Operadores Lineares e Transformações Especiais no Plano e Espaço

Operador Linear Definiçãouma transformação linear T V V é chamada de Operador Linear Observações todas as propriedades já vistas para as transformações lineares em geral vale para um Operador Linear i Propriedades ii Transformações Especiais no Plano e Espaço os operadores lineares que veremos a seguir são chamados de transformações especiais do plano e do espaço por serem bastantes usados em aplicações práticas e também em aplicações numéricas Operador Linear Transformações Lineares Planas y x 1 0 0 1 x y T y x x y T y x 1 0 0 1 x y T x y x y T y x 1 0 0 1 x y T y x x y T y x 1 0 0 1 x y T y x x y T y x 1 0 0 1 x y T x y x y T y x 1 0 0 1 x y T y x x y T Operador Linear Transformações Lineares Planas y x 0 1 1 0 x y T xy x y T y x 0 1 1 0 x y T x y x y T y x 0 1 1 0 x y T y x x y T y x 0 1 1 0 x y T x y x y T Operador Linear Transformações Lineares Planas y x n 0 0 n x y T x y n x y T y x 1 0 0 n x y T nxy x y T y x n 0 0 1 x y T x ny x y T y x n 0 0 n x y T x y n x y T y x 1 0 0 n x y T nxy x y T y x n 0 0 1 x y T x ny x y T Operador Linear Transformações Lineares Planas y x 1 0 n 1 x y T nyy x x y T y x 1 n 0 1 x y T y x nx x y T y x 1 0 n 1 x y T nyy x x y T y x 1 n 0 1 x y T y x nx x y T Operador Linear Transformações Lineares Planas y x cos sen sen cos x y T cos cos y x sen y sen x x y T y x cos sen sen cos x y T cos cos y x sen y sen x T x y Operador Linear Transformações Lineares no Espaço z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T Operador Linear Transformações Lineares no Espaço z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T Operador Linear Transformações Lineares no Espaço z y cos sen x y sen x cos zy x T 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos zy x T 0 1 0 cos 0 sen sen 0 cos T 0 0 1 cos sen 0 sen cos 0 T 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos T z y cos y sen x sen x cos zy x T 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos zy x T 0 1 0 cos 0 sen sen 0 cos T 0 0 1 cos sen 0 sen cos 0 T 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos T Operador Linear Definição Operador Inversível seja T V V um operador linear Se existir um operador T1 V V então dizemos que o operador T é inversível e T1 é o operador inverso de T Observação Um operador é inversível se e somente se ele é um isomorfismo bijetora Propriedades Seja T V V um operador linear i Se T é inversível e T1 sua inversa então T T1 T1 T I ii O operador T é inversível se e somente se NT 0 iii O operador T é inversível se e somente se detT 0 iv Se T é inversível T transforma base em base isto é se A v1v2vn é base de V então B Tv1Tv2Tvn é base de V Operador Linear 01 Seja um operador linear no R2 definido por 2y 2x 3 y 4x x y T Exemplo a Mostre que T é inversível b Encontre a lei matemática para T1 03 Sabendo que o operador linear T R3 R3 definido por T111 100 T210 010 e T132 011 onde B v1v2v3 é uma base do R3 com v1 111 v2 210 e v3 132 é inversível então determine a sua inversa 02 Seja um operador linear no R3 definido por z y z z y y x T x y z 3 2 2 a Mostre que T é inversível b Encontre a lei matemática para T1 2y 2x 3 y 4x x y T z y z z y y x T x y z 3 2 2 Operador Linear Definição Operador Ortogonal seja V um espaço vetorial euclidiano possui produto interno Um operador linear T V V é ortogonal se T preservar o módulo de cada vetor Então Propriedades i T é um operador ortogonal se T é uma matriz ortogonal isto é TT T1 ii T preserva o produto escalar isto é TvTw v w 1 Verifique se no R2 com o produto interno usual o operador linear definido por é ortogonal 5 y 4 5 5 3x y 3 5 4x x y T Exemplo Tv v 5 y 4 5 5 3x y 3 5 4x x y T Operador Linear Definição Operador Autoadjunto Simétrico seja V um espaço vetorial euclidiano possui produto interno Um operador linear T V V é simétrico autoadjunto se a matriz que a representa numa base ortonormal é simétrica Então T é um operador autoadjunto se T é uma matriz simétrica isto é TT T Propriedade i Se T é um operador autoadjunto então Tv w v Tw 01 Seja TR2 R2 onde A matriz de T é dada por 5y 2x 2 y 2x x y T Exemplo 5 2 2 2 T Como a matriz T é simétrica então T é um operador autoadjunto 5y 2x 2 y 2x x y T 5 2 2 2 T