Revisão sobre Matrizes Inversa e Determinantes

Álgebra Linear Revisão sobre Matrizes Inversa e Determinantes Material para estudo extraclasse de ALI Grupo colaborativo de ensino e pesquisa em Álgebra Linear Inversa de uma matriz Definição Uma matriz 𝐴 de ordem 𝑛 𝑛 é invertível ou nãosingular quando existir uma matriz 𝐵 de ordem 𝑛 𝑛 tal que 𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝐼𝑛 onde 𝐼𝑛 é a matriz identidade de ordem 𝑛 𝑛 A matriz 𝐵 é dita a inversa de 𝐴 e é denotada por 𝐵 𝐴1 Se 𝐴 não tem inversa dizemos que 𝐴 é não inversível ou singular Observação Somente matrizes quadradas ordem 𝑛 𝑛 têm chances de ser inversível Exemplo Sejam 𝐴 1 2 1 1 e 𝐵 1 2 1 1 Verifique se 𝐵 é a inversa de 𝐴 Solução Vamos verificar se a definição é satisfeita ou não Como 𝐴 𝐵 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 1 𝐼 e 𝐵 𝐴 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 1 𝐼 Definição Uma matriz 𝐴 de ordem 𝑛 𝑛 é inversível ou nãosingular quando existir uma matriz 𝐵 de ordem 𝑛 𝑛 tal que 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 𝐼𝑛 onde 𝐼𝑛 é a matriz identidade de ordem 𝑛 𝑛 Unicidade da matriz inversa Como verificamos que 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 𝐼 a definição está satisfeita e 𝐵 𝐴1 é a inversa de 𝐴 Teorema Se 𝐴𝑛𝑛 admite inversa então sua inversa é única Justificativa Suponhamos que 𝐴 admita inversa denotada por 𝐴1 Logo 𝐴 𝐴1 𝐴1 𝐴 𝐼 Suponhamos por absurdo que 𝐴 admita outra inversa digamos 𝐶 com 𝐶 𝐴1 e 𝐴 𝐶 𝐶 𝐴 𝐼 Assim temos que 𝐶 𝐶 𝐼 𝐶 𝐴 𝐴1 𝐶 𝐴 𝐴1 𝐼 𝐴1 𝐴1 Portanto 𝐶 𝐴1 o que é uma contradição pois por hipótese tínhamos que 𝐶 𝐴1 Portanto 𝐴 admite uma única inversa Determinação da inversa Exemplo Encontre a inversa da matriz 𝐴 2 1 5 3 Solução Para encontrar a inversa de A suponha que 𝐴1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 seja tal que 𝐴 𝐴1 𝐼 isto é 2 1 5 3 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1 0 0 1 Logo 2𝑎 𝑐 2𝑏 𝑑 5𝑎 3𝑐 5𝑏 3𝑑 1 0 0 1 Da igualdade matricial obtémse os sistemas ቊ 2𝑎 𝑐 1 5𝑎 3𝑐 0 e ቊ 2𝑏 𝑑 0 5𝑏 3𝑑 0 Resolvendo os sistemas como exercício obtémse que 𝑎 3 𝑏 1 𝑐 5 e 𝑑 2 ou seja 𝐴1 3 1 5 2 Teorema Se 𝐴 é 2 2 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 então 𝐴 é inversível se e somente se 𝑎𝑑 𝑏𝑐 0 Além disso se 𝑎𝑑 𝑏𝑐 0 então a inversa é 𝐴1 1 𝑎𝑑𝑏𝑐 𝑑 𝑏 𝑐 𝑎 Prova Exercício Obs Este teorema só vale para o caso 2 2 Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes quadradas de ordem 𝑛 𝑛 São válidas as seguintes propriedades i Se 𝐴 é invertível sua inversa 𝐴1 também é invertível e a inversa de 𝐴1 é 𝐴 ou seja 𝐴1 1 𝐴 ii Se a matriz A é invertível sua transposta 𝐴𝑇 também é invertível e sua inversa é 𝐴𝑇 1 𝐴1 𝑇 iii Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes invertíveis de mesma ordem então o produto 𝐴𝐵 é uma matriz invertível e a inversa de 𝐴𝐵 é o produto 𝐵1𝐴1 ou seja 𝐴 𝐵 1 𝐵1 𝐴1 iv Se 𝐴 é invertível e 𝑘 ℝ com 𝑘 0 então 𝑘𝐴 também é invertível e sua inversa é 𝑘 𝐴 1 1 𝑘 𝐴1 v Se 𝐴 é invertível e 𝑘 ℝ então 𝐴𝑘 1 𝐴1 𝐴1 𝐴1 𝐴1 𝑘 Você consegue demonstrar tais propriedades Basta aplicar a definição de inversa Propriedades da Inversa Determinante de uma matriz quadrada Definição Uma matriz 𝐴 de ordem 𝑛 𝑛 é invertível ou nãosingular quando existir uma matriz 𝐵 de ordem 𝑛 𝑛 tal que O cálculo do determinante de uma matriz quadrada 𝐴𝑛𝑛 𝑎𝑖𝑗 é obtido por meio de operações multiplicação soma e subtração efetuadas ordenadamente entre as entradas de 𝐴 Tais operações dependem da ordem de 𝐴 conforme descrito a seguir Quando 𝑛 1 têmse que 𝐴 𝑎11 e nesse caso det𝐴 𝑎11 Quando 𝑛 2 têmse que 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 e nesse caso det𝐴 𝑎11𝑎22 𝑎12𝑎21 Notase que para 𝑛 2 det𝐴 consiste na diferença entre o produto dos elementos situados na diagonal principal e a multiplicação dos elementos da diagonal secundária 𝐵𝐴 𝐼𝑛 onde 𝐼𝑛 é a matriz identidade de ordem 𝑛 𝑛 Exemplo Obtenha o determinante de 𝐴 3 2 4 5 e 𝐴𝑇 3 4 2 5 Solução Têmse que det 𝐴 det 3 2 4 5 3 5 2 4 15 8 7 det 𝐴 det 3 4 2 5 3 5 4 2 15 8 7 Definição O determinante é um número real associado a matrizes quadradas Se 𝐴 é uma matriz quadrada denotase seu determinante por det 𝐴 Cálculo do Determinante Quando 𝑛 3 têmse que 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 e nesse caso têmse que det𝐴 𝑎11𝑎22𝑎33 𝑎12𝑎23𝑎31 𝑎13𝑎21𝑎32 𝑎13𝑎22𝑎31 𝑎12𝑎21𝑎33 𝑎11𝑎23𝑎32 Para 𝑛 3 o det𝐴 pode ser facilmente obtido a partir da Regra de Sarrus que consiste em reescrever a matriz 𝐴 repetindo suas duas primeiras colunas A seguir efetuase as multiplicações ordenadas entre os elementos situados nas diagonais paralelas à diagonal principal mantendo o sinal do produto e entre os elementos situados nas diagonais paralelas à diagonal secundária trocando o sinal do produto conforme representado nos esquemas abaixo 𝐵𝐴 𝐼𝑛 Fonte httpsmatematicabasicanetmatrizesedeterminantes det 𝐴 𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟑 𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟑𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟏𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟏𝒂𝟑𝟑 𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟑𝒂𝟑𝟐 Cálculo do Determinante Exemplo Sejam 𝐴 2 1 3 5 7 1 4 1 6 e 𝐵 1 2 3 3 7 1 2 5 2 Calcule o determinante de 𝐴 de 𝐵 de 𝐴 𝐵 e de 𝐴 𝐵 Solução Pela Regra de Sarrus com omissão da repetição das duas primeiras colunas têm se que det 𝐴 det 2 1 3 5 7 1 4 1 6 2 7 6 1 1 4 3 5 1 4 7 3 1 1 2 6 5 1 84 4 15 84 2 30 13 Pelo mesmo método det 𝐵 det 1 2 3 3 7 1 2 5 2 1 7 2 2 1 2 3 3 5 2 7 3 5 1 1 2 3 2 14 4 45 42 5 12 0 Cálculo do Determinante Como 𝐴 𝐵 2 1 3 5 7 1 4 1 6 1 2 3 3 7 1 2 5 2 1 1 6 2 14 2 6 6 8 têmse que det 𝐴 𝐵 det 1 1 6 2 14 2 6 6 8 1 14 8 1 2 6 2 6 6 6 14 6 1 2 8 1 2 6 112 12 72 504 16 12 456 Note que det 𝐴 𝐵 det 𝐴 det 𝐵 Ainda como 𝐴 𝐵 2 1 3 5 7 1 4 1 6 1 2 3 3 7 1 2 5 2 1 4 13 18 44 10 5 15 25 têmse que det 𝐴 𝐵 det 1 4 13 18 44 10 5 15 25 1 44 25 4 10 5 13 18 15 13 44 5 4 18 25 1 10 15 1100 200 3510 2860 1800 150 0 Notase que det 𝐴 𝐵 0 13 0 det 𝐴 det 𝐵 Cálculo do Determinante Quando 𝑛 4 o cálculo do determinante de 𝐴𝑛𝑛 é análogo Porém det𝐴 será uma soma de 𝑛 parcelas em que cada parcela é obtida por meio de uma multiplicação ordenada entre 𝑛 elementos situados em linhas e colunas distintas Além disso o sinal de cada parcela pode ser positivo ou negativo conforme a diagonal formada pelos elementos multiplicados seja paralela à diagonal principal ou à diagonal secundária de 𝐴 Nesses casos uma forma de simplificar o cálculo do determinante de 𝐴𝑛𝑛 𝑎𝑖𝑗 é utilizar o Desenvolvimento de Laplace dado por det𝐴 𝑗1 𝑛 1𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗 det 𝐴𝑖𝑗 em que 𝐴𝑖𝑗 é a matriz de ordem 𝑛 1 𝑛 1 obtida pela eliminação da 𝑖ésima linha e 𝑗ésima coluna da matriz inicial 𝐴 Para aplicar o desenvolvimento de Laplace devese fixar a 𝑖ésima linha de 𝐴 a ser escolhida livremente Exemplo Obtenha o determinante de 𝐴 1 2 4 9 2 1 1 3 3 1 1 2 6 2 3 3 Determinante de uma matriz quadrada Solução Aplicando o desenvolvimento de Laplace tomando como base a primeira linha da 𝐴 e desenvolvendo por colunas obtémse que det𝐴 𝑗1 4 11𝑗 𝑎1𝑗 det 𝐴1𝑗 111𝑎11 det 𝐴11 112𝑎12 det 𝐴12 113𝑎13 det 𝐴13 114𝑎14 det 𝐴14 12 1 det 𝐴11 1 3 2 det 𝐴12 1 4 2 det 𝐴13 1 5 1 det 𝐴14 1 det 9 1 3 1 6 2 2 3 3 2 det 4 1 3 3 6 2 1 3 3 2 det 4 9 3 3 1 2 1 2 3 1 det 4 9 1 3 1 6 1 2 3 9 6 3 1 3 3 2 1 2 3 6 2 1 1 3 9 2 3 2 4 6 3 3 3 3 1 1 2 3 6 1 1 3 3 4 2 3 2 4 1 3 3 2 3 1 9 2 3 1 1 9 3 3 4 2 2 1 4 1 3 3 2 1 9 6 1 1 1 1 9 3 3 4 6 2 136 2 104 2 116 1 92 484 OBSERVAÇÃO Veja que pelo Desenvolvimento de Laplace o cálculo do determinante de uma matriz 4 4 é obtido pelo cálculo de quatro determinantes de matrizes de ordem 3 3 Percebese assim que quanto maior for a ordem da matriz maior é o trabalho computacional para obter o seu determinante Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛 𝑛 com 𝑛 2 São válidas as seguintes propriedades i Se 𝑘 ℝ então det 𝑘 𝐴 𝑘𝑛 det 𝐴 ii Se 𝐴𝑇 é a matriz transposta de 𝐴 então det 𝐴𝑇 det 𝐴 iii Se 𝐵 é uma matriz quadrada de mesma ordem que 𝐴 então det 𝐴 𝐵 det 𝐴 det𝐵 iv 𝐴 é uma matriz invertível se e somente se det 𝐴 0 Ainda a inversa 𝐴1 é tal que det 𝐴1 1 det𝐴 v Se 𝐴 possui alguma linha ou coluna inteiramente nula então det 𝐴 0 vi Se 𝐴 possuir duas linhas ou duas colunas idênticas então det 𝐴 0 vii Se 𝐴 possuir duas linhas ou duas colunas múltiplas entre si então det 𝐴 0 Você consegue demonstrar tais propriedades Propriedades de Determinantes 1 Sabendo que 𝐴 4 5 7 9 obtenha se existir a 2𝐴3 6𝐴𝑇 b 3𝐴𝑇 1 c 𝐼 4𝐴𝑇 1 d det 2𝐴𝑇 𝐴1 2 Encontre a matriz 𝐴 tal que 3𝐼 2𝐴𝑇1 3 2 5 4 Resolução Lembre da propriedade 𝑀1 1 𝑀 Assim aplicando a inversa em ambos os lados da igualdade temos 3𝐼 2𝐴𝑇 1 2 4 2 5 3 Somando 3𝐼 em ambos os lados da igualdade 2𝐴𝑇 1 1 5 2 9 2 Multiplicando por 1 2 em ambos os lados 𝐴𝑇 1 2 1 2 5 4 9 4 Aplicando a transposta em ambos os lados lembre da propriedade 𝑀𝑇 𝑇 𝑀 𝐴 1 2 5 4 1 2 9 4 Exercícios propostos Exercícios propostos 3 Encontre a matriz 𝐴 tal que 𝐼 2𝐴𝑇1 1 2 4 5 4 Simplifique a expressão matricial 𝐴𝐵 1 𝐴𝐶1 𝐷1𝐶1 1𝐷1 5 Supondo que as matrizes 𝐴 𝐵 e 𝐶 sejam quadradas e invertíveis resolva para 𝐷 a equação matricial 𝐶𝑇𝐵1𝐴2𝐵𝐶1𝐷𝐴1𝐵𝑇𝐶 𝐶𝑇 6 Quais são todas as matrizes 𝑄 de ordem 2 2 que satisfazem a equação 𝑄 4𝑄𝑇1 1 3 𝑄1 Descreva esse conjunto de matrizes explicitamente e justifique sua resposta 7 Seja 𝐴 3 2 1 5 1 4 2 3 4 3 5 2 1 7 3 1 a Calcule i det 𝐴 iidet 2𝐴𝑇 det 7𝐴1 b Determine 𝑘 ℝ para que det 𝑘𝐴1 det 3𝐴𝑇