Auxílio Multicritério à Decisão: Método ELECTRE

AUXILIO MULTICRITÉRIO À DECISÃO MÉTODO ELECTRE Professor Dr Adalberto J Tavares Vieira Principais Métodos da Escola Francesa Sistema de preferência Os Métodos ELECTRE Auxilio Multicritério à Decisão 3 Introdução Estes métodos admitem um modelo mais flexível do problema pois não pressupõem necessariamente a comparação entre as alternativas e não impõem ao analista de decisão uma estrutura hierárquica dos critérios existentes Os primeiros métodos da Escola Francesa de Apoio Multicritério à Decisão foram os da família Electre Elimination Et Choix Traduisant la Réalité Eliminação e Escolha como Expressão da Realidade o Electre I proposto por Roy em 1968 e em seguida o Electre II proposto por Roy e Bertier em 1973 Estes métodos definem uma série de processos sobre as alternativas consideradas as quais pertencem ao conjunto de possíveis soluções do problema de decisão analisado Auxilio Multicritério à Decisão 4 Sistema de Preferências nos Métodos Electre Umas das principais características introduzidas por este método corresponde a um novo conceito do Modelo de Preferência que pretende ser uma representação mais realista que o utilizado na Teoria da Utilidade Multiatributo Considerandose um problema de escolha por exemplo sabendose que uma ação a é melhor do que b e c tornase irrelevante analisar as preferências entre b e c Estas duas ações podem perfeitamente permanecer incomparáveis sem degenerar o procedimento de suporte à decisão Auxilio Multicritério à Decisão 5 Sistema de Preferências nos Métodos Electre Todavia a solução desse tipo de problema é um processo temporal no qual as preferências podem ser modificadas em razão de novas informações que se incorporam ao longo do processo Portanto pode ser importante trabalhar com conceitos que possibilitem a modelagem de novas situações durante o processo decisório isto é quando algumas ações ainda permanecem incomparáveis Assim a ideia básica nesta família de métodos consiste numa ênfase na análise das relações de dominância Evitamse desta forma hipóteses muito rígidas e questionamentos intrigantes ao decisor exigidos pela teoria da utilidade multiatributo e que introduzem uma série de dificuldades na modelagem de problemas reais para alguns decisores Auxilio Multicritério à Decisão 6 Sistema de Preferências nos Métodos Electre Em cima desse raciocínio estes métodos introduziram o conceito de limites de indiferença q que significam o limiar que uma alternativa pode transitar até ser indiferente à outra Os métodos de classificação tradicionais partem da relação de preferência e indiferença para compararem alternativas Por exemplo ao comparar duas alternativas A e B para se dizer que A supera B significa dizer que A é pelo menos tão bom quanto B a é estritamente preferível a b a é fracamente preferível a b a é indiferente a b b é fracamente preferível a a b é estritamente preferível a a 𝒂𝑷𝒃 𝒂𝑸𝒃 𝒂𝑰𝒃 𝒆 𝒃𝑰𝒂 𝒃𝑸𝒂 𝒃𝑷𝒂 Auxilio Multicritério à Decisão 7 Sistema de Preferências nos Métodos Electre Em resumo estes métodos baseiam no estudo de sobreclassificação em uma lógica não compensatória razão de substituição com poder de veto usando as noções de concordância e de discordância As relações de sobreclassificação construídas de tal forma permitem avaliar se uma alternativa é tão boa quanto outra alternativa na seguinte condição o Uma maioria suficiente de critérios considerando as suas importâncias apoia esta proposição princípio da concordância e a oposição da minoria não é considerada forte o suficiente para discordar desta proposição princípio da discordância Um método de sobreclassificação dividese em 2 passos construir uma relação de sobreclassificação e explorála para as alternativas escolhidas do problema Principais Métodos da Escola Francesa Sistema de preferência Os Métodos ELECTRE Auxilio Multicritério à Decisão 9 Métodos Electre A família de métodos ELECTRE de origem francesa tem como objetivo obter um subconjunto de alternativas no qual as alternativas que fazem parte desse subconjunto sobreclassificam as que não fazem Em outras palavras buscase reduzir o tamanho do conjunto de alternativas explorando o conceito de dominância Para isso são utilizados dois índices o índice de concordância que mede a vantagem relativa de cada alternativa sobre as outras e o índice de discordância que mede a relativa desvantagem Auxilio Multicritério à Decisão 10 Métodos Electre Os métodos da família ELECTRE são aplicados em duas fases principais FASE I Construir uma relação de sobreclassificação estabelecendo uma comparação par a par de alternativas FASE II Explorar a relação de sobreclassificação aplicando um procedimento para resolver o problema em função da problemática específica a ser abordada Estes métodos diferenciamse entre si pela problemática que tentam resolver pelas informações inter e intracritérios utilizadas e pela quantidade de relações de superação construídas e pesquisadas Assim desde 1968 quando surgiu o Método Electre I sucederamse várias versões dos métodos Electre Auxilio Multicritério à Decisão 11 Métodos Electre Os métodos Electre consideram os pesos como uma medida da importância que cada critério tem para o decisor e não como uma taxa marginal de substituição visto que as avaliações de cada alternativa nos diferentes critérios não se reúnem em uma avaliação global Versão Autor Ano Tipo de Problema Utiliza Pesos I Roy 1968 Seleção Sim II Roy e Bertier 1973 Ordenação Sim III Roy 1978 Ordenação Sim IV Roy e Hugonnard 1982 Ordenação Não IS Roy e Skalka 1985 Seleção Sim TRI Yu Wei 1992 Classificação Sim Auxilio Multicritério à Decisão 12 Métodos Electre Assim empregam a informação dos pesos com a finalidade de construir índices ou coeficientes de concordância e de discordância A versão IV é o único em que não se utilizam pesos pois funciona como uma sequencia de relações de superação agrupadas Versão Autor Ano Tipo de Problema Utiliza Pesos I Roy 1968 Seleção Sim II Roy e Bertier 1973 Ordenação Sim III Roy 1978 Ordenação Sim IV Roy e Hugonnard 1982 Ordenação Não IS Roy e Skalka 1985 Seleção Sim TRI Yu Wei 1992 Classificação Sim Auxilio Multicritério à Decisão 13 Métodos Electre A versões I e IS resultam em uma relação de superação entre as alternativas que é útil para selecionálas As outras versões fornecem diretamente uma préordem parcial das alternativas Versão Autor Ano Tipo de Problema Utiliza Pesos I Roy 1968 Seleção Sim II Roy e Bertier 1973 Ordenação Sim III Roy 1978 Ordenação Sim IV Roy e Hugonnard 1982 Ordenação Não IS Roy e Skalka 1985 Seleção Sim TRI Yu Wei 1992 Classificação Sim Auxilio Multicritério à Decisão 14 Fundamentos de Superação ou Sobreclassificação Seja A o conjunto de possíveis decisões alternativas e gia a avaliação de qualquer umas dessas decisões segundo um critério i i123n Aplicando a relação de superação aos elementos do conjunto A podese definir que uma alternativa a supera a alternativa b aSb se a for pelo menos tão boa quanto b Essa relação de superação que não é necessariamente transitiva aparece como uma possível generalização do conceito de dominância Assim o que se procura identificar no contexto de um problema de decisão é se existe ou não uma relação de dominância entre duas alternativas ou seja se o risco de considerar verdadeira a afirmação a alternativa a é pelo menos tão boa quanto a alternativa b é aceitável Auxilio Multicritério à Decisão 15 Fundamentos de Superação ou Sobreclassificação As considerações que conduzem à aceitação da relação aSb pode ser expressas por dois conceitos Concordância ocorre quando um subconjunto significativo dos critérios considera a alternativa a fracamente preferível à b Discordância ocorre quando não há critérios em que a intensidade da preferência da alternativa b em relação à a ultrapasse um limite inaceitável Auxilio Multicritério à Decisão 16 Procedimentos do Método Electre FASE I Tabela de avaliações Matriz de Concordância Matriz de Discordância Umbrais de Comparação FASE II 𝑝 𝑐𝑖𝑗 𝑗 𝑖 𝑛 𝑛 1 𝑞 𝑑𝑖𝑗 𝑗 𝑖 𝑛 𝑛 1 Teste de Dominância 𝑐𝑙𝑘 𝑝 𝑑𝑙𝑘 𝑞 𝑎𝑙𝑗 𝑆𝑙𝑗 𝑏𝑙𝑗 Tabela de Dominâncias Auxilio Multicritério à Decisão 17 Matriz de Concordância Somase somente os pesos dos critérios nos quais a alternativa Altl supera à alternativa Altk quer dizer que 𝑎𝑙𝑗 𝑎𝑘𝑗 Índice de concordância 𝑤𝑗 𝑗 𝑎𝑙 𝑆𝑗 𝑎𝑘 𝑐𝑙𝑘 𝑤𝑗 𝑗 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑟𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐴𝑙𝑡𝑙 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝐴𝑙𝑡𝑘 Auxilio Multicritério à Decisão 18 Matriz de Discordância Índice de discordância 𝑑𝑙𝑘 0 𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑗 𝑎𝑘𝑗 𝑗 max 𝑗 𝑎𝑙𝑗𝑎𝑘𝑗 𝑎𝑘𝑗 𝑎𝑙𝑗 𝛿 𝛿 𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑗 𝑑𝑙𝑘 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎𝑘 𝑎𝑙 𝛿 Auxilio Multicritério à Decisão 19 Umbrais de Preferência e Indiferença 𝑝 𝑐𝑖𝑗 𝑗 𝑖 𝑛 𝑛 1 𝑞 𝑑𝑖𝑗 𝑗 𝑖 𝑛 𝑛 1 p é o umbral de preferência e se define como o valor maior ou igual à média das concordâncias q é o umbral de indiferença e se define como o valor maior ou igual à média das discordâncias Auxilio Multicritério à Decisão 20 Construção da Tabela de Dominância Teste de Dominância A alternativa Altl domina a alternativa Altk se e somente se 𝑐𝑙𝑘 𝑝 e 𝑑𝑙𝑘 𝑞 Auxilio Multicritério à Decisão 21 Construção da Tabela de Dominância Primeiro Se definem duas listas com as dominâncias primeiro uma com as comparações por linha das alternativas de duas em duas e logo outra com as comparações por coluna se cumpremse os testes de dominância Segundo Se determina a lista de preferências das alternativas ordenandoas segundo o maior número de dominâncias por linha e o menor número de dominâncias por coluna Assim em primeiro lugar fica aquela que domina as demais e nenhuma a domina Exemplo 1 Selecionar a melhor opção de ampliação em um parque recreativo com novas instalações Auxilio Multicritério à Decisão 23 Avaliações Lucro Empregos Resíduos Turismo C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 4 10 Alt2 10 5 3 8 Alt3 22 12 9 14 Alt4 31 10 4 18 Alt5 8 9 10 9 Pesos 7 3 5 6 Critérios Lucro Beneficio esperado aumento percentual Empregos Número de novos postos de trabalho Resíduos Impacto ambiental percentagem esperado na geração de resíduos Turismo Aumento percentual no número de visitantes em relação a atual Auxilio Multicritério à Decisão 24 Avaliações Lucro Empregos Resíduos Turismo C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 4 10 Alt2 10 5 3 8 Alt3 22 12 9 14 Alt4 31 10 4 18 Alt5 8 9 10 9 Pesos 7 3 5 6 Notese que o critério C1 Lucro é considerado o mais importante já que tem um maior peso Além disso o critério resíduo tem que ser minimizado ao contrário dos demais que têm que ser maximizados Auxilio Multicritério à Decisão 25 Normalizando os pesos e determinando os valores de Lucro Empregos Resíduos Turismo C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 4 10 Alt2 10 5 3 8 Alt3 22 12 9 14 Alt4 31 10 4 18 Alt5 8 9 10 9 W 7 3 5 6 Lucro Empregos Resíduos Turismo C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 6 10 Alt2 10 5 7 8 Alt3 22 12 1 14 Alt4 31 10 6 18 Alt5 8 9 0 9 W norm 03333 014286 02381 02857 23 7 7 10 𝑤1 7 7 3 5 6 03333 𝛿1 31 8 23 𝛿2 12 5 7 𝑤2 3 7 3 5 6 014286 Auxilio Multicritério à Decisão 26 Cálculo dos Índices de Concordância C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 6 10 Alt2 10 5 7 8 Alt3 22 12 1 14 Alt4 31 10 6 18 Alt5 8 9 0 9 W norm 03333 014286 02381 02857 23 7 7 10 𝑐𝑙𝑘 𝑤𝑗 𝑗 𝑎𝑙 𝑆𝑗 𝑎𝑘 Por exemplo c21 03333se 10S15 01428se 5S9 02381se 0S6 02857se 8S10 0 0 02381 0 02381 Auxilio Multicritério à Decisão 27 Cálculo dos Índices de Discordância C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 6 10 Alt2 10 5 7 8 Alt3 22 12 1 14 Alt4 31 10 6 18 Alt5 8 9 0 9 W norm 03333 014286 02381 02857 23 7 7 10 Por exemplo 𝑑12 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐴2𝑗 𝐴1𝑗 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 5 23 4 7 1 7 1 10 01428 A discordância 𝑑12 obtémse com a máxima diferença elemento a elemento das avaliações da linha 𝐴𝑙𝑡2 menos as avaliações da linha 𝐴𝑙𝑡1 e dividindo entre delta Auxilio Multicritério à Decisão 28 Matriz de Concordância Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt5 Alt1 07619 02381 02381 1 Alt2 02381 02381 02381 05714 Alt3 07619 07619 01428 1 Alt4 1 07619 08571 1 Alt5 01428 04286 0 0 Matriz de Discordância Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt5 Alt1 01428 04286 08 0 Alt2 05714 1 1 05714 Alt3 07143 08571 07143 0 Alt4 0 01428 02857 0 Alt5 08571 1 06087 1 obtémse 𝑝 0519 então 𝑝 05714 obtémse 𝑞 05347 então 𝑞 0 4286 Auxilio Multicritério à Decisão 29 Teste de Dominância A alternativa 𝐴𝑙 domina à alternativa 𝐴𝑘 se e somente se 𝑐𝑙𝑘 𝑝 e 𝑑𝑙𝑘 𝑞 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt5 Alt1 1 0 0 1 Alt2 0 0 0 0 Alt3 0 0 0 1 Alt4 1 1 1 1 Alt5 0 0 0 0 Matriz de Superação Auxilio Multicritério à Decisão 30 Tabela de Dominâncias Dominâncias por linha L Dominâncias por coluna K Diferença LK Preferência Alt1 A2 A5 A4 1 2 Alt2 0 A1 A4 2 4 Alt3 A5 A4 0 3 Alt4 A1 A2 A3 A5 0 4 1 Alt5 0 A1 A3 A4 3 5 Obtémse que a alternativa 𝐴4 é a melhor alternativa Exemplo 2 Adquirir um carro considerando quatro possíveis alternativas Auxilio Multicritério à Decisão 32 Avaliações Preço Conforto Consumo C1 C2 C3 Alt1 1800000 5 8 Alt2 2050000 6 5 Alt3 2470000 6 4 Alt4 2280000 8 7 Pesos 5 2 3 Esta tabela indica a avaliação de cada alternativa em relação a cada critério Importa ressaltar que o preceito adotado será o de maximizar ou minimizar um critério de acordo com as preferências dos agentes de decisão Auxilio Multicritério à Decisão 33 Normalizando os Pesos Preço Conforto Consumo Alt1 1800000 5 8 Alt2 2050000 6 5 Alt3 2470000 6 4 Alt4 2280000 8 7 Pesos 5 2 3 Preço Conforto Consumo Alt1 0209 020 0333 Alt2 0238 024 0208 Alt3 0287 024 0167 Alt4 0265 032 0292 Pesos 05 02 03 Em primeiro lugar vamos normalizar todos os valores da Tabela e os pesos dos critérios Como método de normalização utilizaremos o quociente entre o elemento a ser normalizado e a soma total É importante citar que o critério Preço é de minimização enquanto os outros dois são de maximização Auxilio Multicritério à Decisão 34 Cálculo dos Índices de Concordância 𝑐𝑙𝑘 𝑤𝑗 𝑗 𝑎𝑙 𝑆𝑗 𝑎𝑘 Por exemplo 𝑐12 05 0 03 08 Preço Conforto Consumo Alt1 0209 020 0333 Alt2 0238 024 0208 Alt3 0287 024 0167 Alt4 0265 032 0292 Pesos 05 02 03 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 08 08 08 Alt2 02 1 05 Alt3 02 02 0 Alt4 02 05 1 Auxilio Multicritério à Decisão 35 Cálculo dos Índices de Discordância Por exemplo 𝑑12 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐴2𝑗 𝐴1𝑗 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 1 0166 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 0029 004 0125 1 0166 004 0241 Preço Conforto Consumo Alt1 0209 020 0333 Alt2 0238 024 0208 Alt3 0287 024 0167 Alt4 0265 032 0292 Pesos 05 02 03 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 max 0078 012 0166 𝑑24 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐴4𝑗 𝐴2𝑗 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 1 0166 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 0027 008 0084 1 0166 0084 0506 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 0241 0241 0723 Alt2 0753 0 0506 Alt3 1 0295 0753 Alt4 0337 0163 0 Auxilio Multicritério à Decisão 36 Matriz de Concordância Matriz de Discordância obtémse 𝑝 0516 então 𝑝 06 obtémse 𝑞 0417 então 𝑞 0 4 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 08 08 08 Alt2 02 1 05 Alt3 02 02 0 Alt4 02 05 1 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 0241 0241 0723 Alt2 0753 0 0506 Alt3 1 0295 0753 Alt4 0337 0163 0 Auxilio Multicritério à Decisão 37 Matriz de Concordância Matriz de Discordância Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 08 08 08 Alt2 02 1 05 Alt3 02 02 0 Alt4 02 05 1 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 0241 0241 0723 Alt2 0753 0 0506 Alt3 1 0295 0753 Alt4 0337 0163 0 A alternativa 𝐴𝑙 domina à alternativa 𝐴𝑘 se e somente se 𝑐𝑙𝑘 𝑝 e 𝑑𝑙𝑘 𝑞 Dominâncias por linha L Dominâncias por coluna K Alt1 A2 A3 A4 A4 Alt2 A3 A1 A3 A4 Alt3 0 A1 A2 A4 Alt4 A3 0 𝑝 06 𝑞 0 4 Teste de Dominância Auxilio Multicritério à Decisão 38 Tabela de Dominâncias Dominâncias por linha L Dominâncias por coluna K Diferença LK Preferência Alt1 A2 A3 A4 A4 2 1 Alt2 A3 A1 A3 A4 2 3 Alt3 0 A1 A2 A4 3 4 Alt4 A3 0 1 2 Obtémse que a alternativa 𝐴1 é a melhor alternativa Auxilio Multicritério à Decisão 39 Matriz de Concordância Matriz de Discordância Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 08 08 08 Alt2 02 1 05 Alt3 02 02 0 Alt4 02 05 1 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 0241 0241 0723 Alt2 0753 0 0506 Alt3 1 0295 0753 Alt4 0337 0163 0 A alternativa 𝐴𝑙 supera à alternativa 𝐴𝑘 se e somente se 𝑐𝑙𝑘 𝑝 e 𝑑𝑙𝑘 𝑞 𝑝 06 𝑞 0 4 Matriz S Matriz de Superação Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 1 1 0 Alt2 0 1 0 Alt3 0 0 0 Alt4 0 0 1 S 1 2 3 4