Lista de Exercicios Resolvidos - Algebra II

Questionário Algebra II Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 Questão 1 Seja k R Pelo enunciado temos k x y x y Mas para ser considerando espaço vetorial devemos ter aT x y T ax ay Note que esta condição não se verifica Por exemplo para k0 temos 0 x y x y 00 Logo esta não é um espaço vetorial Questão 2 Aqui devemos ter 125a 111 b 123c211 Assim temos o seguinte sistema ab2c1 a2bc2 a3bc5 Subtraindo a primeira equação à demais temos ab2c1 b3c3 2bc4 Logo b33c 2bc4 2 33c c4 66c c4 5c10 c2 b33c363 Assim temos ab2c1 a1b2c a134 a6 Assim temos a seguinte combinação linear 125a 111 b 123c211 1256 111 3 123 2211 v6 v13 v22 v3 Questão 3 Note que devemos ter 31ma 111b 120c131 Assim temos o seguinte sistema abc3 a2b3 c1 acm Assim temos amc Substituindo no sistema temos mcbc3 mc2b3c1 mccm mb2c3 m2b4 c1 00 2m2b4c6 m2b4 c1 00 Subtraindo as duas primeiras equações temos 2mm61 m7 Questão 4 Para que A gere R 3 o seguinte determinante precisa ser nulo det 1 1 1 1 2 3 3 0 k 0 Assim temos 12k13311013011k1230 2k900k6 0 k30 k3 Questão 5 Aqui devemos ter 377 a 101b 121c010 Assim temos o seguinte sistema ab3 2bc7 ab7 Somando a primeira e terceira equação temos 2b10 b5 Logo ab3 ab3 a53 a2 E também 2bc7 c2b7 c107 c3 Assim temos a seguinte combinação linear 377 a 101b 121 c010 377 2 1015 1213010 v2B15B23 B3 Questão 1 Seja 𝑘 𝑅 Pelo enunciado temos 𝑘𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Mas para ser considerando espaço vetorial devemos ter 𝑎𝑇𝑥 𝑦 𝑇𝑎𝑥 𝑎𝑦 Note que esta condição não se verifica Por exemplo para 𝑘 0 temos 0𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 00 Logo esta não é um espaço vetorial Questão 2 Aqui devemos ter 1 25 𝑎111 𝑏123 𝑐2 11 Assim temos o seguinte sistema 𝑎 𝑏 2𝑐 1 𝑎 2𝑏 𝑐 2 𝑎 3𝑏 𝑐 5 Subtraindo a primeira equação à demais temos 𝑎 𝑏 2𝑐 1 𝑏 3𝑐 3 2𝑏 𝑐 4 Logo 𝑏 3 3𝑐 2𝑏 𝑐 4 23 3𝑐 𝑐 4 6 6𝑐 𝑐 4 5𝑐 10 𝑐 2 𝑏 3 3𝑐 3 6 3 Assim temos 𝑎 𝑏 2𝑐 1 𝑎 1 𝑏 2𝑐 𝑎 1 3 4 𝑎 6 Assim temos a seguinte combinação linear 1 25 𝑎111 𝑏123 𝑐2 11 1 25 6111 3123 22 11 𝒗 𝟔𝒗𝟏 𝟑𝒗𝟐 𝟐𝒗𝟑 Questão 3 Note que devemos ter 3 1 𝑚 𝑎111 𝑏120 𝑐13 1 Assim temos o seguinte sistema 𝑎 𝑏 𝑐 3 𝑎 2𝑏 3𝑐 1 𝑎 𝑐 𝑚 Assim temos 𝑎 𝑚 𝑐 Substituindo no sistema temos 𝑚 𝑐 𝑏 𝑐 3 𝑚 𝑐 2𝑏 3𝑐 1 𝑚 𝑐 𝑐 𝑚 𝑚 𝑏 2𝑐 3 𝑚 2𝑏 4𝑐 1 0 0 2𝑚 2𝑏 4𝑐 6 𝑚 2𝑏 4𝑐 1 0 0 Subtraindo as duas primeiras equações temos 2𝑚 𝑚 6 1 𝒎 𝟕 Questão 4 Para que 𝐴 gere 𝑅3 o seguinte determinante precisa ser nulo det 1 1 1 1 2 3 3 0 𝑘 0 Assim temos 1 2 𝑘 1 3 3 1 1 0 1 3 0 1 1 𝑘 1 2 3 0 2𝑘 9 0 0 𝑘 6 0 𝑘 3 0 𝒌 𝟑 Questão 5 Aqui devemos ter 3 7 7 𝑎10 1 𝑏121 𝑐0 10 Assim temos o seguinte sistema 𝑎 𝑏 3 2𝑏 𝑐 7 𝑎 𝑏 7 Somando a primeira e terceira equação temos 2𝑏 10 𝑏 5 Logo 𝑎 𝑏 3 𝑎 𝑏 3 𝑎 5 3 𝑎 2 E também 2𝑏 𝑐 7 𝑐 2𝑏 7 𝑐 10 7 𝑐 3 Assim temos a seguinte combinação linear 3 77 𝑎10 1 𝑏121 𝑐0 10 3 77 210 1 5121 30 10 𝒗 𝟐𝑩𝟏 𝟓𝑩𝟐 𝟑𝑩𝟑