Método de Monte Carlo: Fundamentos e Aplicações na Simulação Estatística

John von Neumann e Stam Ulam desenvolveram algoritmos computacionais para calcular o comportamento da difusão de nêutrons projeto Manhattan na Segunda Guerra Mundial O projeto era secreto e foi nomeado de projeto Monte Carlo Simulação Montecarlo Método de Monte Carlo Se x é uma variável aleatória fx e Fx a função densidade de probabilidade e a função cumulativa de probabilidade então uma variável y que seja definida como yFx possui distribuição uniforme no intervalo 01 Logo se estabelece uma relação entre a variável x que possui sua distribuição característica e y que possui uma distribuição Uniforme Simulação de Monte Carlo técnica matemática que gera variáveis aleatórias para modelar o risco ou incerteza de um determinado sistema Variáveis aleatórias Distribuições de Probabilidades Utilizase de geradores de número aleatórios para simular sistemas onde o tempo não é uma variável explícita Simulação estática Simulação Montecarlo 1946 Stanislaw Ulam Tentou calcular as probabilidades de sucesso de um jogo de paciência utilizando análise combinatória Percebeu uma alternativa mais prática simplesmente realizar inúmeras jogadas e contar quantas vezes cada resultado ocorria estatística Método de Monte Carlo técnica de simulação estatística que utiliza amostragem aleatória para modelar sistemas aproximação da solução Simulação Monte Carlo Número aleatório Variável aleatória va que tem uma distribuição uniforme no intervalo 01 Espaço amostral U conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório Evento x qualquer subconjunto do espaço amostral U 6 Evento a No lançamento de um dado probx 16 Distribuição uniforme Distribuição uniforme variável aleatória uniformemente distribuída tem uma função densidade de probabilidade constante no intervalo de definição variável aleatória uniformemente distribuída 16 Evento x Gerador de números aleatórios que imite variáveis aleatórias independentes da distribuição uniforme sobre o intervalo ab Ex Método da transformada inversa Distribuições discretas e contínuas Exponencial Gerar número u da distribuição Uniforme 01 Ex geradores de números aleatórios Uniforme Triangular Weibull Atividade No 1 Simulação Montecarlo Gerar 500 números aleatórios Intervalo 01 Intervalo 0100 Intervalo 1882 Com distribuição uniforme 01 histogramas Com distribuição normal média 0 dp 1 histogramas Simular um jogo de dados x runifn100 min0 max1 histx Distribuição uniforme n100 n1000 n100000 n10000000 Geração de números e variáveis aleatórios Números aleatórios são os blocos construtores da simulação Na simulação é preciso gerar variáveis aleatórias de diversos tipos geradores de números pseudoaleatórios O método mais popular de geração de números pseudoaleatórios é método da congruência ou resíduo Congruência Linear para K0123 Onde a um multiplicador c o incremento m o módulo Xo é o valor inicial denominado semente Os números gerados serão números inteiros no intervalo 0 m1 Geradores de variáveis aleatórias contínuas Método de Transformada Inversa geração a partir da inversa da função distribuição de probabilidade Método de AceitaçãoRejeição gera uma amostra de números aleatórios no intervalo desejado e aceita o subconjunto da amostra que atende à função de distribuição de probabilidades Método da Convolução obtém uma distribuição através de soma de outras distribuições Método de Composição obtém a distribuição através de soma ponderada de outras distribuições Métodos baseados em propriedades especiais ex transformação de uma distribuição em outra Método de Transformada Inversa Dada uma função de densidade de probabilidade f x para uma variável aleatória x e a função acumulada F x Gerar um número aleatório R no intervalo 0 1 Se F x R então resolver em x A variável x é uma variável aleatória cuja distribuição é dada pela função densidade de probabilidade f x Distribuição uniforme variável aleatória uniformemente distribuída tem uma função densidade de probabilidade constante no intervalo de definição R Fx x F1R x a b a R Distribuição exponencial Gerador def exponencialmedia u random01 return log1umedia Python Método da Convolução obtém uma distribuição através de soma de outras distribuições Distribuição ERLANG somatório de m distribuições exponenciais Onde Então Método da BoxMuller distribuição Normal e LogNormal Método para distribuição triangular Teste dos números aleatórios Números aleatórios dist Uniforme e independentes Teste de frequência KolmogorovSmirnov KS ou Quiquadrado KS avalia se os dados amostrais se aproximam razoavelmente da distribuição uniforme KS se baseia na distância máxima entre a distribuição observada e a distribuição teórica de referência Teste KS é para distribuições contínuas Quiquadrado pode ser aplicado a contínuas e discretas Não é recomendável a aplicação do teste Quiquadrado a pequenas amostras Geralmente a aplicação deste teste exige amostras com pelo menos 100 valores O teste KS é aplicável à pequenas amostras Teste de Autocorrelação teste de correlação dos números r Ac Aq πr 2 2r 2 π 4 Ac Aq π 4 Nc Nq Variável aleatória uniformemente distribuída xabaaleatório Atividade No 2 Calcular o número π Convergência Inicio Num Aleatórios x y Calcular gx Calcular área Contar pontos Gráfico pontos Calcular proporção Ex Calcular a área da função gx 3x2 no intervalo x01 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 0 05 1 15 2 25 3 A Num pontosdentro Totalpontos Areabase c Calcular a área da região limitada pelas curvas y x2 x4 e y x x4 usando método Monte Carlo b Calcular a área da região limitada pela função no intervalo de x ε 0 10 f xx 310 x 25 x