Conceitos Gerais de Opções em Derivativos

Derivativos II Opções Conceitos Gerais 2 Derivativos II Uma opção é um contrato que fornece o direito de comprar ou vender um número prefixado de unidades de um ativo em sua data de vencimento ou em sua vigência a um preço combinado na data inicial do contrato O preço da opção é portanto um prêmio pago recebido por adquirir fornecer um direito Opção Definição Opção Termos Ativoobjeto Ativo que será comprado ou vendido caso o direito dado pela opção seja exercido Lançador O lançador é aquele que vende uma opção recebe o prêmio assumindo assim a obrigação de vender ou comprar o ativoobjeto até a determinada data pelo preço pré estabelecido Titular Quem compra a opção paga o prêmio assumindo assim os direitos a ela vinculados podendo escolher se quer ou não exercêla 3 Derivativos II Opção Termos Data de exercício data limite para os titulares exercerem seu direto Strike ou preço de exercício É o preço préestabelecido para a compra ou venda do ativo objeto Prêmio Preço pago ou recebido pela opção Fechamento de posição Operação em que o titular vende suas opções ou em que o lançador recompra suas opções Opção Termos Tempo para o vencimento Período até o vencimento das opções Opção de Compra call quando o titular possui o direito de comprar o ativoobjeto pelo preço de exercício Opção de Venda put quando o titular possui o direito de vender o ativoobjeto pelo preço de exercício 4 Derivativos II Opção Exemplo Um investidor que paga um prêmio ao lançador para adquirir o direito de comprar Petrobras ao preço de exercício de R 1000 é o titular desta opção de compra call O titular possui o direito de comprar o ativoobjeto e o lançador a obrigação de vendêlo Opção Exemplo Este direito só será exercido caso o preço do ativo seja maior que R 1000 pois caso contrário o titular poderá adquirir diretamente no mercado por um preço mais baixo De maneira similar o titular de uma opção de venda exercerá seu direito caso o preço do ativoobjeto seja inferior ao preço de exercício 5 Derivativos II Opção Notação Notação S preço do ativoobjeto stock K preço de exercício strike t tempo para o vencimento volatilidade dos retornos do ativoobjeto r Taxa de juros do ativo livre de risco prefixada até o vencimento da opção c preço da call opção de compra européia p preço da put opção de venda européia Opção Notação Notação C preço da call americana P preço da put americana VPx valor presente da variável x indica que é uma posição comprada indica que é uma posição vendida indica que o parâmetro está na data de vencimento da opção 6 Derivativos II Opções Européias e Americanas Americana o titular pode exercer seu direito a qualquer momento até o dia do exercício Européia o direito pode ser exercido apenas no dia do vencimento da opção No Brasil as opções de compra de ações negociadas na B3 são do estilo Americano maioria e as opções de venda são do estilo Europeu Nos EUA ampla maioria é do tipo americano A bolsa mais tradicional com negociação de opções é a CBOE Chicago Board Options Exchange Opções Européias e Americanas A americana deveria valer mais que a européia por possuir o direito de exercício a qualquer momento Isso é verdade apenas para as opções de venda P p Para as opções de compra C c 7 Derivativos II Compra de Call c S K SK c 0 SK Payoff c Max S K0 Compra de Call c payoff S R Payoff S R K 8 Derivativos II Compra de Call c LucroPrejuízo S R LP S R K Venda de Call c payoff S R Payoff S R K 9 Derivativos II Venda de Call c LucroPrejuízo S R LP S R K Compra de Put p Payoff S K S K p KS 0 p Max K S 0 10 Derivativos II Compra de Put p payoff S R Payoff S R K Compra de Put p LucroPrejuízo S R LP S R K 11 Derivativos II Venda de Put p payoff S R Payoff S R K Venda de Put p LucroPrejuízo S R LP S R K 12 Derivativos II Estratégia Straddle Compra de Volatilidade Considere a estratégia envolvendo a compra de uma call com preço de exercício igual a R50 por R150 e compra de uma put de mesmo preço de exercício por R075 Estratégia Straddle Compra de Volatilidade Considere a estratégia envolvendo a compra de uma call com preço de exercício igual a R50 por R150 e compra de uma put de mesmo preço de exercício por R075 Custo Inicial 150 075 225 13 Derivativos II Estratégia Straddle LucroPrejuízo Preço Ativo call50 put50 Custo Inicial Resultado 44 600 225 375 45 500 225 275 46 400 225 175 47 300 225 075 48 200 225 025 49 100 225 125 50 225 225 51 100 225 125 52 200 225 025 53 300 225 075 54 400 225 175 55 500 225 275 56 600 225 375 Estratégia Straddle LucroPrejuízo 300 200 100 100 200 300 400 500 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 S Resultado 14 Derivativos II Estratégia Straddle Compra de Volatilidade Payoff S K SK c 0 SK p KS 0 portfolio KS SK Call Européia x Americana Suponha a carteira A formada por uma posição comprada em uma opção de compra européia ou americana C e a carteira B constituída por uma posição comprada no ativoobjeto e um empréstimo que pagará o preço de exercício no final do período Portanto a carteira B é representada por S VPK 15 Derivativos II Call Européia x Americana Carteiras S K S K A C 0 SK B S VPK SK SK Relação entre as Carteiras AB AB Portanto C S VPK ou ainda C máximo 0 S VPK Call Européia x Americana Como C S VPK e S VPK S K então C S K Desta forma nunca vale a pena o exercício Portanto o valor da call americana é igual ao da européia C c 16 Derivativos II Call Européia x Americana Intuição para nunca se exercer a call americana antes do vencimento Possuir a call ao invés de possuir o ativo funciona como um seguro para valores em que o ativo é menor que o preço de exercício strike price Ao exercer antes para ter o ativo o investidor paga K antes Ao exercer no vencimento o investidor pode investir K à taxa livre de risco Put Call Parity Considere 2 estratégias Estratégia A S p compra do ativoobjeto e de uma opção de venda européia Fluxo de caixa final S Max0 K S MaxS K S K SK S S S p K S 0 Resultado K S Payoff 17 Derivativos II Put Call Parity Estratégia B c VPK compra de uma opção de compra e investimento de VPK à taxa de juros livre de risco para se obter K ao final do período Fluxo de caixa final Max0 S K K MaxK S S K SK c 0 S K VPK K K Resultado K S Payoff Put Call Parity Estratégia A Estratégia B Put Call Parity S pK cK VPK Se essa relação não vale podese arbitrar 18 Derivativos II Proximidade do Dinheiro moneyness Foradodinheiro quando sua probabilidade de exercício é baixa Nodinheiro quando a probabilidade de exercício se situa por volta de 50 e Dentrododinheiro quando o seu exercício é mais provável do que o seu não exercício Proximidade do Dinheiro moneyness Para opções de compra Out of the Money K S At the Money K S In the Money K S 19 Derivativos II Proximidade do Dinheiro moneyness Para opções de venda S K in the money S K in the money S K out of the money Denominações das Opções na Bolsa Brasileira Vencimento Compra Venda Mês A M Janeiro B N Fevereiro C O Março D P Abril E Q Maio F R Junho G S Julho H T Agosto I U Setembro J V Outubro K W Novembro L X Dezembro Opção 20 Derivativos II Denominações das Opções na Bolsa Brasileira Exemplos PETRL281 Opção de Compra de Petrobras PN com vencimento em dezembro 281 é um código que se refere ao strike da opção VALEW114 Opção de Venda de Vale ON com vencimento em novembro 114 é um código que se refere ao strike da opção Opções na Bolsa Brasileira Os vencimentos ocorrem na terceira sextafeira de cada mês As opções mais líquidas são as de Vale ON Petrobras PN Horário de Negociação Horário de funcionamento do pregão Opções de Compra são do estilo americano e europeu Opções de Venda são do estilo europeu 21 Derivativos II Opções na Bolsa Brasileira Tamanho do Contrato padrão do contrato de título negociado no mercado à vista lote de 100 Variação mínima do Prêmio R 001 Liquidação financeira D1 O preço de exercício da série é ajustado protegido para dividendos Ex Se K5000 e d 111 K 4889 A opção é protegida para split Ex S80 K82 c1 e split 12 Então S40 K41 c050 e opções duplica Estratégias Simples seguro com opção de venda e venda coberta com opções de compra ou financiamento Spreads spread de alta o spread de baixa o spread borboleta e o call ratio spread Combinações straddle strangle e Box 22 Derivativos II Call c Antes do Vencimento Preço do AtivoObjeto X Call 000 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 80 85 90 95 100 105 110 115 120 S R CR Dados K R10400 r 5 aa 15 aa e t 05 ano Put p Antes do Vencimento Dados K R10400 r 5 aa 15 aa e t 05 ano Preço do AtivoObjeto X Put Européia 000 500 1000 1500 2000 2500 80 85 90 95 100 105 110 115 120 S R pR 23 Derivativos II Variáveis que Afetam o Preço das Opções preço de mercado do ativoobjeto S preço de exercício K taxa de juros do ativo livre de risco r tempo até o vencimento da opção t e volatilidade dos retornos do ativoobjeto Opções Modelo de BlackScholes Gustavo Silva Araujo gustavoaraujobcbgovbr 24 Derivativos II Modelo de Black Scholes 2 1 N d Ke SN d C c rt t t r K S d 2 ln 2 1 t d d 1 2 Nx é a função probabilidade acumulada de uma variável normal padronizada Modelo de Black Scholes 1 2 d SN d N Ke p rt 25 Derivativos II BS Premissas O preço dos ativos tem distribuição lognormal A volatilidade do ativoobjeto é constante até o vencimento da opção Não existem oportunidades de arbitragem A taxa de juros do ativo livre de risco é constante durante a vida da opção BS Premissas Não existem custos de transação impostos ou margens O ativo objeto não paga dividendos ou qualquer outro rendimento durante a vida da opção Vendas a descoberto são permitidas e podese tomar emprestado ou aplicar qualquer quantia à taxa de juros corrente O ativoobjeto é continuamente negociado não dá jumps 26 Derivativos II BS Premissas Black 1992 Yet that weakness is also its greatest strength People like the model because they can easily understand its assumptions The model is often good as a first approximation and if you can see the holes in the assumptions you can use the model in more sophisticated ways BS A taxa de juros livre de risco utilizada no modelo original é a taxa contínua Taxa Contínua ln 1 Taxa Discreta 27 Derivativos II BS Exemplo Pt 10 Pt1 13 Retorno em taxa discreta Retd 131010 30 Retorno em taxa contínua Retc ln1310 2624 taxa contínua ln130 2624 Taxa do Ativo Livre de Risco Projetada até o Vencimento da Opção A taxa de juros utilizada para se apreçar as opções é a taxa prefixada da data do apreçamento até o vencimento das opções Muitas vezes essa taxa não está diretamente disponível no mercado Nesse caso devese utilizar algum método de interpolação para se encontrar a taxa 28 Derivativos II Volatilidade Único parâmetro utilizado na fórmula de BS que não é diretamente observado no mercado Portanto deve ser estimada a Histórico é o desviopadrão amostral 2 1 1 1 n t t t t ret ret n s Volatilidade Método Histórico Ponto Forte Extrema facilidade de implementação Pontos Fracos Dados recentes e dados antigos possuem a mesma relevância Impacto do tamanho da janela de observação 29 Derivativos II Volatilidade Método Histórico Impacto do tamanho da janela de observação Multiplicase por raiz de 252 Janela Volatilidade dia Volatilidade ano 1 ano 212 3368 6 meses 196 3107 3 meses 193 3068 1 mês 230 3645 TNLP4 04022004 EWMA Exponencial Weighted Moving Average 0 1 relativa facilidade de implementação utilizado pelo RiskMetrics TM maior ponderação para eventos mais recentes 2 1 2 1 2 1 t t t r h h Alisamento Exponencial EWMA 30 Derivativos II Alisamento ExponencialEWMA Limitações calibragem do fator de decaimento 094 indicado pelo Riskmetrics mesmo parâmetro para diferentes ativos não há reversão à média BS Generalizado 2 1 N d Ke N d Se c rt qt 1 2 d N Se d N Ke p qt rt t t q r K S d 2 ln 2 1 t d d 1 2 31 Derivativos II BS Generalizado Onde q é ꞏ a taxa contínua de dividendos para opções de ações Modelo de Merton ou ꞏ a taxa de juros da moeda estrangeira para opções de moedas Modelo de Garman Kohlhagen ou ꞏ a taxa de juros do ativo livre de risco para opções sobre futuros de taxa de juros Modelo de Black Garman Kohlhagen 2 1 N d Ke N d Se c rt rf t t t r r K S d f 2 ln 2 1 t d d 1 2 32 Derivativos II Garman Kohlhagen Rearrumando o GK podemos apreçar opções de câmbio com F no lugar de S Sabemos que em tempo contínuo F Serrft ou Fert Serft Substituindo temos 2 1 N d Ke N d Fe c rt rt e rt KN d FN d c 2 1 Garman Kohlhagen Também podemos rearrumar d1 para que fique em função de F t t r r Ke F t t r r K S d f t r r f f 2 ln 2 ln 2 2 1 t t K F d t t r r e K F d f t r r f 2 ln 2 ln ln 2 1 2 1 33 Derivativos II Garman Kohlhagen Desta forma temos o modelo de GK utilizado a cotação F ao invés da S Note que essa fórmula é a mesma do modelo de Black com F no lugar de S t t K F d 2 ln 2 1 t d d 1 2 e rt KN d FN d c 2 1 Garman Kohlhagen Se fizermos o mesmo para a put chegaremos a Note que essa fórmula é a mesma do modelo de Black com F no lugar de S t t K F d 2 ln 2 1 t d d 1 2 e rt d FN d KN p 1 2 34 Derivativos II Garman Kohlhagen Exemplo Qual o prêmio teórico de uma call européia de dólar com K R3400US1000 vencimento em 90 dias 63 dias úteis Dados Câmbio à vista R3240US1000 1789 aa rd 135 aa discreta 252 exponencial Cupom Cambial Limpo para 90 dias 2 aa discreta 360 linear fazer com as 2 fórmulas Volatilidade Implícita É a volatilidade que ao ser colocada em uma fórmula de apreçamento de opções gera o valor da opção negociado no mercado Baseada nos preços das opções dados pela mercado A volatilidade implícita é de difícil interpretação se não forem levados em conta os pressupostos relativos à fórmula de precificação Somente pode ser corretamente calculada se houver um mercado líquido para a opção correspondente 35 Derivativos II Volatilidade Implícita 160908 1430 VALE5 3390 Dados r 1385 aa t 23du Opção preço ISD neg VALEJ34 257 5918 2383 VALEJ36 172 5880 3866 VALEJ38 105 5696 4686 VALEJ40 058 5473 2490 Vol Implícita ponderada 5747 Volatility Smile Smirk for Equity Option Volatilidade Implícita 36 Derivativos II Volatilidade Implícita Possíveis explicações para smirk a Calls OTM muito vendidas b Pela put call parity Puts OTM supervalorizadas maior risco de desastre que a distribuição normal prevê Opções Letras Gregas Gustavo Silva Araújo 00araujogsgmailcom 37 Derivativos II Delta D O é quanto o preço da opção se modifica com uma pequena variação do preço do ativo S V Utilizamos V para tanto para o valor de uma call quanto para o valor de uma put ou até para o valor de um portfólio Delta O delta é a inclinação da curva do gráfico da opção que relaciona o valor da opção e o preço do ativoobjeto em um determinado ponto Para as calls o pode variar entre 0 e 1 enquanto para as puts o pode variar entre 1 e 0 Preço do AtivoObjeto X Call S R CR 38 Derivativos II Delta Para as puts o pode variar entre 1 e 0 Preço do AtivoObjeto X Put Européia 000 500 1000 1500 2000 2500 80 85 90 95 100 105 110 115 120 S R pR Delta Exemplo Para uma opção de compra em que 07 se a ação subir R 050 a opção subirá cerca de R 035 na realidade irá subir mais Para uma opção de venda em que 07 se a ação subir R 050 a opção cairá cerca de R 035 na realidade irá cair menos 39 Derivativos II Delta Dados K R10400 r 5 aa 15 aa e t 05 ano Preço do AtivoObjeto X DELTA S R Delta Delta Pela fórmula de BS convencional temse que Para calls Para puts Pela fórmula de BS para moedas futuros e de ações que pagam dividendos temse que Para calls Para puts 1d N N d1 N d e qt 1 d e qt N 1 40 Derivativos II Gama O mede a sensibilidade do a modificações do ativo objeto Ou seja o mede o grau da curvatura da curva que relaciona as variáveis preço do ativoobjeto S e o valor da opção V em um determinado ponto 2 2 S V S Gama Se uma opção está extremamente foradodinheiro ou extremamente dentrododinheiro os s não são muito sensíveis a do variações ativoobjeto e os s são próximos a zero Para opções nodinheiro em que é extremamente sensível a mudanças no ativoobjeto o é máximo 41 Derivativos II Gama Dados K R10400 r 5 aa 15 aa e t 05 ano Preço do AtivoObjeto X Gama S R Gama Gama O derivado a partir da equação de BS sem o pagamento dos dividendos da opção européia de compra é igual ao da opção européia de venda e é dado por onde 1 t S d N 2 1 12 2 1 e d d N 42 Derivativos II Teta O de uma opção é definido como a derivada de seu valor em relação ao tempo ou seja mede a sensibilidade do valor da opção V com relação a passagem do tempo T V Teta Com o passar do tempo se verifica uma perda do prêmio da opção pela redução da incerteza o que é denominado emagrecimento time decay Como não há incerteza sobre a passagem do tempo o teta é determinístico pois se sabe o que acontecerá com o parâmetro 43 Derivativos II Vega O de uma opção é definido como a derivada de seu valor em relação à volatilidade ou seja mede a sensibilidade do valor da opção V com relação a uma pequena mudança na volatilidade V Vega Os s de calls e puts são sempre positivos uma vez que quanto maior o risco maior a probabilidade de exercício e viceversa V 44 Derivativos II Vega Dados K R10400 r 5 aa 15 aa e t 05 ano Preço do AtivoObjeto X Vega S R Vega Rho O de uma opção é definido como a derivada no seu valor em relação à taxa de juros ou seja mede a sensibilidade do valor da opção V com relação a uma pequena variação nos juros r V Os s de calls são sempre positivos Os s de puts são sempre negativos 45 Derivativos II Portfolio deltaneutro C S 1 C S 1 2 C S 3 C S 1 4 Delta Hedge portfolio deltaneutro O portfolio DeltaNeutro é formado pela exposição em ativoobjeto e posição contrária em contratos de opções As variações na exposição são iguais às da opção porém em direções opostas O tamanho do contrato da opção é Nº de contratos de opção tamanho da exposição 46 Derivativos II Delta Hedge portfolio deltaneutro Exemplo Uma empresa possui uma dívida de US100000000 a ser paga daqui a 90 dias Como ela acha que o mercado está muito volátil realiza uma operação de Delta Hedge a fim de se proteger Dados Câmbio à Vista R 350 Opção disponibilizada pelo banco Preço de Exercício R 353 c R 010 05 Delta Hedge portfolio deltaneutro Solução Quantidade de opções 100000000 200000000 de 1US ou uma opção de compra de 2MM Portfolio construído Dívida de US100000000 Compra de 2000000 de contratos de opção de 1US 47 Derivativos II Delta Hedge portfolio deltaneutro O indica a sensibilidade da opção em relação ao preço do ativoobjeto Assim se a taxa for para R360 minha dívida valerá R 360000000 mas o preço da call subirá R005 x variação cambial fazendo com que minha posição em opções compense o aumento da minha dívida Ver planilha Delta Hedge portfolio deltaneutro O deltahedge também é utilizado com o objetivo de se auferir ganhos quando é detectada uma distorção nos preços Para isso comprase vendese uma opção que está barata cara e fazse o deltahedge Quando os preços voltarem a seu patamar normal as posições devem ser desfeitas 48 Derivativos II Delta Hedge portfolio deltaneutro O de uma opção muda continuamente Assim o portfolio deltaneutro deve ser constantemente rebalanceado para que o hedge continue perfeito uma vez que a quantidade de contratos depende do Isto requer uma gerência ativa e transações freqüentes compromissos que muitas instituições não estão dispostas a assumir O grau do ajuste é dado pelo Delta Hedge portfolio deltaneutro Podese utilizar um portfolio deltaneutro para fazer especulações sobre as diferenças de volatilidades implícitas gap de volatilidade C1 12C2 Neste portfolio se está especulando que a volatilidade implícita de C1 está baixa relativamente a de C2 Se 1 2 a aposta é que o gap de volatilidade irá diminuir Se 1 2 a aposta é que o gap de volatilidade irá aumentar 49 Derivativos II Portfolio deltagamaneutro Uma alternativa ao portfólio deltaneutro para que não haja tanto rebalanceamento no portfólio é formar um portfolio deltagamaneutro Com o gama neutro o delta do portfolio varia pouco para pequenas mudanças no preço do ativo e desta forma continua próximo a zero Para se formar o portfólio devese utilizar outra opção Portfólio DeltaGamaNeutro C1 12 C2 1 2 x 1 2S Portfolio deltagamaneutro Neste portfolio também se está especulando que a volatilidade implícita de C1 está baixa relativamente a de C2 Se 1 2 a aposta é que o gap de volatilidade irá diminuir Se 1 2 a aposta é que o gap de volatilidade irá aumentar 50 Derivativos II CompraVenda de Volatilidade com DeltaHedge Exemplo Em 2982014 um investidor acredita que a ação da Petrobras irá ficar muito volátil e resolve comprar volatilidade Para isso ele faz um portfolio deltaneutro em que vende y ações da Petrobras e compra uma quantidade de calls igual a y A operação será realizada com 5 mil ações de Petrobras A call escolhida deve ser a de maior maior curvatura para que o potencial de ganho aumente CompraVenda de Volatilidade com DeltaHedge Variação nas Posições S P P2 P1 y c yS Lembrar que estamos vendidos em S e comprados nas Calls 51 Derivativos II CompraVenda de Volatilidade com DeltaHedge Quanto maior a curvatura maior a possibilidade de ganhos Se o preço subir de P para P2 a posição comprada em calls aumenta mais que a posição vendida no ativo e o investidor obtém um ganho Se o preço cair de P para P1 a posição em calls diminui porém menos que a posição no ativo e o investidor também obtém um ganho CompraVenda de Volatilidade com DeltaHedge Porém com o passar do tempo o valor da call tende a cair devido ao time decay Portanto para o investidor lucrar com a compra da volatilidade a mudança no preço deve mais do que compensar o time decay 52 Derivativos II CompraVenda de Volatilidade com DeltaHedge Dados do exemplo Dia 2982014 PETR4 R 2336 Dados da opção mais nodinheiro maior gama PETRI23 R 063 K 2391 com vencimento em 10 du r 1082 aa rcont 1027 aa CompraVenda de Volatilidade com DeltaHedge Pela fórmula de BS 043212 Operação compra de volatilidade Vendo 5000 PETR4 R 116800 Compra 1157092 5000 de PETRI23 R 1157092 Total R 10952122 entrada de caixa 53 Derivativos II CompraVenda de Volatilidade com DeltaHedge No dia útil seguinte 9 du para o vencimento supondo que a volatilidade permaneça a mesma o investidor obtém lucro se PETR4 tem uma queda superior a 278 ou uma alta superior a 308 No mesmo contexto se o investidor fizesse a operação contrária compra de 5000 PETR4 e venda de 1157092 PETRI23 o investidor estaria vendendo volatilidade e ganharia se PETR4 tivesse um retorno no dia seguinte entre 278 e 308 54 Derivativos II