Lista de Exercícios Inferência Estatística - Distribuições A Priori e A Posteriori

Lista de Exercícios 3 Disciplina Inferência Estatística Professor Philip Thompson Monitores Eduardo Adame Ezequiel Braga Setembro 2023 Caps 72 Distribuições a Priori e a Posteriori 1 DeGroot e Schervish 2014 ex 2 pág 393 Suponha que a proporção θ de itens defeituosos em um grande lote fabricado seja conhecida como sendo 01 ou 02 e a função de probabilidade a priori prior pf de θ é a seguinte ξ01 07 e ξ02 03 Suponha também que quando oito itens são selecionados aleatoriamente do lote é encontrado que exatamente dois deles são defeituosos Determine a função de probabilidade a posteriori posterior pf de θ 2 DeGroot e Schervish 2014 ex 3 pág 394 Suponha que o número de defeitos em um rolo de fita magnética de gravação segue uma distribuição de Poisson para a qual a média λ é igual a 1 ou 15 e a função de probabilidade a priori prior pf de λ é a seguinte ξ1 04 e ξ15 06 Se um rolo de fita selecionado aleatoriamente for encontrado com três defeitos qual é a função de probabilidade a posteriori posterior pf de λ 3 DeGroot e Schervish 2014 ex 10 pág 394 Suponha que uma única observação X deve ser retirada da distribuição uniforme no intervalo θ 12 θ 12 o valor de θ é desconhecido e a distribuição a priori de θ é uniforme no intervalo 10 20 Se o valor observado de X é 12 qual é a distribuição a posteriori de θ Cap 73 Distribuições a Priori Conjugadas 4 DeGroot e Schervish 2014 ex 17 pág 407 Suponha que o número de minutos que uma pessoa deve esperar por um ônibus todas as manhãs segue uma distribuição uniforme no intervalo 0 θ onde o valor do ponto final θ é desconhecido Suponha também que a função de densidade de probabilidade pdf a priori de θ é a seguinte ξθ 192θ4 para θ 4 0 caso contrário Se os tempos de espera observados em três manhãs consecutivas são 5 3 e 8 minutos qual é a função de densidade de probabilidade a posteriori posterior pdf de θ 5 DeGroot e Schervish 2014 ex 19 pág 407 Suponha que X1 X2 Xn formam uma amostra aleatória de uma distribuição para a qual a função de densidade de probabilidade f xθ é a seguinte f xθ θxθ1 para 0 x 1 0 caso contrário Suponha também que o valor do parâmetro θ é desconhecido θ 0 e a distribuição a priori de θ é a distribuição gama com parâmetros α e β α 0 e β 0 Determine a média e a variância da distribuição a posteriori de θ 6 DeGroot e Schervish 2014 ex 21 pág 407 Suponha que X1 X2 Xn formem uma amostra aleatória da distribuição exponencial com parâmetro θ Seja a distribuição a priori de θ imprópria com pdf 1 para θ 0 Encontre a distribuição a posteriori de θ e mostre que a média a posteriori de θ é 1Xn 11 DeGroot e Schervish 2014 ex 7 pág 448 A distribuição beta com parâmetros α e β onde o valor de β é conhecido e o valor de α é desconhecido α 0 T ni1 Xi 12 DeGroot e Schervish 2014 ex 16 pág 448 Seja θ em um espaço de parâmetros Ω igual a um intervalo de números reais possivelmente não limitado Deixe X ter uma fdp ou fmp fnxθ condicional a θ Seja T rX uma estatística Assuma que T é suficiente Prove que para cada possível fdp a priori para θ a fdp a posteriori de θ dada X x depende de x apenas através de rx Cap 78 Estatística Suficiente Mínima 13 DeGroot e Schervish 2014 ex 8 pág 455 Suponha que X1 X2 Xn formem uma amostra aleatória de uma distribuição exponencial para a qual o valor do parâmetro β é desconhecido β 0 O MLE Estimador de Máxima Verossimilhança de β é uma estatística minimamente suficiente 14 DeGroot e Schervish 2014 ex 12 pág 455 Suponha que X1 X2 Xn formem uma amostra aleatória de uma distribuição para a qual a fdp é a seguinte f xθ 2xθ2 para 0 x θ 0 caso contrário Aqui o valor do parâmetro θ é desconhecido θ 0 Determine o MLE Estimador de Máxima Verossimilhança da mediana dessa distribuição e mostre que esse estimador é uma estatística minimamente suficiente para θ 15 DeGroot e Schervish 2014 ex 16 pág 455 Suponha que X1 X2 Xn formem uma amostra aleatória de uma distribuição de Poisson para a qual o valor da média λ é desconhecido e que a distribuição a prior de λ seja uma determinada distribuição gama especificada O estimador de Bayes de λ em relação à função de perda de erro quadrático é uma estatística minimamente suficiente Cap 79 Custos e Riscos de Estimadores 16 DeGroot e Schervish 2014 ex 2 pág 460 Suponha que as variáveis aleatórias X1 X2 Xn formem uma amostra aleatória de tamanho n n 2 da distribuição uniforme no intervalo 0 θ onde o valor do parâmetro θ é desconhecido θ 0 e deve ser estimado Suponha também que para todo estimador δX1 X2 Xn o MSE Rθ δ seja definido como Rθ δ EqδX hθ2 Explique por que o estimador δ1X1 X2 Xn 2Xn é inadmissível 17 DeGroot e Schervish 2014 ex 3 pág 460 Considere novamente as condições do exercício anterior e seja o estimador δ1 definido anteriormente Determine o valor do MSE Rθ δ1 para θ 0 18 DeGroot e Schervish 2014 ex 6 pág 460 Suponha que X1 X2 Xn formem uma amostra aleatória de tamanho n n 2 da distribuição gama com parâmetros α e β onde o valor de α é desconhecido α 0 e o valor de β é conhecido Explique por que Xn é um estimador inadmissível da média dessa distribuição quando a função de perda de erro quadrático é usada 19 DeGroot e Schervish 2014 ex 10 pag 461 Suponha que X1 X2 Xn formem uma amostra aleatoria de uma distribuicao para a qual a fdp ou a fmp e f xθ onde θ Ω Suponha que o valor de θ deve ser estimado e que T e uma estatıstica suficiente para θ Seja δ um estimador arbitrario de θ e δ0 outro estimador definido pela relacao δ0 EδT Mostre que para cada valor de θ Ω Eθδ0 θ Eθδ θ Cap 87 Estimadores Naoviesados 20 DeGroot e Schervish 2014 ex 4 pag 512 Suponha que uma variavel aleatoria X tenha a distribuicao geometrica com suporte em 0 1 2 com parˆametro desco nhecido p Encontre uma estatıstica δX que seja um estimador naoviesado de 1p 21 DeGroot e Schervish 2014 ex 11 pag 513 Suponha que um determinado medica mento deve ser administrado a dois tipos diferentes de animais A e B Sabese que a resposta media dos animais do tipo A e a mesma que a resposta media dos animais do tipo B mas o valor comum θ dessa media e desconhecido e deve ser estimado Tambem e sabido que a variˆancia da resposta dos animais do tipo A e quatro vezes maior do que a variˆancia da resposta dos animais do tipo B Sejam X1 X2 Xm as respostas de uma amostra aleatoria de m animais do tipo A e Y1 Y2 Yn as respostas de uma amostra aleatoria independente de n animais do tipo B Finalmente considere o estimador ˆθ α Xm 1 α Yn a Para quais valores de α m e n ˆθ e um estimador naoviesado de θ b Para valores fixos de m e n qual valor de α gera um estimador naoviesado com variˆancia mınima 22 DeGroot e Schervish 2014 ex 13 pag 513 Suponha que X1 X2 Xn formem uma amostra aleatoria de uma distribuicao para a qual a fdp ou a fmp e f xθ onde o valor do parˆametro θ e desconhecido Sejam X X1 X2 Xn e T uma estatıstica Suponha que δX seja um estimador nao tendencioso de θ tal que EθδXT nao depende de θ Se T for uma estatıstica suficiente como definido na Secao 77 isso sera verdade para qualquer estimador δ Essa condicao tambem se aplica a outros exemplos Seja δ0T a media condicional de δX dado T a Mostre que δ0T tambem e um estimador naoviesado de θ b Mostre que Varθδ0 Varθδ para todos os valores possıveis de θ Caps 88 Informacao de Fisher e Estimadores Eficientes 23 DeGroot e Schervish 2014 ex 7 pag 527 Suponha que X1 X2 Xn formem uma amostra aleatoria da distribuicao de Bernoulli com parˆametro desconhecido p Mostre que Xn e um estimador eficiente de p 24 DeGroot e Schervish 2014 ex 10 pag 527 Suponha que X1 X2 Xn formem uma amostra aleatoria da distribuicao normal com media 0 e desvio padrao desconhecido σ 0 Encontre o limite inferior especificado pela desigualdade da informacao de Fisher para a variˆancia de qualquer estimador nao tendencioso de log σ 4 Referˆencias DeGroot Morris H e Mark J Schervish 2014 Probability and Statistics 4ª Pearson Educa tion Limited 5