Capítulo 1: Probabilidade

Capítulo 1 PROBABILIDADE 11 Probabilidade 111 Experimento Aleatório ou NãoDeterministico Um experimento aleatório é um experimento que pode apresentar resultados diferen tes quando repetidos nas mesmas condições ou seja não somos capazes de afirmar que resultado particular ocorrerá no entanto podemos descrever todos os possíveis resultados do mesmo Exemplo 11 Alguns exemplos de experimento aleatório a Lançamento de um dado b Lançamento de uma moeda c Número de peças defeituosas da produção diária de uma máquina d Tempo de vida util de um componente eletrônico 112 Espaço Amostral Um espaço amostral que denotaremos por Ω é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório i CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE ii Exemplo 12 Condiderando o experimento aleatório do exemplo anterior temos o seguinte espaço amostral correspondente a Ω1 1 2 3 4 5 6 b Ω2 c k onde ccara e kcoroa c Ω3 0 1 2 3 4 d Ω4 t t 0 113 Eventos Um evento é um conjunto de resultados do experimento aleatório Na visão de teoria de conjunto um evento é um subconjunto do espaço amostral Ω Em particular todo o espaço Ω e o conjunto vazio são eventos chamados evento certo e evento impossível respectivamente Exemplo 13 Condiderando os espaços amostrais discretos anteriores podemos relacionar eventos tais como a A1 ocorrer face par ao jogar um dado A1 2 4 6 b A2 ocorrer coroa ao jogar uma moeda A2 k c A3 observar no máximo dez peças defeituosas feita por uma máquina A3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d A4 o tempo de vida util de um componente eletrônico é superior a 10 horas A4 t t 10 Usando as operações entre conjuntos podemos formar novos eventos Assim AB é o evento que ocorre quando A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem A B é o evento que ocorre quando A e B ocorrem A é o evento que ocorre quando A não ocorre CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE iii Exemplo 14 Seja o experimento aleatório E lançamento de um dado Dessa forma temos o espaço amostral Ω 1 2 3 4 5 6 Considere os seguintes eventos A1 ocorrer a face par A1 2 4 6 A2 ocorrer a face menor ou igual a 3 A2 1 2 3 A3 ocorrer a face ímpar A3 1 3 5 Então fazendo as seguintes operações temos A1 A2 2 A1 A3 A2 A3 1 3 A1 A2 1 2 3 4 6 A1 A3 1 2 3 4 5 6 Ω A2 A3 1 2 3 5 A1 A3 A2 4 5 6 Exemplo 15 Uma urna contém duas bolas brancas B e três bolas vermelhas V Retirase uma bola ao acaso da urna Se for branca lançase uma moeda e se for vermelha ela é devolvida a urna e uma segunda bola é retirada Dê o espaço amostral desse experimento Vamos considerar os eventos C cara e Kcoroa Ω BC BK V B V V Exemplo 16 Três jogadores AB e C disputam um torneio de tênis Inicialmente A joga com B e o vencedor joga com C e assim por diante O torneio termina quando o jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são disputadas ao todo quatro partidas Quais são os resultados possíveis do torneio Descreva o espaço amostral Ω desse experimento aleatório CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE iv A x B A x C AA A C x B ACC C B x A ACBB B ACBA A B C A B x C BB B C x A BCC C A x B BCAA A BCAB B A C B Portanto o espaço amostral Ω desse esperimento é Ω AA BB ACC BCC ACBB ACBA BCAA BCAB Exemplo 17 Um dado e uma moeda são lançados Dê o espaço amostral para esse experimento e represente seus pontos como o produto dos dois espaços amostrais correspondentes aos experimentos considerados individualmente Vamos denotar C cara e K coroa então Ω 1C 2C 3C 4C 5C 6C 1K 2K 3K 4K 5K 6K CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE v Definição 1 Mutuamente Exclusivos Dois eventos A e B são denominados mu tuamente exclusivos se A B Exemplo 18 Seja o experimento aleatório E lançamento de um dado Então Ω 1 2 3 4 5 6 Considere os eventos A ocorrer a face par A 2 4 6 B ocorrer a face ímpar B 1 3 5 Assim A B que A e B são eventos mutuamente exclusivos 114 Definição de Probabilidade Dado um espaço amostral Ω probabilidade de um evento A indicado por PA é uma função definida em Ω que associa a cada evento um número real satisfazendo as seguintes condições i 0 PA 1 qualquer que seja A Ω ii PΩ 1 iii Se A1 e A2 são eventos mutuamente exclusivos então a probabilidade PA1 A2 PA1 PA2 CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE vi iv Se A1 A2 An são eventos dois a dois mutuamente exclusivos então a probabilidade P i1 Ai i1 PAi Propriedade de Probabilidade P1 P 0 Demonstração Seja A um evento qualquer de Ω Temos que A A e são mutuamente exclusivos Daí PA PA P PA PA P P 0 P2 PA 1 PA Demonstração Podemos escrever que Ω A A Temos que A A A e A são mutuamente exclusivos Daí PΩ PA A PA PA 1 PA PA PA 1 PA P3 A B PA PB Demonstração Por hipótese temos que A B logo podemos escrever que B A B A B B A A B onde A e A B são eventos mutuamente exclusivos Assim PB PA PA B 0 PB PA CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE vii P4 A e B são dois eventos quaisquer de Ω PAB PAPBPAB Demonstração Caso 1 Se A e B são eventos mutuamente exclusivos então PA B 0 e voltamos a condição iii da definição de probabilidade Caso2 Se A B Podemos escrever A B A A B onde A e A B são mutuamente exclusivos Daí PA B PA PA B 11 Temos que B A B A B onde A B e A B são mutuamente exclusivos Então PB PA B PA B PA B PB PA B 12 Substituindo a equação 12 na equação 11 temos PA B PA PB PA B Exercícios 1 Com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 quantos números com algarismos distintos existem entre 500 e 1000 2 Um químico possui dez tipos de substâncias De quantos modos possíveis poderá associar seis dessas substâncias se entre as dez duas somente não podem ser misturadas porque produzem mistura explosiva 3 Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Suponha que PA 0 4 PA B 0 7 e PB p Para que valor de p os eventos A e B são independentes 4 Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas Retire duas bolas da urna sem reposição CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE viii a Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades b Qual a probabilidade de sair bola preta na primeira e segunda extração c Qual a probabilidade de sair bola preta na segunda extração d Qual a probabilidade de sair bola vermelha na primeira extração 5 Um dado é desbalanceado de tal forma que a probabilidade de sair uma certa face é proporcional ao seu valor Por exemplo a face 6 é três vezes mais provável de ocorrer que a face 2 a face 2 é duas vezes mais provável de ocorrer que a face 1 a face 4 é duas vezes mais provável de ocorrer que a face 2 e assim por diante Calcule a A probabilidade de sair o número 5 sabendo que ocorreu face ímpar b A probabilidade de ocorrer face par sabendo que ocorreu o número maior que 3 6 Os números que aparecem na tabela abaixo são probabilidades relacionadas com a ocorrência dos eventos A B A B AB AB AB e AB Assim PA 0 10 PA B 0 04 PB 0 88 e assim por diante Mediante essas informações verifique se os eventos A e B são independentes e justifique sua resposta B B Total A 004 006 010 A 008 082 090 Total 012 088 100 7 O seguinte grupo de pessoas está numa sala 5 rapazes com mais de 21 anos 4 rapazes com menos de 21 anos 6 moças com mais de 21 anos 3 moças com CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE ix menos de 21 anos Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre as 18 Os seguintes eventos são definidos A a pessoa tem mais de 21 anos B a pessoa tem menos de 21 anos C a pessoa é um rapaz D a pessoa é uma moça Calcular a PB D b PA C 115 Espaço Amostral Finito Seja Ω um espaço amostral finito isto é Ω ω1 ω2 ωn Consideramos o evento A formado por um resultado simples ou seja ωi Cada evento simples ωi associaremos um número pi denominado probabilidade de ωi satisfazendo as condições i pi 0 para i 1 2 n ii p1 p2 pn n i1 pi 1 Se A Ω então PA ωiA pωi Exemplo 19 Três cavalos AB e C estão em uma corrida O cavalo A tem duas vezes mais probabilidade de ganhar do que o cavalo B que por sua vez tem duas vezes mais probabilidade de ganhar do que o cavalo C Quais são as probabilidades de vitória de cada cavalo ou seja PA PB e PC Solução Primeiramento vamos fazer o espaço amostral Ω A B C Seja PC p PB 2p 2PC e PA 2PB 2 2p 4p Como PA PB PC 1 4p 2p p 1 7p 1 p 1 7 Portanto PA 4 7 PB 2 7 PC 1 7 CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE x 116 Resultados Igualmente Prováveis Seja Ω um espaço amostral finito Se associarmos a cada ponto amostral a mesma probabilildade dizemos que o espaço amostral é equiprovável Em particular se Ω contem n pontos então a probabilidade de cada ponto é 1 n Por outro lado se um evento A tiver m pontos então PA m 1 n m n Este modo de avaliar PA é frequentemente enunciado da seguinte maneira PA número de casos favoráveis a A número total de casos NCFA NTC Exemplo 110 Uma carta é selecionada ao acaso de um baralho comum de 52 cartas Calcule a probabilidade que esta carta seja a Uma figura b Um rei ou uma carta de paus Solução a A1 a carta é uma figura PA1 NCFA NTC A1 Ω 12 52 3 13 0 23 b A1 a carta é um rei e A2 a carta é de paus PA1A2 PA1PA2PA1A2 4 5213 52 1 52 16 52 4 13 0 3077 Exemplo 111 Uma urna contém cinco bolas brancas e quatro vermelhas Três bolas são retiradas simultaneamente ao acaso da urna Calcule a probabilidade que a sejam todas brancas b duas sejam brancas e uma vermelha CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xi c ao menos uma seja vermelha Solução a A as três bolas retiradas sejam brancas PA A Ω 5 3 9 3 5 23 9 63 54 2 987 32 10 84 0 1191 b B1 duas bolas retiradas sejam brancas B2 uma bola retirada seja vermelha PB1B2 B1 B2 Ω 5 2 4 1 9 3 10 4 31 84 10 4 84 10 21 0 4762 c C ao menos uma bola vermelha Caso 1 Calculando todas a probabilidades de sair 1 ou 2 ou 3 vermelhas PC Psair 1 vermelha Psair 2 vermelhas Psair 3 vermelhas PC 4 1 5 2 9 3 4 2 5 1 9 3 4 3 5 0 9 3 PC 4 10 84 6 5 84 4 1 84 14 84 40 84 30 84 4 84 74 84 PC 0 881 Caso 2 Fazer o cálculo utilizando a propriedade P2 de probabilidade com plementar ou seja PC 1 PC Mas se observarmos no item a CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xii concluímos que PC PA PC 1 PC PC 1 PA PC 1 5 3 9 3 1 10 84 PC 1 0 1191 0 881 117 Espaços de Probabilidades Infinitos discretos Seja E um experimento aleatório e Ω ω1 ω2 ωm um espaço amostral infinito associado a E A cada ponto amostral ωi Ω associamos um número pi Pωi tal que a pi 0 para i 1 2 b i1 pi 1 A probabilidade de um evento qualquer A Ω será PA ωiA pωi Então Ω P constitui um espaço de probabilidade infinito para o experimento aleatório E Exemplo 112 Considere o experimento que consiste no lançamento de uma moeda até que se obtenha cara a Construa o espaço amostral Ω e verifique se este experimento termina b Calcule a probabilidade de que sejam necessários cinco ou menos lançamentos para que isto aconteça Solução CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xiii Exemplo 113 Três indivíduos A B e C lançam uma moeda sucessivamente um de cada vez Nessa ordem ganha o jogo quem obter cara Este jogo termina Se termina qual a probabilidade de cada um ganhar Solução Ω C A KC B KKC C KKKC A KKKKC B KKKKKC C PA 1 2 1 24 1 27 1 210 1 2 1 1 23 1 2 8 7 4 7 0 5714 Exemplo 114 Você quer sortear um brinde entre cinco pessoas mas você só dispõe de um dado balanceado para efetuar o sorteio Como você faria Solução 118 Probabilidade Condicional Seja o experimento aleatório E lançamento de um dado O espaço amostral Ω 1 2 3 4 5 6 Seja os eventos A e B onde o evento A representa ocorrer face 1 no dado e B representa ocorrer face com número ímpar no dado Ou seja A 1 e B 1 3 5 Calculando as probabilidades dos dois eventos temos PA 1 6 e PB 1 2 Podemos no entanto estarmos interessados em avaliar a probabilidade do evento A condicionada à ocorrência do evento B Denotase esta probabilidade por PAB lêse Probabilidade do evento A condicionada a ocorrência do evento B ou ainda lêse Probabilidade de A dado B Voltando no experimento aleatório E lançamento de um dado temos que PAB 1 3 PA CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xiv Observação 101 Dada a informação da ocorrência de um evento temos a redu ção do espaço amostral Ω no experimento acima considerado Ω 1 2 3 4 5 6 foi reduzido para Ω 1 3 5 e é nesse espaço reduzido que avaliamos a probabi lidade do evento A Definição 2 Considere dois eventos quaisquer A B Ω com PB 0 a proba bilidade condicional do evento A quando B tiver ocorrido PAB é dado por PAB PA B PB Exemplo 115 Em uma cidade 40 da população tem cabelos castanhos 25 olhos castanhos e 15 tem simultaneamente cabelos e olhos castanhos Uma pessoa dessa cidade é selecionada aleatóriamente a Se a pessoa tem cabelos castanhos qual é a probabilidade dela também ter olhos castanhos b Se a pessoa tem olhos castanhos qual a probabilidade de não ter cabelos cas tanhos Solução Vamos definir os eventos A a pessoa escolhida ter cabelo castanho e B a pessoa escolhida ter olhos castanhos a PBA PB A PA 0 15 0 40 3 8 0 375 b Para resolver esse item temos que considerar a seguinte igualdade de conjuntos B A B A B PB P A B A B PB PA B PA B PA B PB PA B PA B 0 25 0 15 PA B 0 10 CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xv Dessa forma P AB PA B PB 0 10 0 25 10 25 0 40 Exemplo 116 Um dado é desbalanceado de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor Por exemplo o ponto 6 é três vezes mais provável de ocorrer que o ponto 2 Calcule a A probabilidade de sair o número 5 sabendose que ocorreu face ímpar b A probabilidade de ocorrer face par sabendose que ocorreu um número maior ou igual a 3 Solução Ω 1 2 3 4 5 6 P1 p P2 2p P3 3p P4 4p P5 5p P6 6p Como por definição p 2p 3p 4p 5p 6p 1 temos que p 1 21 0 0476 a Vamos definir os eventos A sair face 5 e B ocorrer face ímpar PAB PA B PB P5 P1 3 5 5 21 9 21 5 9 0 5555 b Vamos definir os eventos C ocorrer face par e D sair número maior ou igual a 3 PCD PC D PD 10 21 18 21 5 9 0 5555 CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xvi 119 Teorema do Produto A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos A1 e A2 do mesmo es paço amostral é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro dado o primeiro isto é PA1 A2 PA1 PA2A1 Observe que é fácil verificar essa igualdade se partirmos da definição de proba bilidade condicional de A dado B De fato PA2A1 PA1 A2 PA1 PA1 A2 PA1 PA2A1 Exemplo 117 Um lote com 12 peças possuem 8 peças boas e 4 peças defeituosas Se retirarmos duas peças uma atrás da outra sem devolução qual a probabilidade de que as duas sejam boas Solução Vamos definir os eventos A1 a primeira peça escolhida é boa A2 a segunda peça escolhida é boa Dessa forma temos A1 A2 Ω PA1 A2 PA1 PA2A1 8 12 7 11 14 33 0 4242 Exemplo 118 Considere um baralho de 52 cartas Retirase duas cartas sem reposição e observeas Qual a probabilidade de que ambas sejam ases Solução Vamos definir os eventos A1 a primeira carta é um ás A2 a segunda carta é um ás Dessa forma temos A1 A2 Ω PA1 A2 PA1 PA2A1 4 52 3 51 1 221 0 0045 CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xvii Observação 102 O conceito acima pode ser estendido para um número n qualquer de eventos Assim se A1 A2 A3 An são eventos de um espaço amostral Ω tem se PA1 A2 A3 An PA1 PA2A1 PA3A1 A2 PAnA1 A2 A3 An1 Que pode ser elegantemente representado por P n i1 Ai n i1 P Ai i1 j1 Aj 1110 Independência Estatística Um evento A2 é considerado independente de um evento A1 se a probabilidade condicional de A2 dado A1 é igual a probabilidade de A2 ou seja PA2A1 PA2 Como pelo Teorema do Produto temos que PA1 A2 PA1 PA2 A1 podemos afirmar que se A1 e A2 forem independentes PA1 A2 PA1 PA2 Exemplo 119 Considerando novamente o lote de 12 peças dentre as quais 4 são defeituosas Se retirarmos duas peças com reposição qual a probabilidade de que ambas sejam não defeituosas boa Solução Vamos definir os eventos A1 a primeira peça seja boa A2 a segunda peça seja boa PA1 A2 PA1 PA2 8 12 8 12 4 9 0 4444 CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xviii Observação 103 Aqui também o conceito acima pode ser estendido para um número n de eventos independentes Nesse caso os n eventos são independentes se forem independentes 2 a 2 3 a 3 n a n isto é Caso 2 a 2 independentes PA1 A2 PA1 PA2 PAn1 An PAn1 PAn Caso 3 a 3 independentes PA1 A2 A3 PA1 PA2 PA3 PAn2 An1 An PAn2 PAn1 PAn Caso n a n independentes PA1 A2 An PA1 PA2 PAn Exemplo 120 Seja Ω 1 2 3 4 um espaço amostral equiprovável Verifique se os eventos A1 1 2 A2 1 3 e A3 1 4 são independentes Solução PA1 PA2 PA3 1 2 PA1 A2 A3 P1 1 4 PA1 PA2 PA3 1 8 PA1 A2 A3 Portanto os eventos A1 A2 e A3 não são independentes CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xix 1111 Teorema de Bayes Sejam n eventos mutuamente exclusivos A1 A2 An tais que i A1 A2 An Ω ii PAi deve ser conhecida para i 1 2 n iii B um evento qualquer de Ω tal que PBAi i 1 2 n também sejam conhecidas CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xx Figura 11 Diagrama de Venn ilustrando o Teorema de Bayes Então para cada i temse PAiB PAiPBAi n j1 PAjPBAj 13 De fato da definição de probabilidade condicional temos que para cada i 1 2 n PAiB PAi B PB Podemos escrever o conjunto B como uma união de subconjuntos disjuntos ou seja B A1 B A2 B An B onde Ai B são mutuamente exclusivos para i 1 2 n Aplicando a função probabilidade de ambos os lados e utilizando o Teorema do Produto temos PB PA1 B PA2 B PAn B PB PA1 B PA2 B PAn B PB PA1PBA1 PA2PBA2 PAnPBAn PB n j1 PAjPBAj Portanto PAiB PAiPBAi n j1 PAjPBAj CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xxi Exemplo 121 Uma Companhia produz circuitos integrados em três fabricas F1 F2 e F3 A fabrica F1 produz 40 dos circuitos enquanto as fabricas F2 e F3 produzem 30 cada uma As probabilidades de um circuito integrado produzido por estas fabricas não funcione é 001 da F1 004 da F2 e 003 da F3 Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas verificase que o mesmo é defeituoso Determine a probabilidade de ter sido produzido por cada uma das fábricas Solução Vamos definir os eventos A1 o circuito é produzido pela fábrica F1 A2 o circuito é produzido pela fábrica F2 A3 o circuito é produzido pela fábrica F3 B o circuito é defeituoso PA1B PA1PBA1 PA1PBA1 PA2PBA2 PA3PBA3 0 40 01 0 40 01 0 30 04 0 30 03 0 004 0 025 0 16 PA2B PA2PBA2 PA1PBA1 PA2PBA2 PA3PBA3 0 40 01 0 40 01 0 30 04 0 30 03 0 012 0 025 0 48 PA3B PA3PBA3 PA1PBA1 PA2PBA2 PA3PBA3 0 40 01 0 40 01 0 30 04 0 30 03 0 009 0 025 0 36 Portanto a probabilidade do circuito defeituoso ter vindo da fábrica F1 é de 16 da fábrica F2 é de 48 e da fábrica F3 é de 36 CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xxii Exemplo 122 Uma urna A contém 4 bolas 2 brancas e 2 pretas Uma outra urna B contém 5 bolas 3 brancas e 2 pretas Uma bola é transferida de A para B e em seguida uma bola é retirada de B e verificada ser branca Qual a probabilidade de que a bola transferida tenha sido branca Solução Vamos definir os eventos M a bola retirada de B é branca N1 a bola transferida de A para B é branca N2 a bola transferida de A para B é preta PN1M PN1PMN1 PN1PMN1 PN2PMN2 2 4 4 6 2 4 4 6 2 4 3 6 4 7 0 57 Exemplo 123 Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 bolas brancas Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e é abandonada Em seguida duas bolas da outra cor são colocadas na urna Umas segunda bola é então selecionada da urna Encontre a probabilidade de que a a segunda bola seja vermelha b ambas as bolas sejam da mesma cor c se a segunda bola é vermelha qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha d se ambas são da mesma cor qual é a probabilidade de que sejam branca Solução Vamos definir os eventos A1 a primeira bola retirada é vermelha A2 a segunda bola retirada é vermelha C ambas as bolas retiradas são da mesma cor CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xxiii a A2 A2 A1 A2 A1 PA2 PA2 A1 PA2 A1 PA2 PA1PA2A1 PA1PA2A1 PA2 5 8 4 9 3 8 7 9 41 72 0 5694 b C A1 A2 A1 A2 PC PA1PA2A1 PA1PA2 A1 PC 5 8 4 9 3 8 2 9 26 72 0 3611 c PA1A2 PA1 A2 PA2 PA1PA2A1 PA2 PA1A2 PA1PA2A1 PA1 A2 PA1 A2 PA1A2 PA1PA2A1 PA1PA2A1 PA1PA2A1 PA1A2 20 72 41 72 20 41 0 4878 CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xxiv d P A1 A2C P A1 A2 C PC P A1 A2 P CA1 A2 PC P A1 A2C P A1 A2 P CA1 A2 P A1 A2 P CA1 A2 P A1 A2 P CA1 A2 P A1 A2C P A1 P A2A1 P CA1 A2 P A1 P A2A1 P CA1 A2 P A1 P A2A1 P CA1 A2 P A1 A2C 3 8 2 9 1 3 8 2 9 1 5 8 4 9 1 6 26 0 2308 Exemplo 124 Mostre que se A e B são eventos independentes também o serão a A e B b A e B c A e B Solução a PA B PA PB A A B A B PA PA B PA B PA B PA PA B PA B PA PA PB PA B PA 1 PB PA B PA PB b P A B P A P B B A B A B PB PA B P A B P A B PB PA B P A B PB PA PB P A B PB 1 PA PA B PB PA CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xxv c P A B P A P B P A B De Morgan P A B P A B 1 P A B P A B 1 PA PB PA B P A B 1 PA PB PAPB P A B 1 PA PB1 PA P A B 1 PA 1 PB P A B PA PB Exercícios 1 Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Ω Suponha que PA 0 4 PA B 0 7 e PB p Para que valor de p os eventos A e B são independentes 2 Considere A B e C três eventos pertencentes a um espaço amostral Ω Sa bendo que PA 1 2 PB 1 3 e PA B 1 4 calcular a PA B b PAB c PBA d PA BB 3 Sabese que durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 03 Sabese também que um time de futebol ganha um jogo em um dia de chuva com a probabilidade de 04 e consequentemente ganha um jogo em um dia sem chuva com a probabilidade 06 Se esse time ganhou um jogo em novembro qual a probabilidade de que choveu nesse dia 4 Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas Retire duas bolas da urna sem reposição a Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xxvi b Qual a probabilidade de sair bola preta na primeira e segunda extração c Qual a probabilidade de sair bola preta na segunda extração d Qual a probabilidade de sair bola vermelha na primeira extração 5 Suponha que a ocorrência ou não de chuva nos meses de dezembro janeiro e fevereiro dependa das condições do tempo no dia imediatamente anterior Admitase que se chove hoje choverá amanhã com probabilidade 0 4 Por ou tro lado se não chove hoje choverá amanhã com probabilidade 0 5 Sabendo se que choveu dia 10 de janeiro calcule a probabilidade de que choverá no dia 13 deste mesmo mês 6 Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose Das pessoas que tem tuberculose 80 reagem positivamente ao teste Y enquanto apenas 30 dos que não tem tuberculose reagem positivamente Uma pessoa da população é selecionada ao acaso e o teste Y é aplicado Qual a probabili dade de que esta pessoa tenha tuberculose se reagiu positivamente ao teste 7 Uma mesa tem três gavetas e cada gaveta tem duas bolas A primeira gaveta tem duas bolas brancas a segunda gaveta tem uma bola branca e uma bola preta e a terceira gaveta tem duas bolas pretas Se escolhermos uma das três gavetas ao acaso e retirarmos uma bola sem olhar ao acaso e constatarmos que ela é de cor branca qual a probabilidade da segunda bola retirada também ser da cor branca 8 Em certo colégio 5 dos homens e 2 das mulheres têm mais do que 1 80 m de altura Por outro lado 60 dos estudantes são homens Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1 80 m de altura qual a probabi lidade de que o estudante seja mulher 9 Bussab Morettin Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições Uma salada completa ou um prato a base de carne Sabese que 20 dos fregueses do sexo masculino preferem salada Sabese também que 30 CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE xxvii das mulheres escolhem carne E finalmente sabese que 75 dos fregueses são homens Considere os seguintes eventos H freguês é homem A freguês prefere salada M freguês é mulher B freguês prefere carne Calcular a PA PAH PBM b PA H PA H c PMA