Fórmulas Trigonométricas e Regras de Derivação

1 FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 2 2 cos a sen a 1 2 2 1 tg a sec a 2 2 1 cotg a cosec a 2 1 cos2a sen a 2 2 1 cos2a cos a 2 sen2a 2senacosa 2 2 cos2a cos a sen a a 1 cosa sen2 2 a 1 cosa cos 2 2 sen a b senacosb cosasenb cos a b cosacosb senasenb a b a b sena senb 2sen cos 2 2 a b a b cosa cosb 2cos cos 2 2 2 2tga tg2a 1 tg a 2 cotg a 1 cotg2a 2cotga a 1 cosa tg 2 sena a 1 cosa cotg 2 sena sena a tg 2 1 cosa sena a cotg 2 1 cosa tga tgb tg a b 1 tgatgb cotgacotgb 1 cotg a b cotgb cotga sen a b tga tgb cosacosb sen a b cotga cotgb senasenb PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS ab IR 1 a log 1 0 a a a log xy log x log y a log a 1 k a a log x klog x k IR a x log a x a a a log x log x log y y a alog x x b a b log x log xlog a b a 1 log a log b b b logx lnx log x ou log x logb lnb 2 REGRAS DE DERIVAÇÃO u e v são funções reais de variável real 0 k k IR x 1 0 ax b a a IR b IR u v u v uv uv vu 1 0 n n u nuu n IR 0 ku k u k IR 2 u u u 2 u uv vu v v n n n u u n IN n u 1 1 u u e u e 1 u u a ua ln a a IR u ln u u 1 a u log u a IR uln a 1 v v v u vuu vu ln u senu u cosu 2 1 u arc senu u cosu u senu 2 1 u arccosu u 2 2 u tgu u sec u cos u 2 1 u arctgu u 2 2 u cotg u u cosec u sen u 2 1 u arccotgu u secu u secutgu 2 1 u arc secu u u cosecu u cosecu cotgu 2 1 u arccosecu u u 3 ALGUNS LIMITES IMPORTANTES u é uma função real de variável real u 0 lim sen u 1 u u 0 lim tg u 1 u n n u a u n a lim 1 e a IR 0 u u u 0 e 1 lim 1 u u p u lim e p IR u u p u lim a p IRa 1 u p u u lim u 0 p IR e p u u lim u 0 p IRa 1 a a u 0 log u 1 lim 1 a IR 1 u u 0 a u lim 1 a IR 1 log u 1 a u 1 lim log u 1 a IR 1 u 1 a u 0 lim ulog u 0 a IR 1 a u lim log u 0 a IR 1 u u a u lim a IR 1 log u PRIMITIVAS IMEDIATAS u é uma função real de variável real 1 P 1 1 m m u u u C m m P u ln u C u u u a P a u C lna P ucosu senu C P u senu cosu C P utgu ln cosu C P ucotgu ln senu C P u secu ln secu tgu C P ucosecu ln cosecu cotgu C 2 P u sec u tgu C 2 P ucosec u cotgu C P u secutgu secu C P ucosecu cotgu cosecu C 2 1 u P arctgu C u 2 1 u P arccotgu C u 2 1 u P arc senu C u 2 1 u P arc cosu C u 2 1 u P arc secu C u u 2 1 u P arccosecu C u u 4 PRIMITIVAÇÃO POR PARTES u e v são funções reais de variável real P uv uv P uv PRIMITIVAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Tipo de função Substituição 1 2 2 1 k k IN x a 1 x a tg t 2 2 k Px k IN ax bx c 2 4 0 P x polinómio de grau 2k e b ac 2 2 a x b t 3 2 2 k Px k IN x a b P x polinómio de grau 2k 3 x a b t 4 1 2 2 k k x k Q x a 4 xk at 5 rx sx R a a 5 am x t com m mmcr s 6 a R log x 6 a t log x 7 pq r s ax b ax b R x cx d cx d casos particulares desta regra 7 m ax b t com m mmc q s cx d 7A pq r s R x ax b ax b 7B pq r s R xx x 7C R x ax b 7A m ax b t com m mmc q s 7B m x t com m mmc q s 7C ax b t 8 2 R x a 2 2 b x 8 a a x sent ou x cost b b 9 2 R x a 2 2 b x 9 a a x tgt ou x cotgt b b 10 2 2 R x b x 2 a 10 x a sect b 11 R x x a bx 11 2 2 a a x sen t ou x cos t b b 5 12 R x x a bx 12 2 x a tg t b 13 R x x bx a 13 2 x a sec t b 14 2 R x ax bx c 14 se 2 0 a ax bx c x a t se 2 0 c ax bx c c t x se 2 1 2 ax bx c a x r x r 2 1 2 2 ou ax bx c x r t ou ax bx c x r t 15 m n pq x a bx 15 se n pq p IN desenvolvese a bx q se 1 n q m Z a bx t n se 1 n n q m p Z a bx x t n q VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO b 2 a V fx dx d 2 c V fy dy b 2 2 a V fx gx dx d 2 2 c V fy gy dy d c V 2 y fydy b a V 2 x fxdx d c V 2 y fy gy dy b a V 2 x fx gx dx 6 ALGUMAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Equações diferenciais de variáveis separadas f x dx g y dy 0 Equações diferenciais de variáveis separáveis 1 1 2 2 0 f x g y dx f x g y dy Equações diferenciais totais exatas A x y dx B x y dy 0 F Axy x Fxy F Bxy y Equações diferenciais totais com fator integrante A x y dx B x y dy 0 fator integrante hxdx A B y x u e com hx B ou gydy B A x y u e com gy A obtémse uma equação diferencial total exata Equações diferenciais lineares de primeira ordem y y fx gx método do fator integrante fxdx u e ou método de Lagrange ou das constantes equação homogénea C Cx obtémse uma eq diferencial de variáveis separáveis