Probabilidade de Falhas em Placas Plásticas e Válvulas: Análise de Distribuição Binomial e Poisson

Probabilidade e Estatística Modelos Discretos 4 Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 02 Se 10 itens produzidos por esta máquina são selecionados ao acaso qual é a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado Use a Binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados 8 Suponha que o número de falhas em certo tipo de placa plástica tenha distribuição de Poisson com taxa módia de 005 defeito por m² Na coustrução de um barco é necessário cobrir uma superfície de 3m x 2m com essa placa a Qual é a probabilidade de que não haja falbas nessa superficie b Qual é a probabilidade de que haja mais que uma falha nessa superficie c Na eiustrução de 5 hartus qual é a prolabilidade de que pelo menos 4 não apresentem defeito na superficie plástica 11 Modelo Binomial ou Hipergeométrico Uma fábrica produz válvulas das quais 20 são defeituosas As válvulas são vendidas em caixas com 10 peças Se uma caixa não tiver nenhuma defcituosa seu proço de venda ó 1000 Se uma caixa tiver uma peça defeituosa sen preço de venda é 8800 Se tiver duas ou três com defeito o preço de venda é 600 Agora se tiver mais do que três peças defeituosas o preço de venda 6 200 Qual o preço médio de venda de uma caixa de válvulas Respostas 648 15 Na produção de rolhas de cortiça não é possível garantir qualidade homogênea devido as variações internas das placas de cortiça Em função disso um equipamento separa as rollhas que saem da linha de produção em duas categorias A e B Os dados históricos mostram que 40 são classificadas como Ae 60 como B O fabricante vende por R 10000 o milhar de rolhas da categoria A e por R 6000 o milliar da categoria B Um comprador propõe comprar a produção diária da fabrics Ele fará um plano de amostragem extraindo rolhas aleatoriamente Se encontrar mais que 5 rolhas da categoria A ele paga R 20000 caso contrário ele paga R 5000 Podese a Qual é a probabilidade do comprador encontrar mais de 5 rolhas da classe A b Qual é o hicro esperado do fabricante por milliar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador Em termos de Incro esperado a proposta do comprador é mais vantajosa do que a venda separada por categoria c Qual é a variância do lucro du fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador Modelos Contínuos 5 O diámetro X de rolamentos de esfera fabricados por certa fábrica tem distribuição N 0 6140 00025 O lucro de cada esfera depende de seu diâmetro onde a Calcular as probabilidades das esferas serem bons recuperáveis e defeituosas b Caleniar o valor esperado ET 9 Suponia que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos D₁ e Da tenham distribuições N 42 36 e 45 0 respectivamente Se o aparelho é para ser usado por periodo de 45 horas qual aparelho deve ser escolhido E se for por um período de 19 horas qual o aparelho devo escolher 13 Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante está regulada para que o volume médio de líquido em cada parrafa de refrigerante seja de 1000 em e o desvío padrão de 10 cm Podese admitir que a distribuição da variável seja normal a Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm³ b Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido está situado entre 2 desvios padrões 14 defeito grave no prazo de seis meses A empresa produz automóveis do tipo A linha de entrada e do tipo B top de linha com lucro de R 100000 e R 200000 respectivamente caso não haja restituição e com um prejuízo de R 300000 RS 800000 respectivamente se houver restituição Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave seja em ambos os casos umma variável aleatória com distribuição normal respectivamente com médias 9 meses e 12 meses e variîncias 4 meses e 9 meses Se tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa voce incentivaria as vendas dos automóveis do tipo A ou do tipo B Justifique 4º Questão O evento não mais do que 1 item defeituoso é dado por x 01 E x L onde x é o número de itens defeituosos Sua probabilidade é Px0 U x1 Px0 Px1 Se utilizarmos a distribuição binomial X b1002 então Px0 Px1 100 1p10 101 p1p9 100 0810 101 02 089 03758 Se utilizarmos a distribuição Poisson para aproximar a binomial temos que X Poisson onde λ np a probabilidade do evento x0 U x1 é dada por Px0 U x1 Px0 Px1 λ0 200 λ1 211 04060 Vemos que as probabilidades diferem em 3 pontos percentuais 9º Questão D1 N4236 D2 N450 PD145 Pz 454236 Pz 36 12 Pz 05 03085 PD245 Pz 45450 Pz 0 05 Logo a probabilidade da 1ª maior para durar 45 h PD1 39 Pz 39426 Pz 36 Pz 083 00001 PD2 39 Pz 39450 Pz 0 0 Nesse caso D1 13º Questão a Paratagem de garrafas em que o Volume de liquido é menor que 990 cm³ X volume médio do líquido em cada garrafa cm³ X N100010 PX 990 Pz 990100010 Pz 1 Pz 1 1 P1 1 08413 01587 Então um 1587 das garrafas o volume do liquido é menor que 990 cm³ b σ30 2σ20 M2σ100020980 M2σ1000201020 P980 x 1020 P980100030 z 1020100010 P2 z 2 Pz 2 Pz 2 Pz 2 Pz 2 Pz 2 1 Pz 2 2 09772 1 09544 95 Portanto em 95 das garrafas aproximadamente o volume está entre dois desvios padrão 14º Questão Tipo A lucro R100000 Prejuizo R 300000 Tipo B lucro R200000 Prejuizo R 800000 Variável com distribuição normal média 9 meses Tipo A e 12 meses Tipo B Variância A 4 meses Variância B 9 meses O automóvel do Tipo A tem variância só de 4 meses logo o desvio padrão será σ 4 σ 2 meses O automóvel do tipo B tem variância de 9 meses logo o desvio padrão será σ 9 σ 3 meses A N92 B N123 Para o automóvel do tipo A PX 6 P Z 6 92 PZ 15 PZ 15 1 PZ 15 1 09332 00668 Para o automóvel do tipo B PX 6 PZ 6 123 PZ 2 PZ 2 1 PZ 2 1 09772 00228 Portanto os lucros esperados para os dois produtos são A 3000 09332 3000 00668 B 2000 09772 8000 00228 A 9332 2004 R 7328 B 19544 1824 R 1772 Portanto rentáveis as vendas do automóvel tipo B 5º Questão N06140 00025 a Para empresas boas PCB P 0610 D 0618 P 0610 0614 00025 D 0614 00025 0618 0614 00025 PCB P 16 Z 16 08904 089 Para empresas recuperáveis PCR P0608 0610 P0618 D 0620 PCR P 0608 0614 00025 D 0614 00025 0610 0614 00025 P 0618 0614 00025 D 0614 00025 0620 0614 00025 PR P24 D 16 P16 D 24 00932 0094 Para empresas definitivas PZ PD 0608 PD 0620 PZ P D 0614 00025 0608 0614 00025 PD 0614 00025 0620 0614 00025 PZ PZ 24 PZ 24 00164 0017 b 010 005 010 PCT 08904 00932 00164 Et 01 08904 005 00932 010 00164 Et 008904 000466 000164 Et 009206 11 Questão 20 são defectuosos caixas com 10 peças nenhuma defectuosa 1000 1 defectuosa 800 2 a 3 defectuosas 600 X Preço de venda da caixa Y número de válvulas defectuosas em cada caixa Y b10 020 PX k n k pk qnk k 0 1 2 n Fómula Binomial PCY 0 10 0 0200 08010 0107374 PCY 1 10 1 0201 0809 02684 PCY 2 10 2 0202 0808 03020 PCY 3 10 3 0203 0807 02013 PCY 3 Σ 10 k 020k 08010k 01209 k4 X 1000 880 600 200 PXx 01074 02684 05033 01209 Ex 1074 236192 30198 02418 Ex 669 15 Questão a 40 04 Pxk m k pk 1pnk n número de tentativas k o número de sucessos p a probabilidade de sucesso PX5 PX6 PX7 PX8 PX6 8 6 046 062 00455 PX7 8 7 047 061 00106 PX8 8 8 048 060 00007 Somando as probabilidades tenho PX5 00455 00106 00007 00568 A probabilidade de encontrar mais 5 notas classe A é de 00568 ou 568 b L PX5 200 PX5 50 L 00568 200 09432 50 L 1136 4716 L 5882 Por milhares lucro médio 04 100 06 60 M 40 36 M 76 por milhares A venda por categoria separada é mais vantajosa c EL2 PX5 2002 PX5 502 EL2 00568 2002 09432 50 EL2 22736 2358 EL2 46316 V EL2 EL2 V 46316 5852 v 399073 8 Questão a A fórmula para a distribuição de poisson fx eλ λx x e base do logaritmo natural a 271828 x variável aleatória de Poisson λ taxa de média de faltas que é dada 005 defic porm2 f0 e0056 00560 0 Simplificando obtém f0 e03 f0 07408 A probabilidade de que não haja faltas na superfície é 07408 b P x 1 px 1 1 px 1 px 0 e0056 00560 0 e03 07408 px 1 e0056 00561 1 03 e03 02222 px 1 px 0 px 1 07408 02222 09630 px 1 1 px 1 1 09630 00370 e p cy y n y py 1 pn y pc y 0 5 0 0740 107450 1 0745 0002 pc y 1 5 1 0741 1 07451 5 074 1 0744 002 pc y 2 5 2 0742 107452 10 0742 1 0743 009 pc y 3 5 3 0743 107453 10 0743 1 0742 025 pc y 4 1 0002 002 009 025 063