Transformações Lineares - Funções Vetoriais e Aplicações

Transformações Lineares Função Vetorial Uma Transformação Linear é uma Função Vetorial Linear são funções na qual tanto o domínio como o contradomínio são espaços vetoriais Observações T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W escrevese i Representação W T V ii Sendo T uma função então cada vetor v V tem um só vetor imagem w W 01 Considerando no R2 a função T que representa a reflexão de um vetor em torno do eixo x e é definida pela expressão Exemplo y x T x y W T V y x T x y Transformações Lineares 02 Considere uma função T R2 R3 que associa vetores v xy R2 com vetores w xyz R3 Se a lei que define essa função for teremos y y x x T x y 3 2 21 v1 Para 1 4 3 21 1 T v T 31 2 v Para 4 6 3 31 2 T v T 10 5 0 50 2 1 T v T v 0 10 5 31 21 2 1 T T T v T v 50 31 21 31 21 2 1 2 1 temos v e v v Para v 12 16 4 84 4 1 T v T 12 16 4 4 1 4 3 21 4 4 1 T v T 2 1 2 1 T v T v v T v 1 1 4 4 T v v T Transformação Linear sejam V e W dois espaços vetoriais Uma aplicação T é chamada Transformação Linear de V em W se são satisfeitas as condições I Para quaisquer vetores v1 e v2 V devemos ter 2 1 2 1 T v T v v T v II Para quaisquer k R e v1 V devemos ter 1 1 kT v T kv y y x x T x y 3 2 21 v1 Para 1 4 3 21 1 T v T 31 2 v Para 4 6 3 31 2 T v T 10 5 0 50 2 1 T v T v 10 5 0 31 21 2 1 T T T v T v 50 31 21 31 21 2 1 2 1 temos v e v v Para v 12 16 4 84 4 1 T v T 12 16 4 1 4 4 3 21 4 4 1 T v T 2 1 2 1 T v T v v T v 1 1 4 4 T v v T 2 1 2 1 T v T v v T v 1 1 kT v T kv Transformações Lineares Observações i Operador Linear é uma transformação linear de V em W quando V W ii Propriedade 1 em toda transformação linear T V W a imagem do vetor nulo em V é o vetor nulo em W isto é O O T iii Propriedade 2 se T V W for uma transformação linear bT v aT u bv T au temse isto é a imagem de uma combinação linear de vetores é uma combinação linear das imagens desses vetores com os mesmos coeficientes R a b e V u v para nv v v B 2 1 Se é uma base de V e tal que R a a a n 2 1 anvn a v a v v 2 2 1 1 2 2 1 1 n n a T v a T v a T v temos que T v T anvn a v a v v 2 2 1 1 n n a T v a T v a T v T v 2 2 1 1 O O T bT v aT u bv T au R a b e V u v para nv v v B 2 1 R a a a n 2 1 anvn a v a v v 2 2 1 1 2 2 1 1 n n a T v a T v a T v temos que T v T anvn a v a v v 2 2 1 1 n n a T v a T v a T v T v 2 2 1 1 Transformações Lineares 04 Seja uma transformação linear T R3 R2 onde B v1v2v3 é uma base do R3 com v1 010 v2 101 e v3 110 Sabendo que determine e T v T v 13 2 1 2 1 20 v3 T 2 35 a T b T x y z 05 Um operador linear T R2 R2 é tal que com v1 10 e v2 01 Assim determine Txy 41 2 3 2 1 e T v T v 03 Seja a transformação T R2 R3 que associa v R2 com w R3 definida por Verifique se T R2 R3 é uma Transformação Linear Exemplos x y y x x T x y 3 e T v T v 13 2 1 2 1 20 v3 T 2 35 a T b T x y z 41 2 3 2 1 e T v T v x y y x x T x y 3 Transformações Lineares Definição Núcleo de uma Transformação Linear o núcleo de uma transformação linear T V W é o conjunto de todos os vetores v V que são transformados em 0 W Indicase esse conjunto por NT ou kerT 0 V T v v N T Observamos que NT V e NT tendo em vista que T0 0 Propriedades do Núcleo 1 O núcleo de uma transformação linear T V W é um subespaço vetorial de V 2 Uma transformação linear T V W é injetora se e somente se NT 0 0 V T v v N T Transformações Lineares Definição Imagem de uma Transformação Linear a imagem de uma transformação linear T V W é o conjunto dos vetores w W que são imagens de pelo menos um vetor v V Indicase esse conjunto por ImT ou TV V w para alg um v W T v w Im T 1 Se ImT W T dizse sobrejetora isto é para todo w W existe pelos um v V tal que Tv w 3 Propriedade da Imagem 4Teorema da Dimensão W T V 2 Se é linear e gera V então gera a ImT n 2 1 v v v n 2 1 v T v T T v seja V um espaço vetorial de dimensão finita e TV W uma transformação linear dim NT dim ImT dim V o conjunto imagem de uma transformação T V W é um subespaço vetorial de W 5 Isomorfismo uma transformação linear TVW é um isomorfismo se for bijetora Observações V w para alg um v W T v w Im T W T V n 2 1 v v v n 2 1 v T v T T v Transformações Lineares 1 Verificar se v 53 pertence a ImT sendo T R2 R2 e Exemplo y x y x T x y 3 2 2 2 Determinar os conjuntos NT e ImT do operador linear T R3 R3 z 3y xz 2 z y 2y x zy x T y x y x T x y 3 2 2 z 3y 2 z x z y 2y x zy x T Transformações Lineares Transformação Linear associada a uma Matriz Quando obtemos a matriz de uma transformação estamos levando em conta as bases associadas ao domínio e contradomínio No caso acima estamos considerando as bases canônicas Logo a matriz T é chamada de matriz canônica da transformação Dada a transformação linear T R3 R2 3z 2y xz 30 20y 10x zy x T z y x T 3z 2y x 30z 20y x 10 z y x 3 2 1 30 20 10 v T T v Portanto a matriz T que denotamos por T é 3 2 1 30 20 10 T 3z 2y 30 z x 20y 10x zy x T z y x T 3z 2y x 30z 20y x 10 z y x 3 2 1 30 20 10 v T T v 3 2 1 30 20 10 T Transformações Lineares Exemplo Seja a Transformação Linear T R3 R2 definida pela expressão 3 0 1 01 2 2 3 1 0 1 01 1 11 4 2 3 2 4 3 2 1 3 1 1 2 3 4 2 T 2z y x 3z y 2x zy x T Considerando as bases canônicas temse 3 R 0 0 1 01 0 0 01 A 2 R 0 01 0 01 0 0 1 2 0 1 01 1 1 2 1 12 2 5 3 4 2 1 2 2 2 5 3 5 2 1 0 1 7 6 3 6 7 3 5 2 2 13 5 4 3 7 6 T Considerando bases quaisquer temse 3 R 0 0 1 11 0 111 A 2 R 111 0 11 0 0 1 5 5 3 13 2 1 1 2 10 31 T A B T 0 1 01 B 2 1 5 3 B z y x 2 1 3 1 1 2 zy x T Os elementos da matriz são os coeficientes da combinação linear das imagens da base A em relação a base B A B T z y x T x y z 5 2 2 13 5 4 3 0 1 01 2 2 3 1 0 1 01 1 11 4 2 3 2 4 3 2 1 3 1 1 2 3 4 2 T 2z y x 3z y 2x zy x T 3 R 0 0 1 01 0 0 01 A 2 R 0 01 0 01 0 0 1 2 0 1 01 1 1 2 1 12 2 5 3 4 2 1 2 2 2 5 3 5 2 1 0 1 7 6 3 6 7 3 5 2 2 13 5 4 3 7 6 T 3 R 0 0 1 11 0 111 A 2 R 111 0 11 0 0 1 5 5 3 13 2 1 1 2 10 31 T A B T 0 1 01 B 2 1 5 3 B z y x 2 1 3 1 1 2 zy x T A B T z y x T x y z 5 2 2 13 5 4 Transformações Lineares Exemplo Seja a Transformação Linear T R3 R2 definida pela expressão Considerando as bases e determine 2z y x 3z y 2x zy x T A B T 0 0 1 11 0 111 A 2 1 5 3 B 2z y x 3z y 2x zy x T A B T 0 0 1 11 0 111 A B 2 1 5 3 Transformações Lineares Exemplo Operações com transformações lineares 1 Adição V v v T T T v T v 2 1 2 1 2 Subtração V v v T T T v T v 2 1 2 1 3 Multiplicação por Escalar V v R e T v T v Sejam T1 R2 R3 e T2 R2 R3 transformações lineares definidas por Determine y xy x x y e T xy x 2y 2 x x y T 2 1 2 1 T a T 2 1 2T b 3T V v v T T T v T v 2 1 2 1 V v v T T T v T v 2 1 2 1 V v R e T v T v y xy x x y e T xy x 2y 2 x x y T 2 1 2 1 T a T 2 1 2T b 3T Transformações Lineares Composição de Transformações Lineares Sejam T1 V W e T2 W U transformações lineares Chamase aplicação composta de T1 e T2 e se representa T2 T1 a transformação linear V v T T v v T T 1 2 1 2 ou através da multiplicação das matrizes canônicas das transformações 1 2 1 2 T T v T T Exemplo Sejam S e T transformações lineares do R2 R2 definidos por e Determine as seguintes composições a S T S b T 2 x y x y S y xx x y T V v T T v v T T 1 2 1 2 1 2 1 2 T T v T T a S T S b T 2 x y x y S y xx x y T Método dos Mínimos Quadrados Definição o Método dos Mínimos Quadrados MMQ é uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados y u v u Observação Para o caso em que V é o R3 e E é o R2 temos i Aplicação declara que a melhor aproximação de um vetor u pertencente a um espaço vetorial euclidiano V a um subespaço vetorial de dimensão finita E que está contido em V está relacionado com a projeção ortogonal de u em E o MMQ é aplicado no Ajuste de curvas Solução de Sistemas Lineares Análise de Dispersão Solução de Equações Diferenciais etc ii Teorema da Melhor Aproximação x y z u v y v u 1e 2 e y u y u v u x y z u v y v u 1e 2 e y u Método dos Mínimos Quadrados Se ej e1e2en é uma base de E temos O problema está em determinar os coeficientes de v caso seja possível Para isso devemos considerar que uv seja ortogonal a todos os vetores de E e assim basta que uv seja ortogonal a base ej Então Substituindo o vetor v temos nen e e v 2 2 1 1 n para j v e u j 21 0 0 2 2 1 1 j n n e e e e u Reorganizando os termos j j n n j j u e e e e e e e 2 2 1 1 A equação acima é chamada de Equação Normal Podemos desenvolver a Equação Normal em um sistema linear que leva o nome de Sistema Normal n n n n n n n n e u e u e u e e e e e e e e e e e e e e e e e e 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 nen e e v 2 2 1 1 n para j v e u j 21 0 0 2 2 1 1 j n n e e e e u j j n n j j u e e e e e e e 2 2 1 1 n n n n n n n n e u e u e u e e e e e e e e e e e e e e e e e e 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 Autovalor e Autovetor Definição Seja T V V um Operador Linear Um escalar é chamado autovalor ou valor próprio ou valor característico de T se é possível encontrar v em V com v 0 tal que v T v Os vetores não nulos v para os quais vale que Tv v são chamados autovetores ou vetores próprios ou vetores característicos associados ao autovalor Autovetor de T Não é Autovetor de T Dependendo do valor de o operador T dilata v contrai v inverte o sentido de v ou anula v no caso de 0 v T v Autovalor e Autovetor Observações i Cálculo dos Autovalores Seja o operador linear T V V cuja a matriz canônica é dado por A T Se v e são respectivamente o autovetor e o autovalor do operador T temse v T v v Av 0 v Av 0 I v Av 0 I v A O sistema homogêneo deve admitir soluções nãonulas SPI para isso devemos ter detA I 0 A equação acima é denominada Equação Característica do operador linear T ou da matriz A e as suas raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A Equação Característica 0 0 0 x x x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 0 0 x x x a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 0 0 x x x 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 a a a a a a a a a nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 v T v v Av 0 v Av 0 I v Av 0 I v A 0 0 0 x x x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 0 0 x x x a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 0 0 x x x 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 a a a a a a a a a nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 Autovalor e Autovetor ii Determinação dos Autovetores a substituição de pelos seus valores no sistema homogêneo de equações lineares A Iv 0 permite determinar os autovetores associados iii Matriz Triangular nas matrizes triangular inferior superior ou diagonal os autovalores são os elementos da diagonal principal da própria matriz iv Matriz Inversa Os autovalores de A1 são os inversos dos autovalores de A Uma matriz é inversa se e somente se os autovalores forem diferentes de zero v Aplicações de autovalores e autovetores Flambagem de colunas Vibrações de estruturas Vibrações amortecidas etc 0 0 0 x x x a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 0 0 x x x a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 Autovalor e Autovetor 01 Determinar os autovalores e os autovetores da matriz 1 2 5 4 A Exemplos 02 Determinar os autovalores e os autovetores do operador linear 3z y xz 5y x z y 3x zy x R T T R 3 3 03 Determinar os autovalores e os autovetores da matriz 8 16 10 16 A 1 2 5 4 A 3z y xz 5y x z y 3x zy x R T T R 3 3 8 16 10 16 A Operador Linear Definiçãouma transformação linear T V V é chamada de Operador Linear Observações todas as propriedades já vistas para as transformações lineares em geral vale para um Operador Linear i Propriedades ii Transformações Especiais no Plano e Espaço os operadores lineares que veremos a seguir são chamados de transformações especiais do plano e do espaço por serem bastantes usados em aplicações práticas e também em aplicações numéricas Operador Linear Transformações Lineares Planas y x 1 0 0 1 x y T y x x y T y x 1 0 0 1 x y T x y x y T y x 1 0 0 1 x y T y x x y T y x 1 0 0 1 x y T y x x y T y x 1 0 0 1 x y T x y x y T y x 1 0 0 1 x y T y x x y T Operador Linear Transformações Lineares Planas y x 0 1 1 0 x y T xy x y T y x 0 1 1 0 x y T x y x y T y x 0 1 1 0 x y T y x x y T y x 0 1 1 0 x y T x y x y T Operador Linear Transformações Lineares Planas y x n 0 0 n x y T x y n x y T y x 1 0 0 n x y T nxy x y T y x n 0 0 1 x y T x ny x y T y x n 0 0 n x y T x y n x y T y x 1 0 0 n x y T nxy x y T y x n 0 0 1 x y T x ny x y T Operador Linear Transformações Lineares Planas y x 1 0 n 1 x y T nyy x x y T y x 1 n 0 1 x y T y x nx x y T y x 1 0 n 1 x y T nyy x x y T y x 1 n 0 1 x y T y x nx x y T Operador Linear Transformações Lineares Planas y x cos sen sen cos x y T cos cos y x sen y sen x x y T y x cos sen sen cos x y T cos cos y x sen y sen x T x y Operador Linear Transformações Lineares no Espaço z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T Operador Linear Transformações Lineares no Espaço z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T zy x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T z y x zy x T z y x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 zy x T Operador Linear Transformações Lineares no Espaço z y cos sen x y sen x cos zy x T 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos zy x T 0 1 0 cos 0 sen sen 0 cos T 0 0 1 cos sen 0 sen cos 0 T 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos T z y cos y sen x sen x cos zy x T 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos zy x T 0 1 0 cos 0 sen sen 0 cos T 0 0 1 cos sen 0 sen cos 0 T 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos T Operador Linear Definição Operador Inversível seja T V V um operador linear Se existir um operador T1 V V então dizemos que o operador T é inversível e T1 é o operador inverso de T Observação Um operador é inversível se e somente se ele é um isomorfismo bijetora Propriedades Seja T V V um operador linear i Se T é inversível e T1 sua inversa então T T1 T1 T I ii O operador T é inversível se e somente se NT 0 iii O operador T é inversível se e somente se detT 0 iv Se T é inversível T transforma base em base isto é se A v1v2vn é base de V então B Tv1Tv2Tvn é base de V Operador Linear 01 Seja um operador linear no R2 definido por 2y 2x 3 y 4x x y T Exemplo a Mostre que T é inversível b Encontre a lei matemática para T1 03 Sabendo que o operador linear T R3 R3 definido por T111 100 T210 010 e T132 011 onde B v1v2v3 é uma base do R3 com v1 111 v2 210 e v3 132 é inversível então determine a sua inversa 02 Seja um operador linear no R3 definido por z y z z y y x T x y z 3 2 2 a Mostre que T é inversível b Encontre a lei matemática para T1 2y 2x 3 y 4x x y T z y z z y y x T x y z 3 2 2 Operador Linear Definição Operador Ortogonal seja V um espaço vetorial euclidiano possui produto interno Um operador linear T V V é ortogonal se T preservar o módulo de cada vetor Então Propriedades i T é um operador ortogonal se T é uma matriz ortogonal isto é TT T1 ii T preserva o produto escalar isto é TvTw v w 1 Verifique se no R2 com o produto interno usual o operador linear definido por é ortogonal 5 y 4 5 5 3x y 3 5 4x x y T Exemplo Tv v 5 y 4 5 5 3x y 3 5 4x x y T Operador Linear Definição Operador Autoadjunto Simétrico seja V um espaço vetorial euclidiano possui produto interno Um operador linear T V V é simétrico autoadjunto se a matriz que a representa numa base ortonormal é simétrica Então T é um operador autoadjunto se T é uma matriz simétrica isto é TT T Propriedade i Se T é um operador autoadjunto então Tv w v Tw 01 Seja TR2 R2 onde A matriz de T é dada por 5y 2x 2 y 2x x y T Exemplo 5 2 2 2 T Como a matriz T é simétrica então T é um operador autoadjunto 5y 2x 2 y 2x x y T 5 2 2 2 T