Cinemática do Ponto Material II - Coordenadas Normal, Tangencial e Polares

MECÂNICA GERAL II Marcelo Quadros Cinemática do ponto material II Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Explicar os conceitos de coordenadas normal e tangencial Descrever coordenadas polares e suas aplicações Relacionar vetores unitários de velocidade e aceleração Introdução A cinemática do ponto material é um dos fundamentos da física de movimentos ou seja a cinemática de um corpo com qualquer tamanho ou forma e representado independentemente da sua dimensão Esses objetos podem ser por exemplo carros bolas de beisebol planetas átomos ou de uma forma mais ampla partículas Essa parte da cinemática tem como principal função analisar os diversos movimentos e suas causas Dentro do campo da física e da cinemática temos a mecânica de movimentos em que conceituamos e descrevemos as coordenadas normais tangenciais e polares relacionadas às derivadas no tempo de vetores unitários de velocidade e aceleração interpretação geométrica e movimento circular presentes na maioria dos mecanismos mecânicos e em todos os corpos em movimento Neste capítulo você conhecerá a cinemática do ponto material analisando e verificando os conceitos de coordenadas normal e tangencial assim como descreverá as coordenadas polares e suas aplicações Por fim relacionará os vetores unitários de velocidade e aceleração Coordenadas normal e tangencial Quando a trajetória de um ponto material é conhecida tornase conveniente em muitos casos descrever o movimento usando em sistema de eixos n e t com origem no ponto material e ajustado a todo instante nas direções normal e tangencial à trajetória respectivamente HIBBELER 2005 Quando analisamos o movimento de uma partícula em um sistema de coor denadas que não é retangular utilizamos dois sistemas comuns e importantes O primeiro deles é baseado na trajetória da partícula e o segundo na distância radial e no deslocamento angular dela A velocidade de uma partícula é um vetor tangente à sua trajetória mas em geral a aceleração não é tangente a essa trajetória Algumas vezes é conveniente decompor a aceleração em seus componentes dirigidos respectivamente ao longo da tangente e da normal à trajetória da partícula BEER et al 2019 Por exemplo consideremos uma partícula que se desloca ao longo de uma curva contida no plano da Figura 1 a seguir Sendo P a posição da partícula num dado instante fixamos em P o vetor et tangente à trajetória da partícula apontando no sentido do movimento e o vetor unitário correspondente à posição P da partícula num instante seguinte Figura 1 Vetores unitários tangentes para duas posições Fonte Beer et al 2019 p 669 Cinemática do ponto material II 2 Nesse caso se traçarmos os dois vetores a partir da mesma origem O definimos o vetor Δetet et conforme Figura 2 Como et e et têm comprimento unitário suas extremidades estão sobre uma circunferência de raio igual a 1 Figura 2 Ângulo entre os vetores unitários tangentes e sua diferença Fonte Beer et al 2019 p 669 Considerando agora o vetor ΔθΔe observamos que à medida que A tende a zero esse vetor se torna tangente à circunferência unitária e com intensidade tendendo a Representando o vetor por en temos 3 Cinemática do ponto material II Sendo a velocidade v da partícula tangente à trajetória ela pode ser ex pressa por v vet Por fim para obtermos a aceleração da partícula temos Substituindo as equações obtemos a aceleração em componentes normais e tangenciais sendo Portanto os componentes escalares da aceleração são Nos exemplos anteriores o vetor velocidade v e o vetor aceleração a foram expressos em termos dos vetores unitários normal e tangencial A Figura 3 a seguir mostra como expressar o mesmo vetor v e o mesmo vetor a em termos do vetor unitário et tangente à trajetória do ponto P e o vetor unitário en perpendicular a et O ponto P está mostrado na curva a uma distância s ao longo da curva a partir de um ponto de referência P0 O vetor posição r do ponto P é uma função da quantidade escalar s Os vetores posição rs e rs Δrs para os pontos P e Q respectivamente são mostrados bem como a variação Δrs que é a linha reta PQ A distância ao longo da curva de P para Q é Δs conforme demonstrada a seguir Cinemática do ponto material II 4 Figura 3 Vetor de posição r Fonte Nelson et al 2013 p 22 Podemos concluir que a partir das equações o componente tangencial da aceleração reflete uma variação na velocidade escalar da partícula enquanto seu componente normal reflete uma variação na direção de movimento da partícula A aceleração de uma partícula é zero somente se ambos os com ponentes forem zero Assim a aceleração de uma partícula que se desloca com velocidade constante ao longo de uma curva não é zero a não ser que ela passe por um ponto de inflexão da curva onde o raio de curvatura é infinito ou que a curva seja uma linha reta Para exemplificar vamos determinar a velocidade e a aceleração de jatos sendo que quatro deles estão voando em uma trajetória retilínea a uma veloci dade de 600 kmh e um único jato está voando a uma velocidade de 500 kmh em uma trajetória circular com raio de curvatura ρB 300 km Nesse caso determinaremos o movimento do avião de trajetória circular B medida pelos pilotos de trajetória retilínea A vB vA vBA 500 600 vBA 5 Cinemática do ponto material II Por estar voando em uma trajetória curva o avião B tem aceleração com componentes tangencial e normal sendo Dessa forma concluimos que o jato B que está voando em uma trajetória circular com uma velocidade de 100 kmh em relação aos jatos de trajetória retilínea tem uma aceleração de 83333 kmh2 Para se aprofundar nos conhecimentos sobre as coordenadas normal e tangencial suas características de velocidade e aceleração leia o livro Física para Universitários Mecânica de Wolfgang Bauer Gary D Westfall e Helio Dias publicado pela McGraw HillBookman em 2012 Coordenadas polares e suas aplicações O movimento circular é surpreendentemente comum Andar num carrossel ou em muitos outros brinquedos de parques de diversão qualifica um movimento circular Corridas de carros no estilo Indy pistas ovais também envolvem movimento circular conforme os carros alternam entre se moverem ao longo de seções retas e segmentos em meio círculo da pista Tocadores de CD DVD e Bluray também operam com movimento circular embora esse seja usualmente escondido dos olhos BAUER WESTFALL DIAS 2012 Durante o movimento circular de um corpo suas coordenadas x e y variam continuamente mas a distância do corpo ao centro do caminho circular per manece a mesma Podemos tirar vantagem desse fato usando as coordenadas polares para estudar o movimento circular O vetor posição está mostrado na Cinemática do ponto material II 6 Figura 4 r de um corpo em movimento circular Esse vetor varia como uma função do tempo mas sua ponta sempre se move sobre uma circunferência de um círculo Podemos especificar r dando suas componentes x e y mas o mesmo vetor dando outros dois números o ângulo de r relativo ao eixo x θ e o comprimento de r r r BAUER WESTFALL DIAS 2012 Figura 4 Sistema coordenado polar para o movimento circular Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 280 A maior vantagem de usar as coordenadas polares para analisar o movi mento circular é que r nunca varia Ele permanece o mesmo tão longe quanto a ponta do vetor r possa moverse ao longo do caminho circular Assim podemos reduzir a descrição do movimento bidimensional sobre a circunferência e um círculo para um problema unidimensional envolvendo o ângulo θ A Figura 5 a seguir também mostra os vetores unitários nas direções radial e tangencial respectivamente O ângulo entre é outra vez o ângulo θ Portanto os componentes cartesianos do vetor radial unitário podem ser escritos como demonstrado na Figura 7 mais adiante BAUER WESTFALL DIAS 2012 7 Cinemática do ponto material II Figura 5 Relação entre vetor radial unitário e seno e cosseno do ângulo Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 281 Em certos problemas de movimento no plano a posição da partícula P é definida por suas coordenadas polares r e u conforme Figura 6 É então conveniente decompor a velocidade e a aceleração da partícula em componentes paralelos e perpendiculares respectivamente à linha OP Esses componentes são denominados radiais e transversais Figura 6 Coordenadas polares r e θ de uma partícula em P Fonte Beer et al 2019 p 672 Cinemática do ponto material II 8 Nesse caso fixamos em P dois vetores unitários er e eθ conforme Figura 7 O vetor er é dirigido ao longo de OP e o vetor eθ é obtido girandose er em 90 no sentido antihorário O vetor unitário er define a direção radial isto é a direção na qual P se deslocaria se r aumentasse e u permanecesse constante o vetor unitário eθ define a direção transversal isto é a direção pela qual P se deslocaria se u fosse aumentada e r mantido constante Figura 7 Vetores unitários radiais e transversais Fonte Beer et al 2019 p 672 Para se aprofundar nos conhecimentos sobre coordenadas polares e suas aplicações leia o livro Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica de Ferdinand P Beer E Russell Johnston Phillip J Cornwell Brian P Self e Sanjeev Sanghi publicado pela McGrawHill EducationBookman em 2019 9 Cinemática do ponto material II Vetores unitários de velocidade e aceleração Nosso universo possui três dimensões de modo que algumas grandezas também necessitam de uma orientação para ficarem inteiramente descritas Se você indagar alguém sobre a localização de uma agência dos Correios uma resposta do tipo siga por mais três quadras não lhe será muito satisfatória Uma descrição completa poderia ser siga por mais três quadras em direção ao sul Uma grandeza que tenha tanto um módulo quanto uma orientação direção e sentido é chamada de grandeza vetorial cujos exemplos são posição deslocamento velocidade e aceleração Logo você se depara com outras do mesmo tipo tais como força momentum e campo elétrico KNIGHT 2009 É importante adquirir familiaridade com o uso do símbolo da seta para vetores Se você omitir a seta acima do símbolo v da velocidade e escrever apenas v estará referindose apenas à rapidez do objeto e não à sua velocidade Os símbolos r e r ou v e v não representam a mesma coisa pois se a seta vetorial for omitida dos símbolos de vetores logo você estará cometendo erros KNIGHT 2009 O movimento mais simples que podemos investigar é aquele de um objeto que se move em uma linha reta Exemplos desse movimento incluem uma pessoa correndo os 100 metros rasos um carro andando por um trecho reto de estrada e uma pedra caindo de um penhasco Consideremos o movimento em duas ou mais dimensões Figura 8 e vemos que os mesmos conceitos derivados para o movimento unidimensional ainda se aplicam Se um objeto estiver localizado em um determinado ponto sobre uma linha podemos denotar esse ponto com seu vetor posição usamos o símbolo Cinemática do ponto material II 10 Figura 8 Movimento em duas dimensões Fonte Beer et al 2019 p 642 Como estamos trabalhando com o movimento em apenas uma dimensão o vetor posição tem somente uma componente Se o movimento estiver no sentido horizontal essa componente única é a x para movimento no sentido vertical usamos a componente y Um número a coordenada x ou a compo nente x do vetor posição com uma unidade correspondente especifica com exclusividade o vetor posição no movimento unidimensional Observe que a componente x de um vetor posição pode ter valor positivo ou negativo dependendo da localização e do sentido do eixo que escolhemos ser positivo O valor da componente x também depende de onde definimos a origem do sistema de coordenadas ou seja o zero da linha reta A posição de um objeto pode mudar como função do tempo t ou seja o objeto pode deslocarse Portanto podemos representar formalmente o vetor posição usando a notação de funções Vetor velocidade Assim como a distância um escalar e o deslocamento um vetor significam coisas diferentes em física suas taxas de mudança com o tempo também são distintas Embora os termos velocidade escalar e velocidade sejam geralmente usados sem distinção no dia a dia na física velocidade escalar referese a um escalar e velocidade a um vetor 11 Cinemática do ponto material II Definimos vx a componente x do vetor velocidade como a mudança de posição isto é a componente deslocamento em um determinado intervalo de tempo dividida por esse ΔxΔt A velocidade pode mudar de momento para momento A velocidade calculada ao se obter a razão de deslocamento por intervalo de tempo é a média da velocidade durante esse intervalo de tempo ou a componente x da velocidade média v x Uma barra sobre um símbolo é a notação para a média por um intervalo de tempo finito Em cálculo uma derivada de tempo é obtida por meio de um limite à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero Usamos o mesmo conceito aqui para definir a velocidade instantânea geralmente referida simplesmente como velocidade como a derivada de tempo do deslocamento Agora podemos introduzir o vetor velocidade v como para o qual cada componente é a derivada de tempo da componente correspondente do vetor posição com o entendimento de que a operação derivada aplicase a cada uma das componentes do vetor No caso unidimensional esse vetor velocidade tem apenas uma componente x vx e a velocidade é equivalente a uma única componente de velocidade no sentido x espacial sendo v dr dt Para entendermos de maneira mais clara apresentamos três gráficos da posição de um objeto com relação ao tempo Sendo assim podemos calcular a velocidade média do objeto encontrando a mudança na sua posição entre dois pontos e dividindoa pelo tempo que leva para ir de x1 a x2 Ou seja a velocidade média é dada pelo deslocamento Δx1 dividido pelo intervalo de tempo Δt1 ou v 1 Δx1Δt1 conforme demonstrado na Figura 9 Cinemática do ponto material II 12 Figura 9 Velocidade média sobre intervalo de tempo longo Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 41 A Figura 10 a seguir demonstra a velocidade média v 2 Δx2Δt2 deter minada durante um intervalo de tempo mais curto Δt2 Figura 10 Velocidade média sobre intervalo de tempo mais curto Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 41 13 Cinemática do ponto material II Por fim na Figura 11 a velocidade instantânea vt3 dxdttt3 é repre sentada pela declividade da linha azul tangencial à curva vermelha em t t3 Figura 11 Velocidade instantânea em um tempo es pecífico t3 Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 41 Vetor aceleração Assim como a velocidade média é definida como o deslocamento por intervalo de tempo a componente x da aceleração média é definida como a mudança de velocidade por intervalo de tempo De forma semelhante a componente x da aceleração instantânea é definida como o limite da aceleração média à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero Sendo assim podemos definir o vetor aceleração como a dv dt Novamente apresentamos três gráficos para o entendimento de que a operação derivativa atua no sentido das componentes como na definição do vetor velocidade Eles ilustram essa relação entre velocidade intervalo de tempo aceleração média e aceleração instantânea como o limite da aceleração média para um intervalo de tempo decrescente Cinemática do ponto material II 14 Na Figura 12 temos que a aceleração média é dada pela mudança de velocidade Δv1 dividida pelo intervalo de tempo Δt1 1 Δv1Δt1 Figura 12 Aceleração média sobre intervalo de tempo longo Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 43 A Figura 13 a seguir demonstra a aceleração média que é determinada durante um intervalo de tempo mais curto Δt2 Figura 13 Aceleração média sobre intervalo de tempo mais curto Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 43 15 Cinemática do ponto material II Por fim na Figura 14 a aceleração instantânea at3 dvdttt3 é re presentada pela declividade da linha azul tangencial à curva vermelha em t t3 A semelhança entre velocidade e aceleração enfatiza que as operações matemáticas e as relações físicas que conectam esses vetores são as mesmas que conectam os vetores de posição e velocidade Figura 14 Aceleração instantânea em um tempo específico t3 Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 43 Podemos concluir que a aceleração é a derivada temporal da velocidade e a velocidade é a derivada temporal do deslocamento Portanto a aceleração é a segunda derivada do deslocamento BAUER W WESTFALL G D DIAS H Física para universitários mecânica Porto Alegre AMGH Bookman 2012 484 p Cinemática do ponto material II 16 BEER F P et al Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 11 ed Porto Alegre AMGH Bookman 2019 894 p HIBBELER R C Dinâmica mecânica para engenharia São Paulo Pearson Education 2005 572 p KNIGHT R D Física uma abordagem estratégica mecânica newtoniana gravitação oscilações e ondas 2 ed Porto Alegre Bookman 492 p v 1 NELSON E W et al Engenharia mecânica dinâmica 5 ed Porto Alegre Bookman 2013 310 p Coleção Schaum Leitura recomendada NORTON R L Cinemática e dinâmica dos mecanismos com unidades do Sistema In ternacional Porto Alegre AMGH Bookman 2010 800 p 17 Cinemática do ponto material II Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS