matriz após o impacto é dada por F 002 2 onde x e F são expressos em mm e kN respectivamente Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento 6 Vamos determinar a velocidade do sistema após estampar 80 mm na peça Inicialmente calculamos a energia cinética de forma que as duas posições consideradas são imediatamente após o impacto e depois que o sistema des ceu 50 mm Como o sistema está inicialmente deslocando a 3 ms a energia cinética inicial é Na posição 2 a energia cinética será de Nosso segundo passo será calcular o trabalho À medida que o sistema se move para dentro do chão o peso e a força de resistência F realizam trabalho O trabalho que o peso realiza é U12g mgy 790 kg981 ms2008 m 6200 J A equação dada para a força é tal que F é em kN quando x é expresso em mm Isso significa que o número na frente isto é o 002 tem que ter as unida des de kNmm2 para que elas funcionem O trabalho da força de resistência é Portanto o trabalho total é de U12 U12g U12F 6200 J 3413 J 2793 J 7 Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento Substituindo as energias cinéticas e o trabalho total no princípio de trabalho e energia obtemos Para determinar quão profundamente o sistema entra no solo antes de parar você precisa definir a energia cinética final igual a zero e fazer a profundidade máxima xm desconhecida Escrevemos Resolvendo isso determinamos xm 00859 m ou 859 mm Significado e aplicação de energia potencial linear e angular O princípio de trabalho e energia é útil para resolver muitos tipos diferentes de problemas de engenharia No entanto em muitas aplicações a energia mecânica total permanece constante embora possa ser transformada de uma forma para outra Isso é conhecido como princípio de conservação de energia Para formulálo devemos primeiro definir uma quantidade conhecida como energia potencial BEER et al 2019 O princípio de conservação de energia afirma que a energia não pode ser criada nem destruída apenas convertida de uma forma ou de outra Muitas máquinas são projetadas especificamente para converter energia de uma forma para outra em um processo controlado Dependendo da eficiência da máquina uma parte da energia de entrada será convertida em calor o qual não pode ser completamente recupe rado Contudo uma ampla quantidade de energia será tipicamente armazenada de modo temporário no interior da máquina em ambas as formas potencial e cinética NORTON 2010 Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento 8 A energia potencial A energia potencial U de um corpo definida como sendo igual ao valor negativo do trabalho realizado pelas forças conservativas geralmente as gravitacionais que agem no corpo deslocandoo da posição de referência até a posição em questão A escolha da posição de referência é arbitrária normalmente por conveniência NELSON MCLEAN POTTER 2013 Vimos que a energia potencial U é a armazenada na configuração de um sistema de objetos que exercem forças entre si Por exemplo consideremos um corpo de peso W que se move ao longo de uma trajetória curva de um ponto A1 de elevação y1 até um ponto A2 de elevação y2 conforme demonstrado na Figura 2 Figura 2 Corpo de peso W que se move ao longo de uma tra jetória curva Fonte Beer et al 2019 p 786 Dessa forma podemos afirmar que o trabalho realizado pela força da gravidade W durante esse deslocamento tem a seguinte equação U12 Wy2 Wy1 Wy1 Wy2 9 Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento O trabalho de W pode então ser obtido pela subtração do valor da função Wy correspondente à segunda posição do corpo do seu valor correspondente à primeira posição O trabalho de W é independente da trajetória real percorrida ele depende apenas dos valores inicial e final da função Wy que é denominada energia potencial do corpo em relação à força da gravidade W igual à equação onde y é medido a partir de um dado arbitrário horizontal sendo a energia potencial zero por definição Notemos que se Vg2 Vg1 isto é se a energia potencial aumenta durante o deslocamento como no caso aqui considerado o trabalho U12 é negativo Se por outro lado o trabalho de W é positivo a energia potencial diminui Logo a energia potencial Vg do corpo fornece uma medida do trabalho que pode ser realizado pelo seu peso W Por essa razão o nível de referência a partir do qual a elevação y é medida pode ser escolhido arbitrariamente Dessa forma a energia potencial é expressa nas mesmas unidades que o trabalho isto é em joules Para facilitar nosso entendimento sobre a aplicação de energia potencial em uma situação específica considere o caso de um halterofilista que levanta uma barra de massa m Figura 3 Ele começa com a barra no solo conforme a Em y 0 a energia potencial gravitacional pode ser definida como Ug 0 A seguir o halterofilista pega a barra levantaa até uma altura de y h2 e mantémna lá como mostra b A energia potencial gravitacional agora é Ug mgh2 e o trabalho realizado pela gravidade sobre a barra é Wg mgh2 O halterofilista então levanta a barra sobre sua cabeça até uma altura de y h conforme mostra c A energia potencial gravitacional agora é Ug mgh e o trabalho realizado pela gravidade durante essa parte do levantamento é Wg mgh2 Após concluir o levantamento ele solta a barra que cai até o solo con forme ilustrado em d A energia potencial gravitacional da barra no solo é novamente Ug 0 e o trabalho realizado pela gravidade durante a queda é Wg mgh Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento 10 Figura 3 Levantamento de peso e energia potencial O peso da barra é mg e a força normal exercida pelo solo ou pelo halterofilista para manter o peso para cima é F Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 170 O exemplo que estudamos tornase verdadeiro mesmo para caminhos complicados que envolvem movimento horizontal e vertical do objeto porque a força gravitacional não realiza trabalho durante os segmentos horizontais do movimento No movimento horizontal o deslocamento é perpendicular à força da gravidade que sempre aponta verticalmente para baixo e portanto o produto escalar entre os vetores força e deslocamento é zero Logo nenhum trabalho é realizado O levantamento de qualquer massa a uma elevação mais alta envolve a realização de trabalho contra a força da gravidade e gera um aumento de energia potencial gravitacional dessa massa Essa energia pode ser armazenada para uso posterior Esse princípio é empregado por exemplo em muitas represas hidroelétricas A eletricidade gerada em excesso pelas turbinas é usada para bombear água para um reservatório em uma elevação maior Lá ele constitui uma reserva que pode ser aproveitada em épocas de alta demanda de energia eou baixo fornecimento de água Enunciado em termos gerais se ΔUg for positiva existe o potencial daí o nome energia potencial para permitir que 11 Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento ΔUg seja negativa no futuro com isso extraindo trabalho positivo uma vez que Wg ΔUg Energia potencial gravitacional EPG devido ao campo gravitacional um corpo nas proximidades da superfície terrestre tende a cair em direção ao centro da Terra Esse movimento é possível devido à energia guardada que ele possuía chamada de potencial gravitacional que utiliza a seguinte equação EPG m g h Energia potencial elástica EPE ao esticarmos ou comprimirmos uma mola ou um elástico sabemos que ao soltarmos eles tenderão a retornar à sua posição natural original Essa tendência é devido a algo que fica armazenado na mola ou no elástico à medida que são esticados ou comprimidos Esse algo é a energia potencial elástica que utiliza a seguinte equação EPE k x² 2 Para os termos força posição velocidade e aceleração as definições físicas exatas estão muito próximas ao uso das palavras na linguagem cotidiana Com o termo momento a situação é mais análoga à da energia para a qual só há uma vaga conexão entre o uso coloquial e o significado físico preciso Às vezes ouvimos falar que a campanha de um determinado político ganhou momento ou que a legislação ganhou momento no Congresso Geralmente dizse que equipes esportivas ou jogadores individuais ganham ou perdem momento O que essas afirmativas implicam é que os objetos que ganham momento têm maior dificuldade de parar Contudo mesmo objetos com grande momento podem ser parados WESTFALL 2012 O momento também é chamado de momento linear para distinguilo do momento angular rotação As unidades de momento são kg ms Diferentemente da unidade para energia a unidade para momento não tem um nome especial O módulo do momento abarca uma ampla extensão O Quadro 2 a seguir apresenta os momentos de vários objetos de uma partícula subatômica a um planeta em órbita do sol Quadro 2 Momento de vários objetos Objeto Momento kg ms Partícula α do decaimento do 238U 953 10²⁰ Arremesso de bola de beisebol a 90 mph 575 Rinocerontes atacando 3 10⁴ Carro se movendo na estrada 5 10⁴ Superpetroleiro com velocidade de cruzeiro 4 10⁹ Lua orbitando a Terra 758 10²⁵ Terra orbitando o Sol 178 10²⁹ Fonte Adaptado de Bauer Westfall e Dias 2012 Cinemática das colisões dos corpos choque Para entendermos as colisões dos corpos vamos conhecer inicialmente o impacto que abrange os casos em que os intervalos de tempo durante os quais as forças atuam são muito pequenos e geralmente indeterminados As superfícies dos dois corpos em colisão têm uma normal comum que é a linha de impacto demonstrada na Figura 4 NELSON MCLEAN POTTER 2013 Impacto direto ocorre se as velocidades iniciais dos dois corpos em colisão estão na direção da linha de impacto Impacto central direto ocorre se os centros de massa estão na direção da linha de impacto Impacto excêntrico direto ocorre se as velocidades iniciais são paralelas à direção normal das superfícies de impacto mas não são colineares Impacto oblíquo ocorre se as velocidades iniciais não estão na direção da linha de impacto Figura 4 Sequência de tempo de um teste de impacto demonstrando a função de air bags cintos de segurança e zonas de deformação para reduzir as forças que atuam sobre o motorista durante um acidente Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 210 No impacto central direto dos dois corpos o coeficiente de restituição é a razão entre a velocidade relativa de separação dos dois corpos pela velocidade relativa de aproximação Portanto Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento 14 onde e coeficiente de restituição u1 u2 velocidades dos corpos 1 e 2 respectivamente antes do impacto u1 u2 para a colisão ocorrer se ambos estão se movendo no mesmo sentido v2 v2 velocidades dos corpos 1 e 2 respectivamente depois do impacto Quando o impacto for oblíquo usamse as componentes normais das velocidades na fórmula anterior Desde que durante o impacto a mesma força atue em cada corpo reação igual e oposta a soma das quantidades de movimento antes do impacto deve ser igual à das quantidades de movimento após o impacto ou seja a quantidade de movimento é conservada Essa relação é expressa como m1u1 m2u2 m1v1 m2v2 Suponha que dois objetos colidam entre si Eles podem a seguir afastarse como duas bolas de bilhar sobre uma mesa Esse tipo de colisão é chamado de colisão elástica Outro exemplo de colisão é a de um carro subcompacto com um caminhão na qual os dois veículos ficam presos entre si Esse tipo de colisão é chamado de colisão perfeitamente inelástica Figura 5 Tipos de colisão Fonte Spencer HopkinsShutterstockcom e Bildagentur Zoonar GmbHShutterstockcom 15 Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento Constatamos a partir de nosso exemplo que a soma de dois momentos após a colisão é igual à dos dois momentos antes da colisão o índice i1 indica o valor inicial para o objeto 1 logo antes da colisão e o índice f1 indica o valor final para o mesmo objeto Dessa forma Essa equação é a expressão básica da lei de conservação de momento total O resultado mais importante dessa equação e da segunda lei de conservação que encontramos é a forma de considerar suas consequências Além da conservação de momento as colisões elásticas também apresentam a propriedade de que a energia cinética total é conservada Porém em colisões inelásticas a quantidade total de energia cinética é perdida e os objetos em colisão aderemse BAUER W WESTFALL G D DIAS H Física para universitários mecânica Porto Alegre AMGH 2012 BEER F P et al Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 11 ed Porto Alegre AMGH 2019 KNIGHT R D Física uma abordagem estratégica 2 ed Porto Alegre Bookman 2009 Mecânica Newtoniana Gravitação Oscilações e Ondas v 1 NELSON E W MCLEAN W G POTTER M C Engenharia mecânica dinâmica 5 ed Porto Alegre Bookman 2013 Série Schaum NORTON R L Cinemática e dinâmica dos mecanismos Porto Alegre AMGH 2010 Dinâmica do ponto material energia e quantidade de movimento 16 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS