Metodos de Apoio Multicriterio a Decisao AMD - Slides Power Point

Universidade do Estado de Santa CatarinaUDESC Centro de Ciências Tecnológicas CCT Engenharia de Produção e Sistemas Pesquisa Operacional IIPOP2001 Prof Dr Adalberto J Tavares Vieira Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Técnicas para Graduação e Ponderação de Nível de serviço Serão apresentadas duas técnicas Análise Multicriterial AHP Análise Conjunta Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Tomada de decisão em logística Análise hierárquica do processo Thomas A Saaty 1980 Objetivo Principal Critério 1 Critério 2 Subcritério 11 Subcritério 12 Subcritério 13 Subcritério 21 Subcritério 22 Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Objetivo Principal Critério 1 Critério 2 Subcritério 11 Subcritério 12 Subcritério 13 Subcritério 21 Subcritério 22 Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD 1 Introdução Definição de Decisão o Processo de colher informações atribuir importância a elas buscar possíveis alternativas de solução e fazer a escolha entre tais alternativas o Parâmetros qualitativos x quantitativos Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD 1 Introdução o Qual o propósito de uma Decisão Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD 1 Introdução o Decisor Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Auxiliam na avaliação de um conjunto de alternativas com relação a um dado conjunto de critérios O objetivo não é apresentar ao decisor uma solução ótima para o problema e sim auxiliálo levando em conta a preferência do decisor Podem ser usados em decisões individuais ou em decisões em grupo 2 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD 2 Apoio Multicritério à Decisão AMD Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD PROBLEMA DE DECISÃO MCDM MULTICRITÉRIO MONOCRITÉRIO NÚMERO FINITO DE ALTERNATIVAS MADM MULTIATRIBUTO DISCRETO MODM MULTIOBJETIVO CONTÍNUO PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODOS ORDINAIS WEIGHTING METHODS MULTIATTRIBUTE UTILITY BASED METHODS OUTRANKING METHODS OUTROS Borda Condorcet WSM sum WPM Product AHP ANP MACBETH ELECTRE PROMETHEE TOPSIS Alternative electre Copeland QUALIFLEX REGIME ORESTE ARGUS EVAMIX TACTIC MELCHIOR UTA MAUT CHOICE RANKING AND SORTING IN FUZZY MULTIPLE CRITERIA DECISION AID The TOMASO Method DECISION RULE APPROACH SIM NÃO 3 Problemática de decisão Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD 3 Problemática de decisão Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD 3 Problemática de decisão Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD 4 Analytic Hierarchy Process AHP Sendo um dos primeiros métodos desenvolvidos no ambiente das Decisões Multicritério Discretas o AHP divide o problema em níveis hierárquicos facilitando sua compreensão e avaliação e determina de forma clara e por meio da síntese dos valores dos decisores uma medida global para cada uma das alternativas priorizandoas ou classificandoas ao finalizar o método Gomes 2004 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Etapas AHP Entendimento do Problema de Decisão Hierarquização do Problema de Decisão Coleta dos julgamentos par a par dos especialistas Construção das matrizes de decisão Obtenção dos autovalores e autovetores das matrizes de decisão Razão de Consistência RC da matriz de decisão Processo de Agregação dos Vetores de Prioridade Julgamentos Consistentes Revisão dos julgamentos Sim Não Todos os Níveis Comparados Sim Comparar outros elementos à luz do nível superior Não Estruturação de Problema Oliveira e Belderrain 2008 Axiomas do AHP Axioma 1 Comparações recíprocas os elementos comparados 2 a 2 pelo decisor devem satisfazer a condição de reciprocidade se A é três vezes mais preferido que B B será 13 vezes mais preferido que A Axioma 2 Homogeneidade os elementos de um mesmo nível hierárquico devem possuir o mesmo grau de importância dentro do seu nível Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Axiomas do AHP Axioma 3 Independência os elementos de um nível da hierarquia devem ser mutuamente excludentes entre si e quando comparados par a par pelos decisores os pesos dos critérios devem ser independentes das alternativas Axioma 4 Suposição Exaustividade assumese que a hierarquia do problema de decisão está completa ou seja contém todos os critérios e alternativas relativos ao problema Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Estruturação do Problema Objetivo Principal Critério 1 Critério 2 Subcritério 11 Subcritério 12 Subcritério 13 Subcritério 21 Subcritério 22 Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Objetivo Principal Critério 1 Critério 2 Subcritério 11 Subcritério 12 Subcritério 13 Subcritério 21 Subcritério 22 Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 O problema de decisão é dividido em níveis hierárquicos com a finalidade de facilitar a compreensão e avaliação Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Exemplo de Estruturação de Problema Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Coleta dos Julgamentos Intensidade Definição Explicação 1 Igual importância As duas atividades contribuem igualmente para o objetivo 3 Importância pequena de uma sobre outra A experiência e o juízo favorecem uma atividade em relação à outra 5 Importância grande ou essencial A experiência ou juízo favorece fortemente uma atividade em relação à outra 7 Importância muito grande ou demonstrada Uma atividade é muito fortemente favorecida em relação à outra Pode ser demonstrada na prática 9 Importância absoluta A evidência favorece uma atividade em relação à outra com o mais alto grau de segurança 2468 Valores Intermediários Quando se procura uma condição de compromisso entre duas definições Escala Fundamental de Saaty Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Razão de Consistência A Razão de Consistência RC RCICRI Se RC for menor que o valor descrito abaixo então os julgamentos da matriz de decisão são considerados consistentes Caso contrário existe alguma inconsistência nos julgamentos e o especialista pode ser solicitado para rever a sua opinião 010 4 0 09 4 0 05 3 0 2 RC n RC n RC n RC n considera aceitáveis Saaty Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Exercício Modelo Escolha de automóvel Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Resolução Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Resolução Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Resolução Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise de sensibilidade O objetivo da análise de sensibilidade em problemas de decisão multicritério é observar o comportamento do ranking das alternativas decorrente da modificação dos dados de entrada Os estudos sobre análise de sensibilidade do AHP iniciaramse com Masuda em 1990 O autor abordou os efeitos que alterações nas colunas das matrizes de decisão causavam no ranking das alternativas e criou um coeficiente de sensibilidade para o vetor de prioridades final das alternativas para cada vetor coluna da matriz de decisão TRIANTAPHYLLOU et al 1998 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise de sensibilidade O software SuperDecisions e Expert Choice realizam análise de sensibilidade O facilitador pode alterar graficamente as prioridades dos critérios e verificar o que ocorre com o ranking das alternativas Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise de sensibilidade Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise de sensibilidade Preço A B 034 0065 Prioridade original 0088 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise de sensibilidade Preço Lembrando que a solução do problema forneceu o seguinte ranking de alternativas Betacar Alfacar Gamacar O eixo das abscissas da figura referese aos valores das prioridades do critério Preço Na solução final o critério Preço teve uma prioridade de 0088 ou 88 Para um valor inferior da prioridade deste critério 88 há modificações significativas no ranking das alternativas a partir do valor 65 ou seja o ranking de alternativas fica alterado para Betacar Gamacar Alfacar Para um valor de prioridade do Preço superior a 340 a alternativa Alfacar passa a liderar o ranking isto é Alfacar Betacar Gamacar Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise de sensibilidade KmL B A C Prioridade original 0669 0354 0083 0628 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise de sensibilidade Conforto A B Prioridade original 0243 0263 0489 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Bibliografia Costa Helder Gomes Introdução ao Método de Análise Hierárquica Análise Multicritério no Auxílio a Decisão RJ 2002 GOMES L F A M ARAYA M C G CARIGNANO C Tomada de decisão em cenários complexos introdução aos método discretos de apoio multicriterio à decisão São Paulo Pioneira Thompson Learning 2004 Saaty T L2005 Theory and Applications of the Analytic Network Process Decision Making with Benefits Opportunities Costs and Risks RWS Publications Pittsburg Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Exercício Estruture uma árvore hierárquica de decisão e use a técnica de AHP para graduar a importância do nível de serviço num terminal de passageiros usando 4 componentes aeroportuários e seus subcritérios Check in Saguão Verificação de segurança Sala de embarque Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise Conjunta Análise dos atributos determinantes da qualidade dos serviços em terminais Como as dimensões da qualidade afetam a percepção de utilidade e a satisfação do cliente do terminal Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise Conjunta A Análise Conjunta Tradicional com modelo aditivo Procura determinar a importância relativa que os consumidores dão a atributos relevantes e a utilidade que eles associam aos níveis de atributo Hair et al 2005 O modelo básico de análise conjunta pode ser representado pela fórmula seguinte n i k J ij ij i x X U 1 1 UX utilidade global de uma alternativa ij contribuição de valor parcial ou utilidade associada ao jésimo nível j j 12ki do iésimo atributo i i12n ki número de níveis do atributo i n número de atributos xij 1 se o jésimo nível do iésimo atributo está presente xij 0 em caso contrário Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise Conjunta A formulação matemática utilizada foi a de regressão múltipla As avaliações dos estímulos realizadas pelos entrevistados são submetidas ao modelo de regressão que procura ajustar os coeficientes do modelo linear aditivo de maneira a minimizar o erro da previsão realizada pelo algoritmo Esperase que a ordenação captada na amostra se aproxime o mais possível da ordenação preditiva gerada pela aplicação do algoritmo Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Função objetivo Minimizar o erro quadrático médio MSE Min MSE N i i i y y N 1 ˆ 2 1 Sujeito às seguintes restrições j k jkxijk y y ˆ t j r k jk 1 0 1 Onde jk é o peso a ser calculado do atributo j j1t na categoria k k1r y utilidade do estimulo N número de estímulos t número máximo de atributos r número máximo de níveis do atributo j iyˆ é uma estimativa de y i y é o valor médio de y xijk 1 se o estímulo i possui o atributo j no nível k xijk 0 se caso contrário Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD ANÁLISE DE ATRIBUTOS DE NÍVEIS DE SERVIÇO ASSOCIADOS À IMPLANTAÇÃO DE SISTEMA DE CONEXÕES INTEGRADAS NO TRANSPORTE PÚBLICO Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Introdução Visualizar expectativas e percepções dos clientes quanto ao nível de serviço Verificar quais os principais atributos determinantes da qualidade dos serviços oferecidos e Análise da importância relativa dos atributos intervenientes na determinação do nível de serviço oferecido 3 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Metodologia Revisão Literária Descrição do Sistema Integrado Análise Conjunta e Análise dos Resultados 5 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Revisão Literária Classificação das Redes do Transporte Público Urbano Rede Radial Ferraz Torres 2004 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Revisão Literária Classificação das Redes do Transporte Público Urbano Rede Radial com Linhas Troncoalimentadas Ferraz Torres 2004 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Revisão Literária Classificação das Redes do Transporte Público Urbano Rede Radial com Linhas Troncoalimentadas Ferraz Torres 2004 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Revisão Literária Conceito de qualidade no serviço Analisar O grau em que o serviço de transporte está disponível em determinados locais e O conforto e a comodidade do serviço prestado aos passageiros Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Desenvolvimento ECO Estações de Conexão Estações de Conexão são estações para transbordo de passageiros que devem ser implantadas na cidade prevendose a instalação de ECOs em toda a cidade incluindo o Terminal Central Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD ECO 4 ECO 9 ECO 5 ECO 7 ECO 6 ECO 8 ECO 10 ECO 11 ECO 1 ECO 2 ECO 12 ECO 14 Análise da Importância Relativa de Atributos do Nível de Serviço Percebido por Usuários de Transporte Público Urbano Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise Conjunta A Análise Conjunta Tradicional com modelo aditivo Procura determinar a importância relativa que os consumidores dão a atributos relevantes e a utilidade que eles associam aos níveis de atributo O modelo básico de análise conjunta pode ser representado pela fórmula seguinte n i k J ij ij i x X U 1 1 UX utilidade global de uma alternativa ij contribuição de valor parcial ou utilidade associada ao jésimo nível j j 12ki do iésimo atributo i i12n ki número de níveis do atributo i n número de atributos xij 1 se o jésimo nível do iésimo atributo está presente xij 0 em caso contrário Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD O modelo de aplicação da Técnica Brainstorming Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Descrição dos atributos para avaliação do nível de serviço Critérios e Subcritérios Descrição Tempo total de viagem Representa o tempo total gasto pelo usuário com a viagem Número de conexões Representa o número de conexões necessárias para que o usuário complete sua viagem Lotação do veículo A lotação do veículo expressa a possibilidade do usuário em conseguir viajar sentado e com maior conforto Valor gasto na viagem Representa o valor total em Reais gasto pelo usuário para completar sua viagem Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Níveis de atributos Tempo Total de Viagem 15 30 ou 45 minutos Número de Conexões 0 1 ou 2 conexões Lotação do Veículo em pé ou sentado e Valor Gasto na Viagem R 250 ou R 390 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD ID de Tarjeta Tempo Total de Viagem Número de Conexões Lotação do Veículo Valor Gasto na Viagem 1 45 minutos Uma conexão Viagem sentado R 250 ID de Tarjeta Tempo Total de Viagem Número de Conexões Lotação do Veículo Valor Gasto na Viagem 2 45 minutos Duas conexões Viagem sentado R 390 ID de Tarjeta Tempo Total de Viagem Número de Conexões Lotação do Veículo Valor Gasto na Viagem 3 30 minutos Nenhuma conexão Viagem sentado R 390 ID de Tarjeta Tempo Total de Viagem Número de Conexões Lotação do Veículo Valor Gasto na Viagem 4 30 minutos Duas conexões Viagem em pé R 250 ID de Tarjeta Tempo Total de Viagem Número de Conexões Lotação do Veículo Valor Gasto na Viagem 5 30 minutos Uma conexão Viagem sentado R 250 ID de Tarjeta Tempo Total de Viagem Número de Conexões Lotação do Veículo Valor Gasto na Viagem 6 15 minutos Duas conexões Viagem sentado R 250 ID de Tarjeta Tempo Total de Viagem Número de Conexões Lotação do Veículo Valor Gasto na Viagem 7 15 minutos Nenhuma conexão Viagem sentado R 250 ID de Tarjeta Tempo Total de Viagem Número de Conexões Lotação do Veículo Valor Gasto na Viagem 8 45 minutos Nenhuma conexão Viagem em pé R 250 ID de Tarjeta Tempo Total de Viagem Número de Conexões Lotação do Veículo Valor Gasto na Viagem 9 15 minutos Uma conexão Viagem em pé R 390 Análise da Importância Relativa de Atributos do Nível de Serviço Percebido por Usuários de Transporte Público Urbano Quantidade de Entrevistas por Local Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise da Importância Relativa de Atributos do Nível de Serviço Percebido por Usuários de Transporte Público Urbano Gênero dos Entrevistados Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise da Importância Relativa de Atributos do Nível de Serviço Percebido por Usuários de Transporte Público Urbano Faixa Etária dos Entrevistados Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise da Importância Relativa de Atributos do Nível de Serviço Percebido por Usuários de Transporte Público Urbano Grau de Utilização dos Usuários Entrevistados Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise Conjunta A formulação matemática utilizada foi a de regressão múltipla As avaliações dos estímulos realizadas pelos entrevistados são submetidas ao modelo de regressão que procura ajustar os coeficientes do modelo linear aditivo de maneira a minimizar o erro da previsão realizada pelo algoritmo Esperase que a ordenação captada na amostra se aproxime o mais possível da ordenação preditiva gerada pela aplicação do algoritmo Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Função objetivo Minimizar o erro quadrático médio MSE Min MSE N i i i y y N 1 ˆ 2 1 Sujeito às seguintes restrições j k jkxijk y y ˆ t j r k jk 1 0 1 Onde jk é o peso a ser calculado do atributo j j1t na categoria k k1r y utilidade do estimulo N número de estímulos t número máximo de atributos r número máximo de níveis do atributo j iyˆ é uma estimativa de y i y é o valor médio de y xijk 1 se o estímulo i possui o atributo j no nível k xijk 0 se caso contrário Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise da Importância Relativa de Atributos do Nível de Serviço Percebido por Usuários de Transporte Público Urbano Importância Relativa dos Atributos Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise da Importância Relativa de Atributos do Nível de Serviço Percebido por Usuários de Transporte Público Urbano Análise da Tempo Total de Viagem Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise da Importância Relativa de Atributos do Nível de Serviço Percebido por Usuários de Transporte Público Urbano Análise do Número de Conexões Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise da Importância Relativa de Atributos do Nível de Serviço Percebido por Usuários de Transporte Público Urbano Análise do Valor da Tarifa Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise da Importância Relativa de Atributos do Nível de Serviço Percebido por Usuários de Transporte Público Urbano Análise do Conforto da Viagem Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise da Importância Relativa de Atributos do Nível de Serviço Percebido por Usuários de Transporte Público Urbano Exemplo de Cenários Simulados 1 0 15 Sentado R 250 257 2 0 45 Sentado R 250 316 3 0 30 Em pé R 250 358 4 0 45 Sentado R 390 410 5 1 30 Sentado R 250 461 6 1 15 Em pé R 250 486 7 2 30 Sentado R 250 522 8 2 30 Sentado R 390 616 9 2 15 Em pé R 390 641 10 2 45 Em pé R 390 700 Valor gasto na viagem Utilidade Simulada Tempo Total de Viagem Número de Conexões Cenário Lotação do veículo Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Conclusões O número de conexões é o atributo de nível de serviço mais importante seguido pelo custo tempo de viagem e lotação do veículo Adicionar conexões ao processo de transporte pode reduzir o nível de serviço percebido pelos usuários Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Conclusões O efeito negativo gerado pela conexão dificilmente é compensada pela conjunção dos outros fatores O usuário entrevistado age de acordo com o senso comum Porém destacase a grande importância atribuída à viagens que não tenham conexões Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Conclusões Há possibilidade de elevação da insatisfação do usuário no momento da implantação do sistema integrado em função do aumento do número de conexões Havendo uma percepção futura das melhorias esperadas podem levar o usuário a perceber um aumento global de utilidade do sistema de transporte público A fim de impedir que haja fuga para serviços alternativos de transporte devese incentivar que os serviços oferecidos sejam mais ágeis confortáveis e baratos Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Exercício Visualizar a aplicação da análise conjunta ao terminal de passageiros do Aeroporto de Brasília Sugestão Para simplificar usar 4 atributos dois com três níveis e dois com dois níveis Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Produtividade de sistemas logísticos Veremos neste módulo Função de Produção para sistemas logísticos Análise de um Output Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Produtividade Produtividade É a relação entre o que foi produzido e os insumos utilizados para tal num dado intervalo de tempo Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Função de produção É a representação matemática da transformação de insumos fatores de produção em produtos Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Insumos Fatores de produção Os insumos que o sistema utiliza são os fatores de produção Ex ferrovia utiliza vagões locomotivas trilhos energia pessoal para gerar transporte de passageiros ou de carga Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Sistema de produção X insumos Produtividade parcial produtividade calculada a partir de apenas um insumo Produtividade total dos fatores considera simultaneamente todos os insumos O problema é definir os pesos adequados para os diferentes insumos Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Índice de produtividade Existem Índices parciais Índices totais Comparar as diversas unidades que formam o sistema Comparar com unidades externas de desempenho semelhante Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Exemplo operadores logísticos Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Exemplo operadores logísticos Da figura anterior Existe economia de escala o indice cresce com tamanho da empresa Dificuldade em se analisar a produtividade com base nesse tipo de índice ex Dalara faturamento maior com transportes e não armazenamento Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Exemplo operadores logísticos índices parciais São importantes mas apresenta o inconveniente de representar aspectos isolados do comportamento do sistema de produção Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Produtividade Parcial x Total Análise da produtividade total Atende melhor as necessidades do analista uma metodologia usada para se conseguir tal análise integrada é a da função de produção Esta função pode ser ajustada por meio de regressão múltipla Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Função de produção É a representação matemática da transformação de insumos fatores de produção em produtos Limitação só permitem considerar uma única variável como output saída do sistema mede o desempenho médio do setor Mas o que se procuraria medir é a fronteira de máxima produtividade Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Estrutura genérica de uma função de produção Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Função de produção e a fronteira de máxima produtividade Qual a empresa mais produtiva A B ou P Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Dificuldade Ajuste por técnicas de regressão linear não garante que a função ajustada represente a fronteira de máxima eficiência Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Ajustando uma função de produção a um conjunto de dados Devese Selecionar as variáveis Escolher o tipo de função matemática para representar o processo linear multiplicativa CobbDouglas exponencial mista etc Por tanto este será um modelo paramétrico onde se faz necessário escolher um tipo de função matemática à priori Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Verificar se há ganhos de escala Se aumentar todas as variáveis independentes simultaneamente em 5 O output aumentar menos de 5 Ganho de escala negativo empresas já estão passando do limite máximo de produção capacidade excedida tecnologia ultrapassada operações congestionadas O output aumentar mais de 5 Ganho positivo de escala O output igualar 5 Fator de escala é constante Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Porém Mesmo com tal limitação é muito comum ajustar uma função de produção utilizando técnicas de regressão linear Uma vez ajustada a função de produção estabelece uma relação direta entre os fatores de produção e o output permitindo analisar a produtividade das empresas do setor Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Assimcomo resultado podemos ter Caso de terminais marítimos Berço de atracação X1 Comprimento cais X2 Área de patio X3 Área de armazem X4 Calado máximo X5 movimentação em ton Y Aratu BA 6 818 68400 475000 12 28128926 Itaguaí RJ 6 1670 200000 177000 15 75393271 Paranagua 16 2943 91250 65560 13 31985631 Santos SP 128 13446 974353 499701 14 76297193 Rio de Janeiro RJ 40 7623 443227 158467 12 16568375 Vitoria Es 16 2072 30900 8000 11 7932033 São Franscisco do Sul RS 4 750 84000 45220 10 17118188 Itaqui 7 1616 167000 10500 22 93833729 45973551 6449143 5 4 3 432900 1 11992 2 145 3 5 4 3 2 1 X X X X X X X X X X F Berço de atracação X1 Comprimento cais X2 Área de patio X3 Área de armazem X4 Calado máximo X5 movimentação em ton Y 6 818 68400 475000 12 32713330 Aplicando os dados do porto de Aratu à função de produção Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD SC Funções empíricas Técnica de regressão utilizando o Software Excel Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Regressão linear A equação para a linha é y mx b ou y m1x1 m2x2 b onde o valor y dependente é uma função dos valores x independentes Os valores m são coeficientes que correspondem a cada valor x e b é um valor constante Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise de regressão Suponha que um empresário esteja pensando em comprar um grupo de prédios de salas comerciais em um bairro comercial O empresário pode usar a análise de regressão linear múltipla para fazer uma estimativa do valor de um prédio em uma determinada área de acordo com as variáveis a seguir Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Análise de regressão A B C D E Espaço do andar x1 Escritórios x2 Entradas x3 Idade x4 Valor avaliado y 2310 2 2 20 142000 2333 2 2 12 144000 2356 3 15 33 151000 2379 3 2 43 150000 2402 2 3 53 139000 2425 4 2 23 169000 2448 2 15 99 126000 2471 2 2 34 142900 2494 3 3 23 163000 2517 4 4 55 169000 2540 2 3 22 149000 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Selecionar 5 linhas sob a tabela Inserir a função projlin selecionar os dados e Não apertar OK Pressionar as teclasCTRLSHIFTENTER PROJLIN Sintaxe PROJLINvalconhecidosyvalconhecidosxconstanteestatística Valconhecidospara x e y são os conjuntos de valores x e y que já se conhece na relação y mx b Se constante for VERDADEIRO ou omitido b será calculado normalmente Se constante for FALSO b será definido como 0 e os valores m serão ajustados para que y mx Estatística é o valor lógico que especifica se estatísticas de regressão adicionais serão retornadas Se estatística for VERDADEIRO PROJLIN retornará as estatísticas de regressão adicionais de forma que a matriz retornada seja mnmn 1m1bsensen1se1sebr2seyFdfssregssresid Se estatística for FALSO ou omitida PROJLIN retornará apenas os coeficientes m e a constante b Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Estimadores de qualidade do modelo R2 coeficiente de determinação o que indica uma forte relação entre as variáveis independentes e o preço de venda Quanto mais próximo de 1 melhor Acima de 06 já é válido o bom seria ser maior que 08 o que indica uma forte relação entre as variáveis independentes e o output preço de venda Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Estimadores de qualidade do modelo F de Snedecor Suponha que na verdade não há relação entre as variáveis mas que você selecionou uma amostra rara que fará com que a análise estatística demonstre uma forte relação Alfa é a probabilidade usada para indicar a probabilidade de se concluir de forma incorreta a existência de uma relação Há uma relação entre as variáveis caso a estatística de F observada seja maior que o valor F crítico O valor F crítico pode ser obtido através de uma tabela de valores F críticos em muitos livros de estatística Valores de F maiores que 40 garante a validade da correlação Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Estimadores de qualidade do parâmetro T studente Testa a hipótese de que o parâmetro m1m2 estimado é significativo O módulo de valores maiores que 2 são suficientes para garantir que o parâmetro tem efeito sobre o modelo É calculado dividindo o coeficiente pelo erro estimado Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Estimadores de qualidade do parâmetro Atenção ao sinal do parâmetro Usar a lógica e o bom senso Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Resultados da regressão m4 m3 m2 m1 b Coeficiente 2342371645 255321066 12529768 2764139 5231783051 Erro Padrão 1326801148 530669152 40006684 5429374 122373616 r2 0996747993 970578463 ND ND ND f 4597536742 6 ND ND ND 1732393319 565213532 ND ND ND T Studente 176542781 481130409 31319187 5091082 4275254112 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Resultados da regressão Espaço do andar x1 Escritórios x2 Entradas x3 Idade x4 Valor avaliado y 2500 3 2 25 R 158261 Agora o empresário poderá fazer uma estimativa do valor de um prédio na mesma área com aproximadamente 2500 pés quadrados 3 salas comerciais e 3 entradas e que tem 25 anos de idade usando o resultado da regressão dado pela seguinte equação y 27642500 125303 25532 2342425 52318 158261 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD DEA Análise de envoltória de dados Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Produtividade Produtividade É a relação entre o que foi produzido e os insumos utilizados para tal num dado intervalo de tempo Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Insumos Fatores de produção Os insumos que o sistema utiliza são os fatores de produção Ex um terminal de conteiner utiliza guindastes empilhadeiras berços área de pátio metros de cais para gerar movimentação de carga número de contêineres movidos por hora Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Quando temos mais de um output Se queremos analisar um sistema com múltiplos inputs e múltiplos outputs Procurase reunir todos os índices numa medida única de produtividade Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Output agregado Y u1y1 u2y2 u3y3 usys Onde y1y2ys são os outputs respostas E U1 u2 us são os pesos de cada output Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Os insumos inputs De forma análoga para os insumos temos X v1x1 v2x2 vmxm Onde x1x1xm são os inputs insumos E v1 v2 vm são os pesos de cada input Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Produtividade Como sabemos Produtividade output input vmym v x x v usys u y y u X Y P 2 2 1 1 2 2 1 1 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Eficiência A eficiência é medida comparandose a as produtividades de cada empresa com a máxima produtividade observada P Pe e Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Atribuindo o valor unitário à eficiência máxima P 1 2 2 1 1 2 2 1 1 vmym v x x v usys u y y u e O problema então é como escolher convenientemente os pesos us e vm Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD A DEA tem uma solução Analise envoltória de dados proposta por Charnes Cooper e Rhodes1978 Cada participante empresa Denominada de DMU Cada empresa buscará otimizar sua eficiência para isso escolhendo convenientemente os pesos dos insumos e os pesos dos outputs da relação Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Como funciona A DEA resolve esse problema através de um modelo de programação linear Havendo N empresas no conjunto analisado a DEA resolve N problemas separados de programação linear Onde cada problema referese ao enfoque segundo um participante Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Como funciona ex Cavaleiros do Rei Artur uso de recursos x finalidade O Rei propõe uma contenda para saber quem é o melhor Sir Galahad contemplativo poesia música xadrez Sir Blamor truculento porrete massa mãos Sir Kay um bravo cavaleiro espada lança faca Sir Lancelot um apaixonado distraído repete Sr Kay A contenda envolve Tecnologia ambiente e competências Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Como funciona Todos vão lutar contra todos com todas as armas que foram escolhidas Resultados Sir Galahan ganha nas que escolheu mas perdeu todas as outras é um eficiente isolado suas armas nada tem a var com os valores do grupo Sir Blamour ganha nas que escolheu mas perdeu todas as outras Sir Kay ganha com todas que escolheu e a maioria das contendas noutras é um lutador eficiente Sir Lancelot ganhou na espada mas perdeu no resto é um ineficiente Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Eficiente isolada Sir Galahan Casos uso de recursos x finalidade ex cavaleiros do Rei Artur Sir Galahan contemplativo Sir Blamor truculento Sir Kay um bravo cavaleiro Sir Lancelot um apaixonado Tecnologia ambiente e competências Extremidade da escala falta de outras unidades para comparar podem ser outliers Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Como funciona Assim o software vai testar em cada empresa uma combinação de pesos que tente levála à eficiência máxima 1 Se a empresa achar uma combinação de pesos que aplicadas ás demais participantes sempre levem a resultados piores que ela ela é eficiente Se ela for eficiente somente com seu pesos e perder nas demais combinações eficiente isolada Se mesmo com os pesos dos desafiantes ela os consegue vencer em suas as armas é eficiente e referencia para as demais Benchmarking Se ela perda das demais mesmo com suas próprias armas é uma ineficiente Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD DEA Regra pratica Numero de DMU inputsoutput 3 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Eficiência virtual Três estratégias básicas 1 Maximizar outputs mantendo os input como estão 2 Minimizar o consumo dos insumos mantendo os outputs 3 Variação Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Orientação Orientada a input o quanto precisa diminuir o consumo dos insumos Orientada a output o quanto precisa aumentar a saída de produtos Não orientada quanto precisa melhorar quando input e output podem ser melhorados simultaneamente Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Distância quanto falta para atingir a eficiência Radial Essa medida indica a melhoria necessária quando todos os fatores são melhorados de forma equivalente reduz custosaumenta lucros mostra a folga S Aditiva Essa medida quantifica a soma máxima das melhorias absolutas diferença entre lucro atual e lucro máximo mostra a folga S Média máxima Essa medida quantifica a média máxima das melhorias relativas mostra fator f inputoutput Média mínima Essa medida quantifica a média mínima das melhorias relativas minimamente necessárias para tornala eficiente mostra fator f inputoutput Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Supereficiência Indica as reduções que podem ser feitas de tal forma que a DMU ainda continua eficiente Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD DEA usando o Software EMS Após instalar o software EMS abrir Modulo 6B FGV DEA Bebidasxls Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Exemplo comparação entre cds de distribuição de bebidas area I pessoal I caixas I fatur O mrkt O porto alegre 16300 150 10307 1253 26 loinvile 5500 65 3909 39 16 curitiba 11500 130 7606 897 25 londrina 5000 50 3028 39 25 campo grande 6500 63 4193 482 23 cuiaba 4200 55 2310 312 15 sp 17800 150 10592 143 26 rio preto 8700 92 5601 73 235 rj 12100 110 8032 922 27 df 5000 58 3411 34 19 bh 10200 103 7819 835 24 vitoria 7300 70 5331 569 24 salvador 9800 85 6326 79 26 recife 13800 125 9511 97 21 belem 14100 120 8388 825 18 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD EMS CArquivos de programasEMSexampledistrxlsCRSRADIN DMU Score area lW pessoal lW caixas lW fatur 0W mrkt 0W Benchmarks S area l S pessc l S caixa 0 S fatur 0 S mrkt 0 1 porto 9417 000004985 000124964 000000000 000798085 000000000 7 055 8 064 000 000 0206 000 330 2 loinvile 8628 000018182 000000000 000000000 002319540 000596122 4 028 8 039 000 670 7049 000 000 3 curitiba 9296 000008696 000000000 000000000 001114827 000000000 8 123 000 780 8813 000 388 4 londrina 10000 000000000 000670116 000021960 000000000 004000000 5 000 000 000 000 000 000 5 campo 9273 000012359 000312213 000000000 001883830 000399975 4 059 8 013 13 019 000 000 1761 000 000 6 cuiaba 10000 000000000 000000000 00043290 003048269 000326268 0 000 000 000 000 000 000 7 sp 10000 000000000 000136461 000007509 000699301 000000000 5 000 000 000 000 000 000 8 rio preto 10000 000010594 000000000 00001399 001361678 000025426 9 000 000 000 000 000 000 9 rj 9364 000006667 000175731 00000000 001080540 000013860 7 015 8 033 13 059 000 000 4742 000 000 10 df 8560 00002000 000000000 000000000 00000000 002571818 000660957 4 065 8 012 000 625 8797 000 000 11 bh 9849 000007823 000196128 000000000 001197600 000000007 7 013 8 090 000 4210 000 000 037 12 vitoria 9664 000011027 000278585 000000000 001613015 000342477 4 044 8 021 13 030 000 8949 000 000 000 13 salvador 10000 00000000 001176471 000000000 00000000 001077634 000571806 4 000 000 000 000 000 000 14 recife 8637 000005905 000148039 000000000 001030927 000000003 7 047 8 040 000 5142 000 000 075 15 belem 7328 000000000 000493973 000004855 001126224 000393696 4 015 7 052 13 003 4320 000 000 000 000 resultados DMU Eficiencia PESOS Benchmarking Folgas 1 porto alegre 9417 0 0 0 0 0 7 055 8 064 0 0 302 0 33 2 loinvile 8628 0 0 0 0 0 4 028 8 039 0 67 370 0 0 3 curitiba 9296 0 0 0 0 0 8 123 0 78 188 0 388 4 londrina 10000 0 0 0 0 0 5 5 campo grande 9273 0 0 0 0 0 4 059 8 013 13 019 0 0 118 0 0 6 cuiaba 10000 0 0 0 0 0 0 7 sp 10000 0 0 0 0 0 5 8 rio preto 10000 0 0 0 0 0 9 9 rj 9364 0 0 0 0 0 7 015 8 033 13 059 0 0 347 0 0 10 df 8560 0 0 0 0 0 4 065 8 012 0 625 288 0 0 11 bh 9849 0 0 0 0 0 7 013 8 090 0 0 1342 0 037 12 vitoria 9664 0 0 0 0 0 4 044 8 021 13 030 0 0 689 0 0 13 salvador 10000 0 0 0 0 0 4 14 recife 8637 0 0 0 0 0 7 047 8 040 0 0 951 0 075 15 belem 7328 0 0 0 0 0 4 015 7 052 13 003 432 0 0 0 0 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD unidade Eficiência DEA cuiaba 10000 df 8560 loinvile 8628 londrina 10000 campo grande 9273 vitoria 9664 rio preto 10000 salvador 10000 belem 7328 bh 9849 curitiba 9296 rj 9364 recife 8637 porto alegre 9417 sp 10000 Gráfico das eficiências porto alegre loinvile curitiba londrina campo grande cuiaba sp rio preto rj df bh vitoria salvador recife belem Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Benchmarking Quais as mais eficientes Quais as menos eficientes Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Benchmarking Para cada unidade ineficiente o DEA fornece as contrapartes eficientes que devem servir de referência para a realização do Benchmarking Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Analisando Belém Belém eficiência 7328 Deve seguir SP com intensidade de 052 Londrina com intensidade de 015 Salvador com intensidade de 003 Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD Quais unidades foram mais referenciadas Rio preto 9 vezes Londrina 5 vezes S P 5 vezes Salvador 4 vezes E Cuiabá que também aparece como eficiente È uma eficiente isolada Métodos de Apoio Multicritério à Decisão AMD AUXILIO MULTICRITÉRIO À DECISÃO MÉTODO ELECTRE Professor Dr Adalberto J Tavares Vieira Principais Métodos da Escola Francesa Sistema de preferência Os Métodos ELECTRE Auxilio Multicritério à Decisão 3 Introdução Estes métodos admitem um modelo mais flexível do problema pois não pressupõem necessariamente a comparação entre as alternativas e não impõem ao analista de decisão uma estrutura hierárquica dos critérios existentes Os primeiros métodos da Escola Francesa de Apoio Multicritério à Decisão foram os da família Electre Elimination Et Choix Traduisant la Réalité Eliminação e Escolha como Expressão da Realidade o Electre I proposto por Roy em 1968 e em seguida o Electre II proposto por Roy e Bertier em 1973 Estes métodos definem uma série de processos sobre as alternativas consideradas as quais pertencem ao conjunto de possíveis soluções do problema de decisão analisado Auxilio Multicritério à Decisão 4 Sistema de Preferências nos Métodos Electre Umas das principais características introduzidas por este método corresponde a um novo conceito do Modelo de Preferência que pretende ser uma representação mais realista que o utilizado na Teoria da Utilidade Multiatributo Considerandose um problema de escolha por exemplo sabendose que uma ação a é melhor do que b e c tornase irrelevante analisar as preferências entre b e c Estas duas ações podem perfeitamente permanecer incomparáveis sem degenerar o procedimento de suporte à decisão Auxilio Multicritério à Decisão 5 Sistema de Preferências nos Métodos Electre Todavia a solução desse tipo de problema é um processo temporal no qual as preferências podem ser modificadas em razão de novas informações que se incorporam ao longo do processo Portanto pode ser importante trabalhar com conceitos que possibilitem a modelagem de novas situações durante o processo decisório isto é quando algumas ações ainda permanecem incomparáveis Assim a ideia básica nesta família de métodos consiste numa ênfase na análise das relações de dominância Evitamse desta forma hipóteses muito rígidas e questionamentos intrigantes ao decisor exigidos pela teoria da utilidade multiatributo e que introduzem uma série de dificuldades na modelagem de problemas reais para alguns decisores Auxilio Multicritério à Decisão 6 Sistema de Preferências nos Métodos Electre Em cima desse raciocínio estes métodos introduziram o conceito de limites de indiferença q que significam o limiar que uma alternativa pode transitar até ser indiferente à outra Os métodos de classificação tradicionais partem da relação de preferência e indiferença para compararem alternativas Por exemplo ao comparar duas alternativas A e B para se dizer que A supera B significa dizer que A é pelo menos tão bom quanto B a é estritamente preferível a b a é fracamente preferível a b a é indiferente a b b é fracamente preferível a a b é estritamente preferível a a 𝒂𝑷𝒃 𝒂𝑸𝒃 𝒂𝑰𝒃 𝒆 𝒃𝑰𝒂 𝒃𝑸𝒂 𝒃𝑷𝒂 Auxilio Multicritério à Decisão 7 Sistema de Preferências nos Métodos Electre Em resumo estes métodos baseiam no estudo de sobreclassificação em uma lógica não compensatória razão de substituição com poder de veto usando as noções de concordância e de discordância As relações de sobreclassificação construídas de tal forma permitem avaliar se uma alternativa é tão boa quanto outra alternativa na seguinte condição o Uma maioria suficiente de critérios considerando as suas importâncias apoia esta proposição princípio da concordância e a oposição da minoria não é considerada forte o suficiente para discordar desta proposição princípio da discordância Um método de sobreclassificação dividese em 2 passos construir uma relação de sobreclassificação e explorála para as alternativas escolhidas do problema Principais Métodos da Escola Francesa Sistema de preferência Os Métodos ELECTRE Auxilio Multicritério à Decisão 9 Métodos Electre A família de métodos ELECTRE de origem francesa tem como objetivo obter um subconjunto de alternativas no qual as alternativas que fazem parte desse subconjunto sobreclassificam as que não fazem Em outras palavras buscase reduzir o tamanho do conjunto de alternativas explorando o conceito de dominância Para isso são utilizados dois índices o índice de concordância que mede a vantagem relativa de cada alternativa sobre as outras e o índice de discordância que mede a relativa desvantagem Auxilio Multicritério à Decisão 10 Métodos Electre Os métodos da família ELECTRE são aplicados em duas fases principais FASE I Construir uma relação de sobreclassificação estabelecendo uma comparação par a par de alternativas FASE II Explorar a relação de sobreclassificação aplicando um procedimento para resolver o problema em função da problemática específica a ser abordada Estes métodos diferenciamse entre si pela problemática que tentam resolver pelas informações inter e intracritérios utilizadas e pela quantidade de relações de superação construídas e pesquisadas Assim desde 1968 quando surgiu o Método Electre I sucederamse várias versões dos métodos Electre Auxilio Multicritério à Decisão 11 Métodos Electre Os métodos Electre consideram os pesos como uma medida da importância que cada critério tem para o decisor e não como uma taxa marginal de substituição visto que as avaliações de cada alternativa nos diferentes critérios não se reúnem em uma avaliação global Versão Autor Ano Tipo de Problema Utiliza Pesos I Roy 1968 Seleção Sim II Roy e Bertier 1973 Ordenação Sim III Roy 1978 Ordenação Sim IV Roy e Hugonnard 1982 Ordenação Não IS Roy e Skalka 1985 Seleção Sim TRI Yu Wei 1992 Classificação Sim Auxilio Multicritério à Decisão 12 Métodos Electre Assim empregam a informação dos pesos com a finalidade de construir índices ou coeficientes de concordância e de discordância A versão IV é o único em que não se utilizam pesos pois funciona como uma sequencia de relações de superação agrupadas Versão Autor Ano Tipo de Problema Utiliza Pesos I Roy 1968 Seleção Sim II Roy e Bertier 1973 Ordenação Sim III Roy 1978 Ordenação Sim IV Roy e Hugonnard 1982 Ordenação Não IS Roy e Skalka 1985 Seleção Sim TRI Yu Wei 1992 Classificação Sim Auxilio Multicritério à Decisão 13 Métodos Electre A versões I e IS resultam em uma relação de superação entre as alternativas que é útil para selecionálas As outras versões fornecem diretamente uma préordem parcial das alternativas Versão Autor Ano Tipo de Problema Utiliza Pesos I Roy 1968 Seleção Sim II Roy e Bertier 1973 Ordenação Sim III Roy 1978 Ordenação Sim IV Roy e Hugonnard 1982 Ordenação Não IS Roy e Skalka 1985 Seleção Sim TRI Yu Wei 1992 Classificação Sim Auxilio Multicritério à Decisão 14 Fundamentos de Superação ou Sobreclassificação Seja A o conjunto de possíveis decisões alternativas e gia a avaliação de qualquer umas dessas decisões segundo um critério i i123n Aplicando a relação de superação aos elementos do conjunto A podese definir que uma alternativa a supera a alternativa b aSb se a for pelo menos tão boa quanto b Essa relação de superação que não é necessariamente transitiva aparece como uma possível generalização do conceito de dominância Assim o que se procura identificar no contexto de um problema de decisão é se existe ou não uma relação de dominância entre duas alternativas ou seja se o risco de considerar verdadeira a afirmação a alternativa a é pelo menos tão boa quanto a alternativa b é aceitável Auxilio Multicritério à Decisão 15 Fundamentos de Superação ou Sobreclassificação As considerações que conduzem à aceitação da relação aSb pode ser expressas por dois conceitos Concordância ocorre quando um subconjunto significativo dos critérios considera a alternativa a fracamente preferível à b Discordância ocorre quando não há critérios em que a intensidade da preferência da alternativa b em relação à a ultrapasse um limite inaceitável Auxilio Multicritério à Decisão 16 Procedimentos do Método Electre FASE I Tabela de avaliações Matriz de Concordância Matriz de Discordância Umbrais de Comparação FASE II 𝑝 𝑐𝑖𝑗 𝑗 𝑖 𝑛 𝑛 1 𝑞 𝑑𝑖𝑗 𝑗 𝑖 𝑛 𝑛 1 Teste de Dominância 𝑐𝑙𝑘 𝑝 𝑑𝑙𝑘 𝑞 𝑎𝑙𝑗 𝑆𝑙𝑗 𝑏𝑙𝑗 Tabela de Dominâncias Auxilio Multicritério à Decisão 17 Matriz de Concordância Somase somente os pesos dos critérios nos quais a alternativa Altl supera à alternativa Altk quer dizer que 𝑎𝑙𝑗 𝑎𝑘𝑗 Índice de concordância 𝑤𝑗 𝑗 𝑎𝑙 𝑆𝑗 𝑎𝑘 𝑐𝑙𝑘 𝑤𝑗 𝑗 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑟𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐴𝑙𝑡𝑙 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝐴𝑙𝑡𝑘 Auxilio Multicritério à Decisão 18 Matriz de Discordância Índice de discordância 𝑑𝑙𝑘 0 𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑗 𝑎𝑘𝑗 𝑗 max 𝑗 𝑎𝑙𝑗𝑎𝑘𝑗 𝑎𝑘𝑗 𝑎𝑙𝑗 𝛿 𝛿 𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑗 𝑑𝑙𝑘 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎𝑘 𝑎𝑙 𝛿 Auxilio Multicritério à Decisão 19 Umbrais de Preferência e Indiferença 𝑝 𝑐𝑖𝑗 𝑗 𝑖 𝑛 𝑛 1 𝑞 𝑑𝑖𝑗 𝑗 𝑖 𝑛 𝑛 1 p é o umbral de preferência e se define como o valor maior ou igual à média das concordâncias q é o umbral de indiferença e se define como o valor maior ou igual à média das discordâncias Auxilio Multicritério à Decisão 20 Construção da Tabela de Dominância Teste de Dominância A alternativa Altl domina a alternativa Altk se e somente se 𝑐𝑙𝑘 𝑝 e 𝑑𝑙𝑘 𝑞 Auxilio Multicritério à Decisão 21 Construção da Tabela de Dominância Primeiro Se definem duas listas com as dominâncias primeiro uma com as comparações por linha das alternativas de duas em duas e logo outra com as comparações por coluna se cumpremse os testes de dominância Segundo Se determina a lista de preferências das alternativas ordenandoas segundo o maior número de dominâncias por linha e o menor número de dominâncias por coluna Assim em primeiro lugar fica aquela que domina as demais e nenhuma a domina Exemplo 1 Selecionar a melhor opção de ampliação em um parque recreativo com novas instalações Auxilio Multicritério à Decisão 23 Avaliações Lucro Empregos Resíduos Turismo C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 4 10 Alt2 10 5 3 8 Alt3 22 12 9 14 Alt4 31 10 4 18 Alt5 8 9 10 9 Pesos 7 3 5 6 Critérios Lucro Beneficio esperado aumento percentual Empregos Número de novos postos de trabalho Resíduos Impacto ambiental percentagem esperado na geração de resíduos Turismo Aumento percentual no número de visitantes em relação a atual Auxilio Multicritério à Decisão 24 Avaliações Lucro Empregos Resíduos Turismo C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 4 10 Alt2 10 5 3 8 Alt3 22 12 9 14 Alt4 31 10 4 18 Alt5 8 9 10 9 Pesos 7 3 5 6 Notese que o critério C1 Lucro é considerado o mais importante já que tem um maior peso Além disso o critério resíduo tem que ser minimizado ao contrário dos demais que têm que ser maximizados Auxilio Multicritério à Decisão 25 Normalizando os pesos e determinando os valores de Lucro Empregos Resíduos Turismo C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 4 10 Alt2 10 5 3 8 Alt3 22 12 9 14 Alt4 31 10 4 18 Alt5 8 9 10 9 W 7 3 5 6 Lucro Empregos Resíduos Turismo C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 6 10 Alt2 10 5 7 8 Alt3 22 12 1 14 Alt4 31 10 6 18 Alt5 8 9 0 9 W norm 03333 014286 02381 02857 23 7 7 10 𝑤1 7 7 3 5 6 03333 𝛿1 31 8 23 𝛿2 12 5 7 𝑤2 3 7 3 5 6 014286 Auxilio Multicritério à Decisão 26 Cálculo dos Índices de Concordância C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 6 10 Alt2 10 5 7 8 Alt3 22 12 1 14 Alt4 31 10 6 18 Alt5 8 9 0 9 W norm 03333 014286 02381 02857 23 7 7 10 𝑐𝑙𝑘 𝑤𝑗 𝑗 𝑎𝑙 𝑆𝑗 𝑎𝑘 Por exemplo c21 03333se 10S15 01428se 5S9 02381se 0S6 02857se 8S10 0 0 02381 0 02381 Auxilio Multicritério à Decisão 27 Cálculo dos Índices de Discordância C1 C2 C3 C4 Alt1 15 9 6 10 Alt2 10 5 7 8 Alt3 22 12 1 14 Alt4 31 10 6 18 Alt5 8 9 0 9 W norm 03333 014286 02381 02857 23 7 7 10 Por exemplo 𝑑12 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐴2𝑗 𝐴1𝑗 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 5 23 4 7 1 7 1 10 01428 A discordância 𝑑12 obtémse com a máxima diferença elemento a elemento das avaliações da linha 𝐴𝑙𝑡2 menos as avaliações da linha 𝐴𝑙𝑡1 e dividindo entre delta Auxilio Multicritério à Decisão 28 Matriz de Concordância Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt5 Alt1 07619 02381 02381 1 Alt2 02381 02381 02381 05714 Alt3 07619 07619 01428 1 Alt4 1 07619 08571 1 Alt5 01428 04286 0 0 Matriz de Discordância Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt5 Alt1 01428 04286 08 0 Alt2 05714 1 1 05714 Alt3 07143 08571 07143 0 Alt4 0 01428 02857 0 Alt5 08571 1 06087 1 obtémse 𝑝 0519 então 𝑝 05714 obtémse 𝑞 05347 então 𝑞 0 4286 Auxilio Multicritério à Decisão 29 Teste de Dominância A alternativa 𝐴𝑙 domina à alternativa 𝐴𝑘 se e somente se 𝑐𝑙𝑘 𝑝 e 𝑑𝑙𝑘 𝑞 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt5 Alt1 1 0 0 1 Alt2 0 0 0 0 Alt3 0 0 0 1 Alt4 1 1 1 1 Alt5 0 0 0 0 Matriz de Superação Auxilio Multicritério à Decisão 30 Tabela de Dominâncias Dominâncias por linha L Dominâncias por coluna K Diferença LK Preferência Alt1 A2 A5 A4 1 2 Alt2 0 A1 A4 2 4 Alt3 A5 A4 0 3 Alt4 A1 A2 A3 A5 0 4 1 Alt5 0 A1 A3 A4 3 5 Obtémse que a alternativa 𝐴4 é a melhor alternativa Exemplo 2 Adquirir um carro considerando quatro possíveis alternativas Auxilio Multicritério à Decisão 32 Avaliações Preço Conforto Consumo C1 C2 C3 Alt1 1800000 5 8 Alt2 2050000 6 5 Alt3 2470000 6 4 Alt4 2280000 8 7 Pesos 5 2 3 Esta tabela indica a avaliação de cada alternativa em relação a cada critério Importa ressaltar que o preceito adotado será o de maximizar ou minimizar um critério de acordo com as preferências dos agentes de decisão Auxilio Multicritério à Decisão 33 Normalizando os Pesos Preço Conforto Consumo Alt1 1800000 5 8 Alt2 2050000 6 5 Alt3 2470000 6 4 Alt4 2280000 8 7 Pesos 5 2 3 Preço Conforto Consumo Alt1 0209 020 0333 Alt2 0238 024 0208 Alt3 0287 024 0167 Alt4 0265 032 0292 Pesos 05 02 03 Em primeiro lugar vamos normalizar todos os valores da Tabela e os pesos dos critérios Como método de normalização utilizaremos o quociente entre o elemento a ser normalizado e a soma total É importante citar que o critério Preço é de minimização enquanto os outros dois são de maximização Auxilio Multicritério à Decisão 34 Cálculo dos Índices de Concordância 𝑐𝑙𝑘 𝑤𝑗 𝑗 𝑎𝑙 𝑆𝑗 𝑎𝑘 Por exemplo 𝑐12 05 0 03 08 Preço Conforto Consumo Alt1 0209 020 0333 Alt2 0238 024 0208 Alt3 0287 024 0167 Alt4 0265 032 0292 Pesos 05 02 03 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 08 08 08 Alt2 02 1 05 Alt3 02 02 0 Alt4 02 05 1 Auxilio Multicritério à Decisão 35 Cálculo dos Índices de Discordância Por exemplo 𝑑12 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐴2𝑗 𝐴1𝑗 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 1 0166 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 0029 004 0125 1 0166 004 0241 Preço Conforto Consumo Alt1 0209 020 0333 Alt2 0238 024 0208 Alt3 0287 024 0167 Alt4 0265 032 0292 Pesos 05 02 03 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 max 0078 012 0166 𝑑24 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐴4𝑗 𝐴2𝑗 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 1 0166 max 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 0027 008 0084 1 0166 0084 0506 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 0241 0241 0723 Alt2 0753 0 0506 Alt3 1 0295 0753 Alt4 0337 0163 0 Auxilio Multicritério à Decisão 36 Matriz de Concordância Matriz de Discordância obtémse 𝑝 0516 então 𝑝 06 obtémse 𝑞 0417 então 𝑞 0 4 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 08 08 08 Alt2 02 1 05 Alt3 02 02 0 Alt4 02 05 1 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 0241 0241 0723 Alt2 0753 0 0506 Alt3 1 0295 0753 Alt4 0337 0163 0 Auxilio Multicritério à Decisão 37 Matriz de Concordância Matriz de Discordância Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 08 08 08 Alt2 02 1 05 Alt3 02 02 0 Alt4 02 05 1 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 0241 0241 0723 Alt2 0753 0 0506 Alt3 1 0295 0753 Alt4 0337 0163 0 A alternativa 𝐴𝑙 domina à alternativa 𝐴𝑘 se e somente se 𝑐𝑙𝑘 𝑝 e 𝑑𝑙𝑘 𝑞 Dominâncias por linha L Dominâncias por coluna K Alt1 A2 A3 A4 A4 Alt2 A3 A1 A3 A4 Alt3 0 A1 A2 A4 Alt4 A3 0 𝑝 06 𝑞 0 4 Teste de Dominância Auxilio Multicritério à Decisão 38 Tabela de Dominâncias Dominâncias por linha L Dominâncias por coluna K Diferença LK Preferência Alt1 A2 A3 A4 A4 2 1 Alt2 A3 A1 A3 A4 2 3 Alt3 0 A1 A2 A4 3 4 Alt4 A3 0 1 2 Obtémse que a alternativa 𝐴1 é a melhor alternativa Auxilio Multicritério à Decisão 39 Matriz de Concordância Matriz de Discordância Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 08 08 08 Alt2 02 1 05 Alt3 02 02 0 Alt4 02 05 1 Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 0241 0241 0723 Alt2 0753 0 0506 Alt3 1 0295 0753 Alt4 0337 0163 0 A alternativa 𝐴𝑙 supera à alternativa 𝐴𝑘 se e somente se 𝑐𝑙𝑘 𝑝 e 𝑑𝑙𝑘 𝑞 𝑝 06 𝑞 0 4 Matriz S Matriz de Superação Alt1 Alt2 Alt3 Alt4 Alt1 1 1 0 Alt2 0 1 0 Alt3 0 0 0 Alt4 0 0 1 S 1 2 3 4 AUXILIO MULTICRITÉRIO À DECISÃO MÉTODO AHP Professor Dr Adalberto J Tavares Vieira Principais Métodos da Escola Americana Teoria da Utilidade Multiatributo Os métodos da análise hierárquica Introdução Um dos principais métodos desenvolvidos no ambiente das Decisões Multicritério Discretas é o Método de Análise Hierárquica AHPAnalytic Hierarchy Process criado pelo professor Thoma L Saaty em 1980 Este método permite o uso de critérios qualitativos bem como quantitativos no processo de avaliação A idéia principal deste método é dividir o problema de decisão em níveis hierárquicos facilitando assim sua compreensão e avaliação Exemplo de Estruturação dos Critérios no AHP É importante que na estruturação dos critérios exista uma homogeneidade entre os critérios do mesmo nível ou seja os critérios devem possuir o mesmo nível de importância possibilitando que sejam comparados entre si Compra de um bom carro Desempenho Conforto Economia Potência do Motor Consumo Versões do Método AHP Método AHP Clássico Método AHP Multiplicativo Lootsma Método AHP Referenciado Watson e Freeling Método AHP BG Belton e Gear O Método AHP Clássico Etapas do Método AHP A seguir são apresentadas as principais etapas do método AHP assim como sua estrutura elementos e conceitos fundamentais Para entender melhor este processo de decisão considere o seguinte exemplo Objetivo Comprar um carro Critérios Estilo Confiabilidade Consumo Alternativas Civic Coupe Saturn Coupe Ford Escort Mazda Miata Etapa 1 Construção da hierarquia de decisão A primeira etapa do método AHP consiste na decomposição do problemadecisão em uma hierarquia composta no mínimo de um objetivo critérios e alternativas Comprar um bom carro Confiabilidade Consumo Estilo Civic Saturn Escort Miata Civic Saturn Escort Miata Civic Saturn Escort Miata Enunciado do objetivo geral de decisão Critérios associados ao problema de decisão Alternativas disponíveis e mais adequadas Etapa 2 Comparação entre os elementos da hierarquia A segunda etapa consiste em estabelecer prioridades entre os elementos para cada nível da hierarquia por meio de uma matriz de comparação O primeiro ponto a ser considerado é a determinação de uma escala de valores para comparação que não deve exceder um total de nove fatores a fim de se manter a matriz consistente Assim Saaty definiu uma Escala Fundamental Etapa 2 Comparação entre os elementos da hierarquia Tabela Escala Fundamental de Saaty 1980 1 Igual importância As duas atividades contribuem igualmente para o objetivo 3 Importância pequena de uma sobre a outra A experiência e o juízo favorecem uma atividade em relação à outra 5 Importância grande ou essencial A experiência ou juízo favorece fortemente uma atividade em relação à outra 7 Importância muito grande ou demonstrada Uma atividade é muito fortemente favorecida em relação à outra Pode ser demonstrada na prática 9 Importância absoluta A evidencia favorece uma atividade em relação à outra com o mais alto grau de segurança 2 4 6 8 Valores Intermediários Quando se procura uma condição de compromisso entre duas definições Etapa 2 Comparação entre os elementos da hierarquia Considerando os 3 critérios da estrutura hierárquica exemplo foi desenvolvida a seguinte matriz de comparação quadrada Matriz de Comparação dos critérios do Segundo Nível Estilo Confiabilidade Consumo Estilo 11 12 31 Confiabilidade 21 11 41 Consumo 13 14 11 O fator Confiabilidade é ligeiramente importante ao fator Estilo Etapa 2 Comparação entre os elementos da hierarquia Essa análise deve ser feita para cada nível da hierarquia ou seja os sub critérios existentes para cada um dos critérios considerados também devem passar pela mesma forma de comparação com a mesma escala de valores Matriz A Etapa 3 Prioridade relativa de cada critério Para obter a prioridade relativa de cada critério é necessário a Normalizar os valores da matriz de comparações matriz A tem por objetivo igualar todos os critérios a uma mesma unidade para isto cada valor da matriz é dividido pelo total da sua respectiva coluna Etapa 3 Prioridade relativa de cada critério b Obter o vetor de prioridades tem por objetivo identificar a ordem de importância de cada critério para isto é calculado a média aritmética dos valores de cada linha da matriz normalizada obtida no item anterior A partir dos resultados obtidos o critério Confiabilidade aparece em primeiro lugar seguido de Estilo e Consumo 1 3 1 4 1 4 1 2 3 1 2 1 A Matriz de Comparação 1226 0 5571 0 3202 0 w Vetor de Prioridade Comprar um bom carro 10 Confiabilidade 05571 Consumo 01226 Estilo 03202 Civic Saturn Escort Miata Civic Saturn Escort Miata Civic Saturn Escort Miata Etapa 4 Avaliar a consistência das prioridades relativas A próxima etapa é calcular a Razão de Consistência RC para medir o quanto os julgamentos foram consistentes em relação a grandes amostras de juízos completamente aleatórios As avaliações do método AHP são baseadas no pressuposto de que o decisor é racional isto é se A é preferido a B e B é preferível a C então A é preferido a C Se o RC é superior a 01 os julgamentos não são confiáveis porque estão demasiado perto para o conforto de aleatoriedade neste caso os resultados obtidos não apresentam valores consistentes Para calcular a Razão de Consistência RC é necessário primeiro obter o valor de max que representa o maior autovalor da matriz A obtido a partir da seguinte equação w Aw max Etapa 4 Avaliar a consistência das prioridades relativas Considerando o exemplo inicial temos que w Aw max 1226 0 5571 0 3202 0 1226 0 5571 0 3202 0 1 3 1 4 1 4 1 2 3 1 2 1 max 1226 0 5571 0 3202 0 3686 0 6879 1 9666 0 max 3 0183 1226 0 3686 0 5571 0 6879 1 3202 0 0 9666 max média Vetor de Pesos Vetor de Consistência Etapa 4 Avaliar a consistência das prioridades relativas Uma vez calculado max devese calcular o Índice de Consistência IC para logo calcular a Razão de Consistência RC O índice de consistência é determinado de acordo com a fórmula abaixo em que n é o número de critérios para o exemplo anterior temos que 1 n n IC max 0 0091 1 3 3 0183 3 IC A Razão de Consistência RC é obtida pela fórmula em que IR é o índice de consistência referente a um grande número de comparações par a par efetuadas Este é um índice aleatório calculado para matrizes quadradas de ordem n pelo Laboratório Nacional de Oak Ridge nos EUA A seguinte Tabela define os valores de IR em função do número de critérios Etapa 4 Avaliar a consistência das prioridades relativas IR IC RC TABELA Valores de IR para matrizes quadradas de ordem n Cada um dos números desta tabela é a média de ICs derivada de uma amostra de matrizes recíprocas selecionadas aleatoriamente usando a escala AHP Um RC de 10 ou menos implica que o ajuste é pequeno em comparação com os valores atuais das entradas Um RC tão alto como digamos 90 significaria que os julgamentos são praticamente emparelhados aleatoriamente e são completamente não confiáveis Etapa 4 Avaliar a consistência das prioridades relativas TABELA Valores de IR para matrizes quadradas de ordem n Etapa 4 Avaliar a consistência das prioridades relativas TABELA Valores de IR para matrizes quadradas de ordem n para o exemplo anterior considerando n3 teremos que Como o CR01 podemos concluir que os valores das prioridades relativas do exemplo utilizado estão consistentes 0 0158 0 58 0 0091 IR IC RC Todos os procedimentos para a construção da matriz de comparação e para a determinação da prioridade relativa de cada critério devem ser feitos novamente observando agora a importância relativa de cada uma das alternativas que compõem a estrutura hierárquica do problema em questão Etapa 5 Construção da matriz de comparação paritária para cada critério considerando cada uma das alternativas selecionadas Critério Estilo Etapa 5 Construção da matriz de comparação paritária para cada critério considerando cada uma das alternativas selecionadas Matriz de Comparação critério Estilo Civic Saturn Escort Miata Civic 11 13 12 16 Saturn 31 11 21 14 Escort 21 12 11 15 Miata 61 41 51 11 Prioridade Relativa 0074 0201 0122 0602 Critério Confiabilidade Etapa 5 Construção da matriz de comparação paritária para cada critério considerando cada uma das alternativas selecionadas Matriz de Comparação critério Confiabilidade Civic Saturn Escort Miata Civic 11 21 51 11 Saturn 12 11 31 12 Escort 15 13 11 14 Miata 11 21 41 11 Prioridade Relativa 0374 0196 0076 0354 Critério Economia Desde que a economia de combustível é uma medida quantitativa as taxas de consumo de combustível pode ser usado para determinar a classificação ou prioridade relativa das alternativas mas isso não é obrigatório Comparações pareadas pode ainda ser utilizado em alguns casos Etapa 5 Construção da matriz de comparação paritária para cada critério considerando cada uma das alternativas selecionadas MilhasGalão Normalizado Civic 34 0301 Saturn 27 0239 Escort 24 0212 Miata 28 0248 113 Comprar um bom carro 10 Confiabilidade 05571 Consumo 01226 Estilo 03202 Civic 0074 Saturn 0201 Escort 0122 Miata 0602 Civic 0374 Saturn 0196 Escort 0076 Miata 0354 Civic 0301 Saturn 0239 Escort 0212 Miata 0248 Etapa 6 Obter a prioridade composta para as alternativas Nesta última etapa obtemos as prioridades compostas das alternativas multiplicando os valores anteriores e os das prioridades relativas obtidos no início do método ou seja Estilo Confiabilidade Economia Civic 0074 0374 0301 Saturn 0201 0196 0239 Escort 0122 0076 0212 Miata 0602 0354 0248 0320 0557 0123 Prioridade dos critérios 0269 0203 0107 0420 Prioridades Compostas Etapa 7 Escolha da alternativa A alternativa Miata aparece como a mais indicada para comprar um bom carro em função dos critérios definidos e das suas respectivas importâncias Estilo Confiabilidade Economia Civic 0074 0374 0301 Saturn 0201 0196 0239 Escort 0122 0076 0212 Miata 0602 0354 0248 0320 0557 0123 0269 0203 0107 0420 Prioridades Compostas Incluindo Custo como um Critério de Decisão Adicionar custo como um novo critério é muito difícil em AHP Uma nova coluna e uma nova linha deverá adicionada na matriz de avaliação Assim todo o processo de avaliação deverá ser repetido toda vez que seja adicionado um novo critério já que pode afetar a importância relativa dos outros critérios Em vez disso podese pensar de normalizar as despesas diretamente e calcular a relação custobenefício para comparar alternativas Custo milhares de dólares Custo Normalizado Prioridades Compostas Relação CustoBeneficio Civic 12 02220 02690 08250 Saturn 15 02778 02029 13691 Escort 9 01667 01074 15521 Miata 18 03330 04203 07922 Métodos para Incluir o Critério Custos Usando representações gráficas para fazer tradeoffs Usando a relação benefíciocusto Usando programação linear Usando distintos benefícios e árvores de custos e em seguida combinar os resultados Beneficio Custo