Cálculos de Função Potência e Limites

Professor Fábio Douglas de Souza e Silva Disciplina Matemática aplicada à agricultura Curso Engenharia Agronômica Lista 1 Limites e derivadasD2 Aluno Matrícula Turma BAAGR2AN Data de entrega 06062024 Valor 30 Nota OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 1 Esta lista possui 12 questões totalizando 46 cálculos todos com o mesmo peso sendo assim cada alternativa valerá 0065 aproximadamente 2 As questões deverão ser feitas manuscritas e obrigatoriamente em folha A4 digitalizadas e anexadas no campo da atividade no microsoft teams 3 Esta lista poderá ser feita individual ou em dupla Caso optem por ser em dupla colocar o nome dos 2 alunos nessa folha da atividade e mesmo assim todos deverão postar Ao postar é obrigatório ter a foto dessa atividade com os nomes Questão 1 Calcule os seguintes limites do tipo 00 envolvendo fatorações a b c d e f Questão 2 Calcule os seguintes limites do tipo 00 envolvendo conjugado de radicais a b c Questão 3 Calcule os seguintes limites do tipo k0 onde k é constante e k 0 a b c Questão 4 Calcule os seguintes limites do tipo a b c d Questão 5 Em cada item verifique se a função f é contínua nos pontos indicados Justifique sua resposta a emx1 b emx3 Questão 6 Como visto em aula sabese que o que é denominado limite fundamental trigonométrico sendo assim use essa informação para calcular os seguintes limites a b c Questão 7 Utilizando o teorema do confronto também chamado de teorema do sanduíche calcule os limites abaixo se existir justificando sua resposta a b c d Questão 8 Calcule as derivadas das seguintes funções pela definição a b c d Questão 9 Calcule as derivadas abaixo utilizando a regra da potência a b c d Questão 10 Calcule as derivadas abaixo utilizando a regra do produto a b c d Questão 11 Calcule as derivadas abaixo utilizando a regra do quociente a b c d e f g h Questão 12 Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função fx x² 8x 9 no ponto P2 3 QUESTÃO 1 Cálculo de limite Letra A lim 𝑥3 𝑥2 9 𝑥2 3𝑥 lim 𝑥3𝑥 3𝑥 3 𝑥𝑥 3 lim 𝑥3 𝑥 3 𝑥 6 3 2 Letra B lim 𝑥1 𝑥2 2𝑥 1 𝑥3 1 lim 𝑥1 𝑥 1𝑥 1 𝑥 1𝑥2 𝑥 1 lim 𝑥1 𝑥 1 𝑥2 𝑥 1 0 3 0 Letra C lim 𝑥2 2𝑥2 8 3𝑥2 4𝑥 4 lim 𝑥2 2𝑥2 4 𝑥 23𝑥 2 lim 𝑥22𝑥 2𝑥 2 𝑥 23𝑥 2 lim 𝑥2 2𝑥 2 3𝑥 2 8 8 1 Letra D lim 𝑥1 𝑥3 1 𝑥 1 lim 𝑥1 𝑥 1𝑥2 𝑥 1 𝑥 1 lim 𝑥1𝑥2 𝑥 1 3 Letra E lim 𝑥2 𝑥2 4 𝑥2 3𝑥 2 lim 𝑥2𝑥 2𝑥 2 𝑥 2𝑥 1 lim 𝑥2𝑥 2 𝑥 1 4 1 4 Letra F lim 𝑥2 𝑥2 4 3𝑥2 4𝑥 4 lim 𝑥2 𝑥 2𝑥 2 3𝑥 2𝑥 2 lim 𝑥2 𝑥 2 3𝑥 2 4 8 1 2 1 2 QUESTÃO 2 Letra A lim 𝑥1𝑥 1 𝑥 1 lim 𝑥1 𝑥 1 𝑥 1𝑥 1 lim 𝑥1 1 𝑥 1 1 2 Letra B lim 𝑥25𝑥 25 𝑥 5 lim 𝑥25𝑥 5𝑥 5 𝑥 5 lim 𝑥25 𝑥 5 1 10 1 10 Letra C lim 𝑥4 𝑥 2 𝑥 4 Como essa função não está definida para x4 então os limites laterais são diferentes logo o limite não existe QUESTÃO 3 Letra A lim 𝑥4 𝑥 5 𝑥 42 Nesse caso o numerador tende a um número negativo 1 uma vez que 4 5 e o denominador tende a zero pela direita Nesse caso a resposta é lim 𝑥4 𝑥 5 𝑥 42 Letra B lim 𝑥2 3 𝑥 𝑥 23 Nesse caso o numerador tende a um número positivo 1 uma vez que 2 3 e o denominador tende a zero Nesse caso a resposta é lim 𝑥2 3 𝑥 𝑥 23 Letra C lim 𝑥5 2𝑥2 3 𝑥 52 Nesse caso o numerador tende a um número positivo 53 e o denominador tende a zero Nesse caso a resposta é lim 𝑥52𝑥2 3 𝑥 52 QUESTÃO 4 Letra A lim 𝑥 2𝑥2 4𝑥 25 18𝑥3 9𝑥2 lim 𝑥 𝑥3 𝑥3 2 𝑥 4 𝑥2 25 𝑥3 18 9 𝑥 lim 𝑥 2 𝑥 4 𝑥2 25 𝑥3 18 9 𝑥 0 18 0 Letra B lim 𝑥 𝑥𝑥 32𝑥 5 𝑥 13𝑥 42 𝑥 lim 𝑥 2𝑥3 𝑥2 15𝑥 3𝑥3 5𝑥2 6𝑥 8 lim 𝑥 𝑥3 𝑥3 2 1 𝑥 15 𝑥2 3 5 𝑥 6 𝑥2 8 𝑥3 lim 𝑥 2 1 𝑥 15 𝑥2 3 5 𝑥 6 𝑥2 8 𝑥3 2 3 Letra C lim 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝜋𝑥2 12𝑥 4𝑥2 lim 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥2 𝑥2 2 𝑥2 1 𝑥 𝜋 12 𝑥 4 lim 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥2 1 𝑥 𝜋 12 𝑥 4 lim 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 lim 𝑥 sin 𝜋 4 2 2 Letra D lim 𝑥 3𝑥2 5𝑥 9𝑥2 5 9𝑥3 9𝑥2 lim 𝑥 𝑥3 𝑥3 3 𝑥 5 𝑥2 9 𝑥 5 𝑥3 9 9 𝑥 lim 𝑥 3 𝑥 5 𝑥2 9 𝑥 5 𝑥3 9 9 𝑥 0 9 0 QUESTÃO 5 Para verificar se uma função é contínua em um ponto a ela deve satisfazer as seguintes condições 𝑓𝑎𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑓𝑎 Letra A 𝑓𝑥 3𝑥2 𝑥𝑥 1 𝑥 4 𝑥 1 Como essa função não está definida em 𝑥 1 então 𝒇 𝒏ã𝒐 é 𝒄𝒐𝒏𝒕í𝒏𝒖𝒂 𝒆𝒎 𝒙 𝟏 Letra B 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 2 𝑥 3 A função está definida em 𝑥 3𝑓3 2 Agora vamos analisar os limites laterais lim 𝑥3 𝑥2 𝑥 32 3 6 lim 𝑥3 𝑥 3 3 3 6 Como os limites laterais são iguais ele existe e é igual a 6 porém lim 𝑥3𝑓𝑥 6 𝑓3 Logo 𝒇 𝒏ã𝒐 é 𝒄𝒐𝒏𝒕í𝒏𝒖𝒂 QUESTÃO 6 Letra A lim 𝑥0 𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛6𝑥 lim 𝑥0 𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥 lim 𝑥0 𝑥 𝑠𝑒𝑛6𝑥 lim 𝑥0 𝑥 𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑥 lim 𝑥0 𝑥 𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛6𝑥 𝑥 lim 𝑥0 1 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑥 lim 𝑥0 1 𝑠𝑒𝑛6𝑥 𝑥 lim 𝑥0 4 1 4 𝑠𝑒𝑛4𝑥 4𝑥 lim 𝑥0 6 1 6 𝑠𝑒𝑛6𝑥 6𝑥 4 lim 𝑥01 4 𝑠𝑒𝑛4𝑥 4𝑥 6 lim 𝑥01 6 𝑠𝑒𝑛6𝑥 6𝑥 4 1 4 1 6 1 6 1 𝟑 𝟕 LETRA B lim 𝑥0 1 cos 2𝑥 𝑥2 lim 𝑥0 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑥2 2 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 2 2 12 𝟐 LETRA C lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑠𝑒𝑛5𝑥 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 lim 𝑥0 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑥 lim 𝑥0 𝑥 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑥 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑥 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑥 lim 𝑥0 3 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3𝑥 lim 𝑥0 5 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 5𝑥 3 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3𝑥 5 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 5𝑥 3 1 5 1 𝟑 𝟓 QUESTÃO 7 LETRA A lim 𝑥2𝑥2 4 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 2 Sabemos que o valor do seno estará entre zero e 1 então 𝑥2 4 1 𝑥2 4 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 2 𝑥2 4 1 Sabemos também que lim 𝑥2𝑥2 4 1 0 lim 𝑥2𝑥2 4 1 0 Logo 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐𝒙𝟐 𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝒙 𝟐 𝟎 Letra B lim 𝑥 1 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 Esse limite tende ao infinito positivamente pois não está limitada a nenhum intervalo Logo o limite não existe Letra C lim 𝑥 𝑥 cos 𝑥 𝑥 Temos que 𝑥 1 𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 𝑥 1 𝑥 Analisando os limites dos extremos lim 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 Aplicando LHospital lim 𝑥 𝑥 1 𝑥 lim 𝑥 1 1 lim 𝑥 1 1 lim 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 Aplicando LHospital lim 𝑥 𝑥 1 𝑥 lim 𝑥 1 1 lim 𝑥 1 1 Como os limites dos extremos são iguais e valem 1 então lim 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 Aplicando LHospital 𝐥𝐢𝐦 𝒙 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒙 𝒙 𝟏 Letra D lim 𝑥 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥 Temos que 𝑥2 1 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥2 1 Analisando os limites extremos vemos que os limites vão tender ao infinito logo lim 𝑥 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥 QUESTÃO 8 Letra A 𝑓𝑥 1 𝑥 𝑓 𝑥 lim ℎ0 1 𝑥 ℎ 1 𝑥 ℎ Manipulando a equação 1 𝑥 ℎ 1 𝑥 ℎ 𝑥 𝑥 ℎ 𝑥 ℎ𝑥 ℎ ℎ 𝑥 ℎ𝑥 ℎ ℎ 𝑥 ℎ𝑥ℎ 1 𝑥 ℎ𝑥 Aplicando o limite à última equação temos 𝑓 𝑥 lim ℎ0 1 𝑥 ℎ𝑥 𝟏 𝒙𝟐 Letra B 𝑓𝑥 1 𝑥2 𝑓 𝑥 lim ℎ0 1 𝑥 ℎ2 1 𝑥2 ℎ Manipulando a equação 1 𝑥 ℎ2 1 𝑥2 ℎ 𝑥2 𝑥 ℎ2 𝑥 ℎ2𝑥2 ℎ 𝑥2 𝑥2 2𝑥ℎ ℎ2 𝑥 ℎ2𝑥2ℎ 2𝑥ℎ ℎ2 𝑥 ℎ2𝑥2ℎ 2𝑥 ℎ 𝑥 ℎ2𝑥2 Aplicando o limite à última equação temos como h tende a zero 𝑓 𝑥 lim ℎ0 2𝑥 ℎ 𝑥 ℎ2𝑥2 2𝑥 𝑥4 𝟐 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟑 Letra C 𝑓𝑥 3𝑥2 8𝑥 𝑓 𝑥 lim ℎ0 3𝑥 ℎ2 8𝑥 ℎ 3𝑥2 8𝑥 ℎ Manipulando a equação 3𝑥2 6𝑥ℎ 3ℎ2 8𝑥 8ℎ 3𝑥2 8𝑥 ℎ 6𝑥ℎ 3ℎ2 8ℎ ℎ 6𝑥 3ℎ 8 Aplicando o limite à última equação 𝑓 𝑥 lim ℎ0 6𝑥 3ℎ 8 𝟔𝒙 𝟖 Letra D 𝑓𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 lim ℎ0 𝑥 ℎ 𝑥 ℎ Manipulando a equação 𝑥 ℎ 𝑥 ℎ 𝑥 ℎ 𝑥 𝑥 ℎ 𝑥 𝑥 ℎ 𝑥 ℎ𝑥 ℎ 𝑥 1 𝑥 ℎ 𝑥 Aplicando o limite à última equação lim ℎ0 1 𝑥 ℎ 𝑥 𝟏 𝟐𝒙 QUESTÃO 9 Letra A 𝑓𝑥 1 𝑥6 𝑥6 𝑓 𝑥 6 𝑥61 6𝑥7 𝟔 𝒙𝟕 Letra B 𝑓𝑥 𝑥 4 𝑥 1 4 𝑓 𝑥 1 4 𝑥 1 41 1 4 𝑥3 4 𝟏 𝟒𝒙𝟑 𝟒 Letra C 𝑓𝑥 4𝑥 4𝑥 1 2 𝑓 𝑥 4 1 2 𝑥11 2 2𝑥1 2 𝟐 𝒙 Letra D 𝑓𝑥 9𝑥4 3 9𝑥 4 3 𝑓 𝑥 9 4 3 𝑥 4 31 𝑓 𝑥 12𝑥 1 3 𝟏𝟐𝒙 𝟑 QUESTÃO 10 Letra A 𝑓𝑥 𝑥2 25𝑥 4 𝑓 𝑥 𝑥2 25𝑥 4 𝑥2 25𝑥 4 𝒇𝒙 𝟐𝒙𝟓𝒙 𝟒 𝒙𝟐 𝟐𝟓 Letra B 𝑓𝑥 7𝑥 1𝑥2 4 𝑓 𝑥 7𝑥 1𝑥2 4 7𝑥 1𝑥2 4 𝒇𝒙 𝟕𝒙𝟐 𝟒 𝟕𝒙 𝟏𝟐𝒙 Letra C 𝑓𝑥 4𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑓 𝑥 4𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 4𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝒇𝒙 𝟖𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟒𝒙𝟐𝐜𝐨𝐬 𝒙 Letra D 𝑓𝑥 𝑥2 1𝑥2 1 𝑓 𝑥 𝑥2 1𝑥2 1 𝑥2 1𝑥2 1 𝒇𝒙 𝟐𝒙𝒙𝟐 𝟏 𝒙𝟐 𝟏𝟐𝒙 QUESTÃO 11 Letra A 𝑓𝑥 𝑥 1 𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑥 1𝑥 1 𝑥 1𝑥 1 𝑥 12 𝒇𝒙 𝟏𝒙 𝟏 𝒙 𝟏𝟏 𝒙 𝟏𝟐 Letra B 𝑓𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 cos 𝑥2 𝒇𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 Letra C 𝑓𝑥 sec 𝑥 1 cos 𝑥 𝑓 𝑥 1 cos 𝑥 1cos 𝑥 cos2 𝑥 𝒇𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 Letra D 𝑓𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓 𝑥 1𝑠𝑒𝑛𝑥 1𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝒇𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 Letra E 𝑓𝑥 𝑥2 2 𝑥 3 𝑓 𝑥 𝑥2 2𝑥 3 𝑥 2𝑥 3 𝑥 32 𝑓 𝑥 𝟐𝒙𝒙 𝟑 𝒙 𝟐𝟏 𝒙 𝟑𝟐 Letra F 𝑓𝑥 𝑥2 1 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥2 1𝑥 𝑥2 1𝑥 𝑥2 𝒇𝒙 𝟐𝒙𝒙 𝒙𝟐 𝟏𝟏 𝒙𝟐 Letra G 𝑓𝑥 𝑥4 2𝑥 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑥4 2𝑥𝑥 2 𝑥4 2𝑥𝑥 2 𝑥 22 𝟒𝒙𝟑 𝟐𝒙 𝟐 𝒙𝟒 𝟐𝒙𝟏 𝒙 𝟐𝟐 Letra H 𝑓𝑥 1 𝑥3 𝑓 𝑥 1𝑥3 1𝑥3 𝑥32 3𝑥2 𝑥6 𝟑 𝒙𝟒 QUESTÃO 12 Equação da reta tangente 𝑦 𝑦0 𝑚𝑥𝑥 𝑥0 𝑚𝑥 𝑓 𝑥 2𝑥 8 𝑚𝑥2 22 8 4 𝑦 3 4𝑥 2 𝑦 3 4𝑥 8 𝒚 𝟒𝒙 𝟓 Creating a custom machine learning model requires a lot of data time and expertise But you can solve many common predictions with AutoML TablesGoogle Clouds nocode machine learning product Just upload your data and AutoML Tables will help you automatically build and deploy a custom machine learning model Explore AutoML Tables at cloudgooglecomautomltables Making AI easy could change everything This poster was made possible by contributions from Google AIML Research team Google Data Scientists Google AutoML Table team You and more Find out more at cloudgooglecomautomltables Learn more Office of Technology Partnerships Stanford University Your Logo Here Project Logos Here For more 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