Aula de Revisão: Conceitos Básicos de Estatística

1 Aula de Revisão 1Conceitos Básicos de Estatística 11Estatística Estatística é a ciência que se ocupa do desenvolvimento e aplicação de princípios métodos e procedimentos para a obtenção análise e interpretação de dados provenientes de pesquisa experimental ou observacional 12Testes de Significância Ao aplicar um teste podese incorrer nos seguintes tipos de erros Não rejeita Ho Rejeita Ho Ho é verdadeira Ho é falsa Decisão correta Erro Tipo II Erro Tipo I Decisão correta A probabilidade do erro Tipo I aceitável num teste de significância tem como símbolo ou p sendo escolhida ao aplicar o teste 2 13População e Amostra Uma população estatística é uma coleção de dados que representam a totalidade das medições de alguma característica para o grupo inteiro de unidades que é o alvo de uma pesquisa Uma amostra de uma população é o conjunto de medições que são realmente coletadas no decorrer de uma pesquisa e que passa a representar a população O processo de pesquisa experimental ou observacional pode ser visto como um esforço para se obter o entendimento da população baseandose na informação parcial adquirida pela experimentação ou amostragem O propósito da inferência estatística é fazer afirmações significantes e apropriadas relacionadas com os parâmetros da população quando tudo que se tem disponível são as estatísticasestimativas da amostra onde estão sempre presentes a variação e o acaso 14Medidas de posição e de dispersão de uma amostra 3 141 Medidas de Posição ou de Tendência Central As medidas de posição são calculadas para indicar um valor que tende a caracterizar um conjunto de dados amostrais 142 Medidas de Dispersão As medidas de dispersão fornecem uma descrição sobre a variabilidade dos dados 2Conceitos Básicos de Experimentação A importância da estatística para a experimentação está relacionada principalmente com o fato de que existe um estreito relacionamento desta com o método científico 1Experimento O experimento é a unidade fundamental da pesquisa experimental e por isso deve ser planejado desenvolvido analisado e interpretado cuidadosamente para a obtenção de informações confiáveis e eficazes 2Fatores 4 São os diferentes tipos de condições processo ou material que são aplicados no experimento Os fatores a serem estudados são definidos de acordo com as hipóteses e objetivos do pesquisador com base na sua experiência e ou informações da bibliografia pertinente Por exemplo cultivares nutrientes pesticidas métodos de preparo de solo métodos de irrigação quantidade de água temperatura época dentre outros 3Níveis de Fatores Os diferentes modos de presença de um fator no experimento são chamados de níveis do fator Por exemplo cultivares A B C e D 20 40 60 e 80 kg ha1 de nitrogênio herbicidas K L M e P A escolha dos níveis e do número de fatores é de importância fundamental para atingir os objetivos do experimento 4Tratamento Cada nível de um único fator é um tratamento Cada combinação específica dos níveis de dois ou mais fatores é um tratamento 5 O efeito de cada tratamento deve ser medido e comparado estatisticamente com outros tratamentos do experimento 5Respostas São as características medidasanotadas em cada unidade experimental com o objetivo de avaliar os efeitos dos fatores aplicados no experimento 6Unidade Experimental A unidade experimental ou parcela é a unidade básica do experimento na qual são aplicadas diferentes níveis de um determinado fator ou combinações de níveis de fatores em estudo e nas quais as respostas ao fatorfatores são avaliadasmedidas 7Unidade de Observação A unidade de observação é uma amostra da unidade experimental onde são realizadas as medições de características précolheita Em alguns casos a unidade de observação é a própria unidade experimental 8Repetição O número de parcelas sobre as quais um determinado tratamento é aplicado é chamado de repetições deste 6 tratamento O objetivo do uso de repetições é estimar e reduzir o erro experimental 9Casualização Os tratamentos e suas repetições são aplicados nas parcelas por meio de um processo de sorteio O objetivo do uso da casualização é evitar tendências ou vieses 10Erro Experimental É a variação entre parcelas que receberam o mesmo tratamento Essa variação corre devido aos efeitos de fatores externos não controlados sobre a variável resposta Na experimentação procurase sempre minimizar o erro experimental 11Validade do experimento Experimento válido é o que não é viesado ou tendencioso ou seja o material experimental é representativo da população objetivo e o experimento é planejado e conduzido de modo que as inferências dele derivadas sejam livres de tendências 12Simplicidade O plano do experimento deve ser tão simples quanto possível consistente com os objetivos do 7 experimento Essa consideração aplicase igualmente aos métodos de análise dos dados 13Tipos de variáveis A utilização de diferentes escalas de medidas gera diferentes tipos de variáveis que influenciam no método de análise estatística dos dados A escolha das variáveis fatores e respostas é realizada de acordo com os objetivos do estudo que está sendo realizado Variável quantitativa contínua e discreta Variável qualitativa categórica nominal e categórica ordinal Variável dependente ou resposta Variável independente ou fator Princípios Básicos da Experimentação 1Repetição É a aplicação de um determinado tratamento a duas ou mais unidades experimentais O princípio da repetição permite a Estimar o erro experimental o que é necessário para avaliar a significância das diferenças entre as médias de tratamentos 8 b Aumentar a sensibilidade dos testes pela redução do erro padrão da diferença entre médias de tratamentos c Aumentar a abrangência do experimento pela incorporação de uma maior diversidade de material experimental 2Casualização Consiste na distribuição dos tratamentos ao acaso nas unidades experimentais Tem a função de assegurar que a estimativa do erro experimental e dos efeitos de tratamentos não tenham tendência ou viés Apresenta as seguintes características a garante que os tratamentos sejam casualmente afetados por fontes desconhecidas de variação quando eles são distribuídos nas diversas unidades experimentais b faz com que os erros desvios se tornem aleatórios c faz com que os erros associados aos tratamentos sejam independentes entre si permitindo assim a aplicação dos testes estatísticos 3Controle Local Formação de Blocos 9 Consiste na estratificação agrupamento das unidades experimentais local ou material em grupos homogêneos denominados de blocos o que permite a estimação e o controle mais adequado do erro experimental Delineamentos Experimentais e Análise de Variância Introdução O delineamento de um experimento é o método de casualização dos tratamentos e suas repetições nas parcelas O objetivo do delineamento é assegurar que os dados apropriados sejam obtidos de forma que permita uma análise objetiva e conduza a inferências válidas com relação ao problema estabelecido A análise de variância dos dados obtidos com o experimento é feita de acordo com o tipo de delineamento experimental utilizado 1Delineamento Experimental Inteiramente Casualizado DIC O modelo linear associado a este delineamento é expresso como 10 Yij i ij em que Yij observação do tratamento de ordem i na repetição de ordem j 1 2 i t e 1 2 j r média geral do experimento i efeito do tratamento de ordem i ij erro associado ao tratamento de ordem i na repetição de ordem j Este delineamento permite dividir a variação total em dois componentes um atribuível à variação entre tratamentos e outro devido à variação das repetições dentro dos tratamentos Desta forma o quadro de Análise de Variância para o DIC é o seguinte Quadro 2 Resumo da Análise de Variância do DIC FV SQ GL QM F Tratamento SQTrat t1 SQTratt1 QMTrat QMRes Resíduo SQRes t r1 SQRes tr1 Total SQTotal r t1 O coeficiente de variação experimental que avalia a precisão do experimento é expresso por 11 Re 100 QM s CV Y 2Delineamento Experimental Blocos Casualizados DBC Para melhorar a precisão do experimento podese particionar o material ou a área experimental em grupos homogêneos denominados de blocos Os blocos representam o controle local e cada um deve incluir todos os tratamentos O modelo linear associado ao DBC é expresso como Yij i j ij em que Yij observação do tratamento de ordem i no bloco de ordem j 1 2 i t e 1 2 j r média geral do experimento i efeito do tratamento de ordem i j efeito do bloco de ordem j ij erro associado a observação Yij 12 Este delineamento permite fracionar a variação total em três componentes ou seja em variações devidas a blocos a tratamentos e ao erro experimental O resultado da análise de variância é apresentado da seguinte forma Quadro 6 Resumo da Análise de Variância do DBC FV SQ GL QM F Bloco SQBloco r1 cos 1 SQBlo r cos Re QMBlo QM s Tratamento SQTratamento t1 1 SQTrats t Re QMTrats QM s Resíduo SQResíduo r1t 1 1 1t r Re s SQ Total SQTotal r t1 O coeficiente de variação é expresso como Re 100 QM s CV Y 3Delineamento Experimental Quadrado Latino DQL Em algumas situações é possível remover os efeitos de dois fatores simultaneamente no mesmo experimento usando o quadrado latino 13 Nos quadrados latinos os blocos são organizados de duas maneiras diferentes uns constituindo as linhas e outros as colunas Este delineamento é utilizado quando a heterogeneidade do material experimental permite formar blocos em duas direções O modelo linear associado a este delineamento é expresso como Y i j ij k k ij k em que Y ij k observação do tratamento de ordem k na linha de ordem i e coluna de ordem j média geral do experimento i efeito da linha de ordem i 1 2 i n j efeito da coluna de ordem j 1 2 j n k efeito do tratamento de ordem k 1 2 k n ij k erro associado a observação Y ij k 14 Este delineamento permite partir a variação total em quatro componentes linhas colunas tratamentos e resíduo Quadro 10 Esquema de Análise de Variância para DQL FV SQ GL Linha SQLinha n1 Coluna SQColuna n1 Tratamento SQTratamento n1 Resíduo SQResíduo n1n2 Total SQTotal n21 4Diagnósticos de Pressuposições e Transformação de Dados em Análise de Variância Os modelos de análise de variância univariada são usados basicamente para analisar o efeito da variável independente ou fator ou fatores sobre a variável dependente ou resposta ou respostas 15 Um modelo linear de análise de variância pressupõe os conceitos de normalidade homogeneidade de variância e independência dos erros experimentais Pressuposições para modelos de análise de variância Portanto as pressuposições necessárias para a validade da análise de variância e dos testes de significância são as seguintes 1 Homogeneidade de Variâncias A hipótese é que os erros ij devidos ao efeito de fatores aleatórios não controlados possuem uma variância comum 2 Isto quer dizer que a variação das repetições de um determinado tratamento deve ser semelhante a de todos os outros tratamentos do experimento ou seja 2 2 2 2 1 2 t 2 Normalidade A hipótese é que os erros ij possuem uma distribuição normal de probabilidade neste caso é necessário que os dados experimentais tenham uma distribuição normal esta pressuposição é denotada por 2 0 N ij 16 3 Independência A hipótese é que os erros ij são independentes A consequência disto é que os efeitos de tratamentos não apresentam correlação entre si ou seja são independentes Pela utilização da casualização o pesquisador pode fazer com que os erros sejam independentes Entretanto na prática uma ou mais dessas condições nem sempre são satisfeitas o que leva a procurar uma aproximação através da transformação dos dados antes de se proceder à análise de variância Diagnósticos de Pressuposições para Análise de Variância 1Testes de Homogeneidade de Variâncias Os testes disponíveis para a verificação da homogeneidade de variâncias dos erros são os de Hartley e de Bartlett 1Teste de Hartley é dado pelo procedimento seguinte seja um conjunto de g grupos cada um com 17 r observações Para testarmos a homogeneidade de variâncias destes grupos devemos calcular as estimativas de variância 2 12 S i g i para cada um dos grupos e a estatística de teste é 2 2 S máx Hc S mín Onde 2 S máx maior variância e 2 S mín menor variância Comparamos o valor da estatística Hc com os valores críticos 1 H g r da tabela de Pearson Hartley A decisão estatística é que se 1 H H g r c rejeitamos a hipótese de homogeneidade de variâncias 2 2 2 2 0 1 2 H t e concluímos que não existe homogeneidade de variâncias para os grupos testados 2Testes de Normalidade Os testes mais utilizados para verificar a normalidade de um conjunto de dados são de Lilliefors e de ShapiroWilk 18 Transformação de dados Afastamentos não adequação em relação a qualquer uma das pressuposições da análise de variância irão alterar de alguma forma as suas propriedades padrões Este problema pode ser resolvido por meio da transformação dos dados antes de realizar a análise de variância Os tipos de transformações mais comuns são as seguintes 1 Transformação Raiz Quadrada Y É utilizada quando os dados são provenientes de contagens que geralmente seguem a distribuição de Poisson na qual a média é igual à variância 2 Transformação Angular Arco seno Y 100 Recomendável para dados de proporção YN ou percentagens YN x 100 especialmente quando as percentagens cobrem uma grande amplitude de valores Este tipo de dado geralmente segue uma distribuição binomial 3 Transformação Logarítmica log Y 19 Quando temos dados onde os desvios padrões dos tratamentos são aproximadamente proporcionais às médias a transformação mais eficiente é a logarítmica 4 Transformação Recíproca 1Y Aplicável quando o desvio padrão é proporcional ao quadrado da média 4Testes de Comparações de Médias Os testes de comparações entre médias servem como complemento ao teste F da análise de variância para o caso de os tratamentos serem qualitativos Os principais procedimentos para comparações de médias são 1 Teste t de Student A estatísticavalor calculada par o teste t é expressa como ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ Y Y t S Y V Y O valor absoluto da estatística t deve ser comparado com os valores tabelados em função do número de graus de liberdade do resíduo e da probabilidade desejada As hipóteses sob consideração são 20 0 0 0 H Y e H Y a A regra de decisão é que se t t gl do resíduo rejeitase H0 caso contrário não se rejeita H0 O intervalo de confiança para um contraste de médias é dado por ˆ ˆ ˆ ˆ 1 IC Y t S Y Y Y t S Y onde o valor de t é obtido na tabela de t em função do número de graus de liberdade do resíduo e da probabilidade adotada 2 Teste de Bonferroni É um aperfeiçoamento do teste t Sabese que mesmo que se observem os requisitos básicos do teste t ele não é exato quando aplicado a dois ou mais contrastes de um mesmo experimento A estatística t é calculada como da maneira anterior ou seja ˆ ˆ Y t S Y e associada com t n gl resíduo O intervalo de confiança para um contraste de médias é dado por 21 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 IC Y t S Y Y Y t S Y b b onde o valor de tb é obtido na tabela de Bonferroni em função do número de graus de liberdade do resíduo e da probabilidade adotada 3 Teste de Tukey Deve ser usado para testar todos os contrastes entre duas médias de tratamentos não permite comparar grupos de médias entre si O teste tem por base a diferença mínima significativa calculada como ˆ q S q S Y r onde q amplitude estudentizada cujo valor é tabelado em função do número de tratamentos n do número de graus de liberdade do resíduo n e da probabilidade escolhida Re S QM s desvio padrão residual 22 rnúmero de repetiçõesobservações usado para calcular as médias comparadas no contraste A regra de decisão é que se ˆY o contraste é dito ser significativo para a probabilidade adotada indicando que as duas médias contrastadas diferem entre si 4 Teste de Duncan É um teste menos rigoroso que o teste de Tukey isto é discrimina mais os resultados entretanto é de aplicação mais trabalhosa Exige que as médias sejam colocadas em ordem decrescente de valor e que todas elas possuam o mesmo número de repetições O teste baseiase na amplitude total mínima significativa Di dada por ˆ S D Z Z S Y i i i r onde Zi amplitude total estudentizada cujo valor é encontrado em tabelas em função do número de médias abrangidas pelo contraste n do número de graus de liberdade do resíduo n e da probabilidade escolhida 23 Re S QM s desvio padrão residual rnúmero de observações usado para calcular as médias testadas no contraste A regra de decisão é que se ˆY Di o contraste é significativo concluímos que as médias contrastadas diferem entre si 5 Teste de Student Newman Keuls SNK É um teste baseado no teste de Tukey e no teste de Duncan porque também leva em consideração o número de médias abrangidas pelo contraste e utiliza a amplitude estudentizada q do teste de Tukey Deve ser usado para comparar todos os contrastes entre duas médias de tratamentos O teste baseiase na amplitude total mínima significativa Wi que é dada por ˆ S W q q S Y i i i r onde qi amplitude estudentizada que é tabelada em função do número de médias abrangidas pelo contraste ni do número de graus de liberdade do resíduo n e da probabilidade desejada 24 O valor de qi é retirado da mesma tabela usada no teste de Tukey considerandose o número de médias abrangidas pelo contraste no lugar do número de tratamentos 6 Teste de Scheffé Este teste pode ser aplicado para testar todo e qualquer contraste de médias Entretanto é frequentemente utilizado para testar contrastes que envolvem grupos de médias Para sua aplicação correta exige apenas que o teste F para tratamentos seja significativo A estatística do teste denotada por S é calculada como ˆ ˆ 1 S I F V Y onde I número de tratamentos do experimento F valor crítico da tabela de F a uma probabilidade em função dos números de graus de liberdade de tratamentos e de resíduo A decisão estatística é que se ˆY S dizemos que o contraste é significativo a uma probabilidade o que 25 indica que os grupos de médias do contraste diferem entre si a essa probabilidade 7 Teste de Dunnett Este teste é utilizado quando se deseja comparar apenas a testemunha um tratamento padrão com cada um dos demais tratamentos não havendo interesse na comparação dos demais tratamentos entre si Desta forma um experimento com I tratamentos incluindo o padrão P permite a aplicação do teste a 1 I comparações A aplicação do teste é feita da forma seguinte 1º Calcule a estimativa de cada contraste como ˆ ˆ ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ 1 1 Y m mP Y m mP Y m mP I I 2º Calcule a estimativa da variância da estimativa de cada contraste de acordo com 26 1 1 2 ˆ ˆ 1 2 V Y S i I e P i r r i P 3º Calcule o erro padrão do contraste como ˆ ˆ ˆ S Y V Y 4º Calcule a estatística do teste d dada como ˆ d t d S Y onde td valor obtido na Tabela de Dunnett em função do número de graus de liberdade de tratamentos 1 I e do número de graus de liberdade do resíduo 1 n 5º Comparar cada estimativa de contraste em valor absoluto com o valor d A decisão estatística é que se ˆ Y d o contraste será significativo indicando que a média da testemunha difere significativamente da média do tratamento com ela comparado 6º Indicar a significância do teste no valor da estimativa do contraste 27