Capítulo 4: Testes para Comparações de Médias em Experimentação Agropecuária

1 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves Capitulo4Testes para Comparações de Médias Os testes de comparações entre médias servem como complemento ao teste F da análise de variância para o caso de os tratamentos serem qualitativos Os principais procedimentos para comparações de médias são 1 Teste t de Student Os requisitos básicos para sua aplicação são os seguintes a os contrastes a serem testados devem ser estabelecidos antes dos dados serem obtidos e b os contrastes a serem testados devem ser ortogonais entre si Este teste serve para comparar duas médias ou grupos de médias por meio de contrastes Por exemplo a estimativa de contraste de médias ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 2 2 Y c m c m c m n n pode ser testada calculandose a estatística t dada por ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ Y Y t S Y V Y O valor absoluto da estatística t deve ser comparado com os valores tabelados em função do número de graus de liberdade do resíduo e da probabilidade desejada As hipóteses sob consideração são 2 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves 0 0 0 H Y e H Y a A regra de decisão é que se t t gl do resíduo rejeitase H0 caso contrário não se rejeita H0 O intervalo de confiança para um contraste de médias é dado por ˆ ˆ ˆ ˆ 1 IC Y t S Y Y Y t S Y onde o valor de t é obtido na tabela de t em função do número de graus de liberdade do resíduo e da probabilidade adotada 2 Teste de Bonferroni É um aperfeiçoamento do teste t Sabese que mesmo que se observem os requisitos básicos do teste t ele não é exato quando aplicado a dois ou mais contrastes de um mesmo experimento Por exemplo quando se adota o nível de significância de 5 para testar cada um dentre três contrastes a probabilidade de que pelo menos um seja significativo por simples acaso passa a ser aproximadamente 3 5 15 De maneira geral se o nível de significância for para cada contraste a probabilidade de que pelo menos um de n contrastes ortogonais seja significativo por acaso é de n 3 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves Para contornar este problema o teste de Bonferroni indica o uso de um nível de significância n para cada contraste para um conjunto de contrastes temos n Para facilitar a aplicação do teste de Bonferroni existem tabelas t especiais Por exemplo para 5 3 e n contrastes o valor de t de Bonferroni para cada contraste corresponde a um nível de significância 5 3 167 considerando 20 gl para o resíduo o valor de t na tabela de Bonferroni é t 261 Este valor de t é que será usado ao aplicar o teste a 3 contrastes preferencialmente ortogonais A estatística t é calculada como da maneira anterior ou seja ˆ ˆ Y t S Y e associada com t n gl resíduo O intervalo de confiança para um contraste de médias é dado por ˆ ˆ ˆ ˆ 1 IC Y t S Y Y Y t S Y b b onde o valor de tb é obtido na tabela de Bonferroni em função do número de graus de liberdade do resíduo e da probabilidade adotada 4 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves Exemplo de Aplicação Suponhamos um experimento conduzido no delineamento inteiramente casualizado com as médias de tratamentos e análise de variância apresentados a seguir Quadro 1 Médias de tratamentos Tratamentos Médias A 40 B 50 C 67 D 70 E 47 F 73 Média Geral 58 Quadro 2 Resumo da Análise de Variância FV SQ GL QM F Trat 2911 5 582 388 Res 1800 12 150 Total 4711 17 CV 2112 5 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves Aplicar os testes t e de Bonferroni para comparações entre médias de tratamentos DiscutirInterpretar os resultados Resolução 1 Teste t de Student ˆ 0 ˆ Y t S Y 2 2 ˆ ˆ 1 S V Y C r i i ˆ ˆ ˆ S Y V Y Considere que os contrastes comparações ortogonais planejados e suas estimativas foram ˆ 40 50 10 1 ˆ 67 70 03 2 ˆ 47 73 26 3 ˆ 2 270 47 40 53 4 Y X XB A Y X XD C Y X X E F Y X X X D E A As estimativas das variâncias destes contrastes são 6 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves 150 2 2 ˆ ˆ 1 1 10 1 3 V Y ˆ ˆ 10 2 ˆ ˆ 10 3 150 2 2 2 ˆ ˆ 2 1 1 30 4 3 V Y V Y V Y Os valores da estatística t para os testes dos contrastes são As comparações entre t e t tabelado são ˆ 10 12 218 10 005 1 ˆ 03 12 218 03 005 2 ˆ 26 12 218 26 005 3 ˆ 31 12 218 53 005 4 t Y ns t Y ns t Y t Y 10 10 1 10 03 03 2 10 26 26 3 10 53 31 4 30 t t t t 7 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves Os intervalos de confiança com probabilidade 005 para os contrastes ˆ 10 1 Y X XB A e ˆ 2 53 Y4 X X X D E A são obtidos como a seguir ˆ ˆ ˆ ˆ 095 1 1 1 1 005 005 IC Y t S Y Y Y t S Y 10 218 10 10 218 10 095 318 118 095 IC Y IC Y ˆ ˆ ˆ ˆ 095 4 4 4 4 005 005 IC Y t S Y Y Y t S Y 53 218 30 53 218 30 095 152 908 095 IC Y IC Y 2Teste de Bonferroni ˆ 0 ˆ Y t S Y 2 2 ˆ ˆ 1 S V Y C r i i ˆ ˆ ˆ S Y V Y 8 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves Considere que os contrastes comparações ortogonais planejados e suas estimativas foram ˆ 40 50 10 1 ˆ 67 70 03 2 ˆ 47 73 26 3 ˆ 2 270 47 40 53 4 Y X XB A Y X XD C Y X X E F Y X X X D E A As estimativas de variâncias destes contrastes são 150 2 2 ˆ ˆ 1 1 10 1 3 V Y ˆ ˆ 10 2 ˆ ˆ 10 3 150 2 2 2 ˆ ˆ 2 1 1 30 4 3 V Y V Y V Y Os valores da estatística t para os testes dos contrastes são 9 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves As comparações entre t e tb tabelado são ˆ 10 412 294 10 1 005 ˆ 03 412 294 03 2 005 ˆ 26 412 294 26 3 005 ˆ 31 412 294 4 53 005 t Y ns b t Y ns b t Y ns b t Y b Os intervalos de confiança com probabilidade 005 para os contrastes ˆ 10 1 Y X XB A e ˆ 2 53 Y4 X X X D E A são obtidos como a seguir 10 10 1 10 03 03 2 10 26 26 3 10 53 31 4 30 t t t t 10 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves ˆ ˆ ˆ ˆ 095 1 1 1 1 005 005 IC Y t S Y Y Y t S Y b b 10 294 10 10 294 10 095 394 194 095 IC Y IC Y ˆ ˆ ˆ ˆ 095 4 4 4 4 005 005 IC Y bt S Y Y Y t S Y b b 53 294 30 53 294 30 095 021 1039 095 IC Y IC Y 3 Teste de Tukey Deve ser usado para testar todos os contrastes entre duas médias de tratamentos não permite comparar grupos de médias entre si O teste é de fácil uso e exato quando o número de repetições é igual para todos os tratamentos O teste tem por base a diferença mínima significativa calculada como ˆ q S q S Y r onde 11 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves q amplitude estudentizada cujo valor é tabelado em função do número de tratamentos n do número de graus de liberdade do resíduo n e da probabilidade escolhida Re S QM s desvio padrão residual rnúmero de repetiçõesobservações usado para calcular as médias comparadas no contraste A regra de decisão é que se ˆY o contraste é dito ser significativo para a probabilidade adotada indicando que as duas médias contrastadas diferem entre si Se as duas médias comparadas no contraste não possuírem o mesmo número de repetições podemos aplicar o teste de forma aproximada calculandose a diferença mínima significativa como 1 ˆ ˆ 2 q V Y onde ˆ ˆ ˆ Y m m i j comr r i j e 1 1 2 ˆ ˆ V Y S r r i j 12 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves 4 Teste de Duncan É um teste menos rigoroso que o teste de Tukey isto é discrimina mais os resultados entretanto é de aplicação mais trabalhosa Exige que as médias sejam colocadas em ordem decrescente de valor e que todas elas possuam o mesmo número de repetições O teste deve ser usado para testar todos os contrastes entre duas médias de tratamentos mas a amplitude do contraste pode abranger um número maior de médias O teste baseiase na amplitude total mínima significativa Di dada por ˆ S D Z Z S Y i i i r onde Zi amplitude total estudentizada cujo valor é encontrado em tabelas em função do número de médias abrangidas pelo contraste n do número de graus de liberdade do resíduo n e da probabilidade escolhida Re S QM s desvio padrão residual rnúmero de observações usado para calcular as médias testadas no contraste 13 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves A regra de decisão é que se ˆY Di o contraste é não significativo indicando que não podemos rejeitar H0 e concluímos que as médias comparadas não diferem entre si Unimos as médias abrangidas pelo contraste por uma barra e não podemos mais comparar médias que estiverem dentro da mesma barra Se ˆY Di o contraste é significativo concluímos que as médias contrastadas diferem entre si e passamos a testar contrastes que abranjam um menor número de médias Quando as médias não tiverem sido estimadas como o mesmo número de observações o teste será apenas aproximado e calculase a amplitude total mínima significativa como 1 ˆ ˆ 2 D Z V Y i i onde 1 1 2 ˆ ˆ V Y S r r i j e r r i j Exemplo de Aplicação Suponhamos um experimento conduzido no delineamento inteiramente casualizado com as 14 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves médias de tratamentos e análise de variância apresentados a seguir Quadro 1 Médias de tratamentos Tratamentos Médias A 40 B 50 C 67 D 70 E 47 F 73 Média Geral 58 Quadro 2 Resumo da Análise de Variância FV SQ GL QM F Trat 2911 5 582 388 Res 1800 12 150 Total 4711 17 CV 2112 3 Teste de Tukey 15 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves 612 475 005 150 475 475071 340 3 q S q r 5 340 diferença mínima significativa de Tukey ao nível de 5 de probabilidade Quadro de contrastes de médias de tratamentos F 73 D 70 C 67 B 50 E 47 A 40 F 73 03ns 06ns 23ns 26ns 33ns D 70 03ns 20ns 23ns 30ns C 67 17ns 20ns 27ns B 50 03ns 10ns E 47 07ns A 40 16 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves Observe que o teste de Tukey não apontou nenhum contraste significativo entre duas médias de tratamentos o que demonstra o grande rigor deste teste 4 Teste de Duncan Re 150 071 3 QM s S S D Z r i i r r Comparadores de Duncan 005 Médias Abrangidas 2 3 4 5 6 Zi 308 323 333 336 340 Di 219 229 236 239 241 D2 D3 D4 D5 D6 17 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves Quadro de contrastes de médias de tratamentos F 73 D 70 C 67 B 50 E 47 A 40 F 73 03 D2ns 06 D3ns 23 D4ns 26 D5 33 D6 D 70 03 D2ns 20 D3ns 23 D4ns 30 D5 C 67 17 D2ns 20 D3ns 27 D4 B 50 03 D2ns 10 D3ns E 47 07 D2ns A 40 Observe que o teste de Duncan apresentou quatro contrastes significativos o que demonstra a maior facilidade de discriminação deste teste ou seja seu menor rigor Outra forma de expressar a significância é a 241 33 D6 F A b 239 26 30 D5 F E D A 18 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves c 236 23 23 27 4 ns ns D F B D E C A d 229 06 20 3 20 10 ns ns D F C D B ns ns C E B A Ainda outra forma de expressar a significância F 73 F 73 a F 73 a D 70 D 70 a b D 70 a b C 67 C 67 a b C 67 a b B 50 B 50 a b c B 50 a b c E 47 E 47 b c E 47 b c A 40 A 40 c A 40 c Observe que as médias seguidas de uma mesma letra ou unidas por uma mesma barra não diferem estatisticamente entre si a 5 de probabilidade pelo teste de Duncan 19 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves 5 Teste de Student Newman Keuls SNK É um teste baseado no teste de Tukey e no teste de Duncan porque também leva em consideração o número de médias abrangidas pelo contraste e utiliza a amplitude estudentizada q do teste de Tukey Deve ser usado para comparar todos os contrastes entre duas médias de tratamentos Em geral é um teste intermediário quanto ao rigor quando comparado com os testes de Tukey e Duncan ou seja não é tão rigoroso quanto o teste de Tukey nem pouco rigoroso quanto o teste de Duncan especialmente quando se testa grande número de tratamentos O teste baseiase na amplitude total mínima significativa Wi que é dada por ˆ S W q q S Y i i i r onde qi amplitude estudentizada que é tabelada em função do número de médias abrangidas pelo contraste ni do número de graus de liberdade do resíduo n e da probabilidade desejada 20 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves O valor de qi é retirado da mesma tabela usada no teste de Tukey considerandose o número de médias abrangidas pelo contraste no lugar do número de tratamentos Quando a maior média não diferir significativamente da menor não se admitirá diferença significativa pelo mesmo teste entre as médias intermediárias e passamos a testar contrastes que abrangem um menor número de médias Quando as médias forem provenientes de número diferente de repetições o teste será apenas aproximado e dado por 1 ˆ ˆ 2 W q V Y i i onde 1 1 2 ˆ ˆ V Y S r r i j e r r i j Exemplo de Aplicação Considere os mesmos resultados de análise de variância e de médias apresentados anteriormente 5 Teste de SNK 21 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves 071 S S W q i i r r Comparadores de SNK 005 Médias Abrangidas 2 3 4 5 6 qi 308 377 420 451 475 Wi 219 268 298 320 337 W2 W3 W4 W5 W6 Quadro de contrastes de médias de tratamentos F 73 D 70 C 67 B 50 E 47 A 40 F 73 03 W2ns 06 W3ns 23 W4ns 26 W5ns 33 W6ns D 70 03 W2ns 20 W3ns 23 W4ns 30 W5ns C 67 17 W2ns 20 W3ns 27 W4ns B 50 03 W2ns 10 W3ns E 47 07 W2ns A 40 22 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves Observe que nenhum contraste é significativo pelo teste de SNK o que demonstra um resultado semelhante ao obtido no teste de Tukey Entretanto normalmente o teste de SNK apresenta um resultado intermediário entre o teste de Tukey e o teste de Duncan 6 Teste de Scheffé Este teste pode ser aplicado para testar todo e qualquer contraste de médias Entretanto é frequentemente utilizado para testar contrastes que envolvem grupos de médias Para sua aplicação correta exige apenas que o teste F para tratamentos seja significativo A estatística do teste denotada por S é calculada como ˆ ˆ 1 S I F V Y onde I número de tratamentos do experimento F valor crítico da tabela de F a uma probabilidade em função dos números de graus de liberdade de tratamentos e de resíduo 23 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves A decisão estatística é que se ˆY S dizemos que o contraste é significativo a uma probabilidade o que indica que os grupos de médias do contraste diferem entre si a essa probabilidade A estimativa da variância da estimativa do contraste ˆ ˆ V Y é dada por 2 2 2 2 ˆ ˆ 1 2 1 2 C C Cn V Y S r r rn ou 2 2 ˆ ˆ 1 n S V Y C r i i quando o número de repetições é igual para todos os tratamentos 7 Teste de Dunnett Este teste é utilizado quando se deseja comparar apenas a testemunha um tratamento padrão com cada um dos demais tratamentos não havendo interesse na comparação dos demais tratamentos entre si Desta forma um experimento com I tratamentos incluindo o padrão P permite a aplicação do teste a 1 I comparações A aplicação do teste é feita da forma seguinte 24 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves 1º Calcule a estimativa de cada contraste como ˆ ˆ ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ 1 1 Y m mP Y m mP Y m mP I I 2º Calcule a estimativa da variância da estimativa de cada contraste de acordo com 1 1 2 ˆ ˆ 1 2 V Y S i I e P i r r i P 3º Calcule o erro padrão do contraste como ˆ ˆ ˆ S Y V Y 4º Calcule a estatística do teste d dada como ˆ d t d S Y onde td valor obtido na Tabela de Dunnett em função do número de graus de liberdade de tratamentos 1 I e do número de graus de liberdade do resíduo 1 n 5º Comparar cada estimativa de contraste em valor absoluto com o valor d 25 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves A decisão estatística é que se ˆ Y d o contraste será significativo indicando que a média da testemunha difere significativamente da média do tratamento com ela comparado 6º Indicar a significância do teste no valor da estimativa do contraste Exemplos de Aplicação Considere os resultados de análise de variância e de médias apresentados anteriormente 6 Teste de Scheffé ˆ ˆ 1 S I F V Y Re 2 ˆ ˆ 1 n QM s V Y C r i i F005 512 311 Considere o teste do contraste de interesse ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 50 4 7 1 150 2 2 2 ˆ ˆ 2 1 1 30 3 6 131130 68 Y m m m B D A V Y S 26 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves S005 68 diferença mínima significativa de Scheffé a 5 de probabilidade Como ˆ 1 005 68 Y S o contraste é dito ser não significativo a 5 de probabilidade pelo teste de Scheffé 7 Teste de Dunnett ˆ d t d S Y ˆ ˆ ˆ S Y V Y 2 2 ˆ ˆ 1 n S V Y C r i i 005 512 300 150 2 2 ˆ ˆ ˆ 1 1 10 10 3 30010 300 td V Y S Y d d 005 300 diferença mínima significativa de Dunnett a 5 de probabilidade Considerando o tratamento A como testemunha temse 10 27 ns B A ns C A 27 Implantação condução e análise de experimentos agropecuários Manoel Carlos Gonçalves 30 07 33 D A ns E A F A Observe que apenas os tratamentos D e F diferiram da testemunha