Lista de Exercicios - Probabilidade e Estatistica - Intervalos de Confianca

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA LISTA DE EXERCÍCIOS INTERVALOS DE CONFIANÇA 1 Em uma amostra aleatória de 5 microondas o custo médio do reparo foi de R 7500 com desviopadrão de R 1500 Construa um intervalo de 99 de confiança para o custo médio dos microondas O que você pode concluir 2 Você é auxiliar em uma campanha política e deseja estimar com 95 de confiança a proporção de eleitores registrados que votará em sua candidata Qual o número de eleitores necessários para estimar a proporção populacional com um erro de 3 3 Uma análise de 1907 mortes no trânsito determinou que 725 delas estavam relacionadas com pessoas alcoolizadas Construa um intervalo de 95 de confiança para a proporção de mortes no trânsito envolvendo álcool Quantos acidentes de trânsito deveriam ser analisados para se cometer um erro de 2 4 Como parte de um levantamento sobre a qualidade da água você testa a pureza da água em 30 córregos selecionados ao acaso obtendose um desvio padrão de 15 grauslitro Construa um intervalo de 99 de confiança para a variância populacional 5 Os resíduos industriais jogados nos rios muitas vezes absorvem o oxigênio necessário para a respiração dos peixes e de outras formas de vida aquática Uma lei estadual exige que o valor médio não inferior a 5 ppm de oxigênio dissolvido cujo conteúdo seja suficiente para manter a vida aquática Seis amostras de águas retiradas de um rio receberam os rótulos 47 ppm de oxigênio dissolvido 50 ppm 51 ppm 55 ppm 49 ppm e 50 ppm Construa um intervalo de confiança para a verdadeira média de oxigênio dissolvido em ppm com 95 de confiança para os resultados obtidos verificando se a lei estadual está sendo cumprida 6 Um agrônomo afirma que a produtividade média do feijão da safra de lavouras de agricultores da região de Dourados de 2006 é de 900 kgha Para investigar a veracidade dessa afirmação foi selecionada uma amostra de 16 lavouras da região obtendose os seguintes valores de produtividade de feijão em kgha Construir um intervalo de 95 de confiança para a verdadeira proporção de tilápias ao povoamento total de peixes existentes neste lago Interprete o resultado O responsável pelo lago afirma que a proporção de tilápias existentes é de 30 avalie a afirmação com base no resultado obtido no item a 8 Fezse um estudo para estimar o custo hospitalar de vítimas de acidentes de trânsito que usavam cinto de segurança Para 20 casos selecionados aleatoriamente obtevese uma média de R900000 e desvio padrão de R560000 Construa um intervalo de 95 de confiança para o custo médio hospitalar de vítimas de acidentes de trânsito que usavam cinto de segurança e interprete o resultado 9 Se quisermos estimar o peso médio de plástico descartado por residências em uma semana quantas residências deveremos selecionar aleatoriamente para 99 de confiança para a média populacional e considerando um erro de 025 Kg 10 Uma indústria fabrica lâmpadas com vida útil distribuída aproximadamente normal com desvio padrão de 40 horas Se uma amostra de 30 lâmpadas tem duração média de 780 horas determine um intervalo de 95 de confiança para a duração média de todas as lâmpadas produzidas pela empresa A empresa afirma que a duração média das lâmpadas fabricadas é igual a 850 horas Esta afirmação está correta EXERCÍCIOS TESTES DE HIPÓTESES 1 Sabese que o consumo mensal de determinado produto tem distribuição Normal com desvio padrão de 2Kg e média desconhecida que se quer estimar O produto da linha de produção de uma fábrica contém naturalmente 8 kg do produto e o peso esperado é de 25 kg Caso contrário constitui alteração da qualidade da produção Um teste foi aplicado para verificar esta hipótese e as operações realizadas 10 simulações para a taxa limite de retorno restando os valores 98 79 94 6 10 8 85 75 25 Teste se o retorno do projeto não é inferior a 25 2 Um fabricante garante que no mínimo 90 dos equipamentos que fornece a uma fábrica estão de acordo com as especificações exigidas do fabricante Para testar a veracidade dessa afirmativa ao nível de 1 de significância 200 equipamentos foram testados e 10 significavam falha Construa o TESTE para verificar a hipótesese adequada utilizando 005 e colha a decisão a ser tomada pela teoria 3 Uma amostra de 27 elementos produtivas tem uma média igual a que 32 e desvio padrão de 25 80 avaliada da população que o desvio padrão do equipamento do reboque 25 a a média da população é maior ou igual a 5 b a variância da população é inferior a 4 4 Uma indústria considera satisfatório se no máximo 8 das necessidades produzidas por sua indústria forem defeituosas uma amostra de 12 defeituosas o industrial pode satisfazerse com a decisão 5 Em indivíduos normais o consumo real de oxigênio tem distribuição normal com média 120 mlmin supõese que um pecista apresente gastao sobto quando está doente em indivíduos normais sobto eixo 13 cm3min Qual a probabilidade de no máximo 2 pessoas com excesso de exercício segundo avistadas pelo menos 1 dessas pessoas 6 Numa pesquisa de opinião eleitoral dentre 80 entrevistados o candidato João obteve 48 votos significando como bem representado do eleitorado o podia o que o nível de 1 de significância João será o vencedor Adminita que o candidato vence a eleição se obter mais que 50 dos votos 7 Podemos concluir com os seguites valores para diversos operários em correção que o tempo médio necessário para realizar essa operação não deve a 120 113 124 115 107 120 126 114 110 116 8 O gerente financeiro de uma empresa acredita que na taxa interna de retorno de um projeto de investimento não é muito atrente pontu está superior a 25 o que diminiu a viabilidade de uma PME sulin silendees de 24 a 25 Para verificar essa po 6 foram realizadas 10 simulações nos riscos com o projeto Ponts verificar estáva 88 75 37 98 7 9 taxa de retorno do projeto não é inferior a 25 9 Um comprador ao receber de um fornecedor um grande lote de peças decidiu inspecionar 200 delas Decidiu também que o lote será rejeitado se for o superior a 5 de significância que a proposta de rejeição do lote de suprior a 4 Qual será sua decisão acatar ou rejeitar o lote se na amostra foram encontradas onze peças defeituosas PROFA ALESSANDRA QUERINO DA SILVA DISCIPLINA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA LISTA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 1 Seja XPx satisfazendo PX0 PX1 qual é EX 2 Suponha que X é binomialmente distribuída com parâmetros n e p Além disso suponha que EX 5 e VarX 4 Encontre os valores de n e p 3 Seja X com distribuição binomial com n 25 e p 02 Calcule PX 4 e PX 1 4 Se X tem uma distribuição normal com µ 25 e p 02 5 A venda média de itens da marca A que um comerciante pode vender em um dia é de 4 itens Calcule a probabilidade de que um comerciante vender no máximo 3 itens em 2 dias 6 Um distribuidor de feijão determina através de um teste que 5 de um grande lote não germinaria Ele preparou no máximo 78 pacotes de 80 grãos qual a porcentagem de no máximo 78 grãos germinarem 7 Se X tem distribuição Normal com média µ 2 e desvio padrão o 02 calcule PX 4X 2 8 Se X tem distribuição Normal com média µ 2 e o2 2 calcule PX 4 2 9 Em uma excursão ao pantanal do Mato Grosso certa ave nem sempre é avistada A medida da duração exclusiva é de o0845 dias Qual é a probabilidade de que em uma excursão sejam avistadas pelo menos 1 dessas aves 10 A nota de um exame final tem aproximadamente distribuição normal com média 72 Sabese que 10 dos alunos receberão nota inferior a 45 e também que 5 dos aprovados são alunos que obtiverão nota superior a 60 Qual a porcentagem de alunos aprovados 11 Suponha que 40 dos empregados horistas de uma grande empresa estejam a favor da representação sindical e que peça uma resposta anônima a uma amostra aleatória de 5 empregados Qual a probabilidade da maioria dos empregados estarem a favor da representação sindical 12 O tempo de vida de transistores produzidos por certa indústria tem distribuição aproximadamente N500 2500 Um comprador exige que pelo menos 95 dos transistores fornecidos tenham vida superior a 400 horas Qual a especificação de atendida 13 Se X bnp sabendose que EX 12 e VarX 3 determinar a n b p c PX 15 14 O número de petroleiros que chegam a uma refinaria por dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson com média igual a 2 As atuais instalações podem atender no máximo a 3 petroleiros por dia Se mais de 3 petroleiros chegam em um dia o transporte de excedentes será feito por outro porto Em um dia qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto 15 Num teste do tipo certo errado com 10 perguntas qual a probabilidade de acertar no mínimo 8 perguntas 16 Os x de candidatos à certa faculdade tem distribuição aproximadamente N10 11 Se a faculdade exige o mínimo de 95 para admissão qual a porcentagem provável de reprovação 17 Um novo remédio tem efeito colateral indesejável em 3 das pessoas que o tomam Se 13 pacientes tomam o remédio qual a probabilidade de no máximo 2 pessoas terem efeito colateral 18 Um processo industrial produz canos com diâmetro médio de 2 e desvio padrão de 001 os canos com diâmetros maiores de 203 a contar da média são considerados defeituosos Supondo que os diâmetros dos canos tenham distribuição normal calcular a porcentagem dos canos que são defeituosos 19 Se X tem distribuição de Poisson com parâmetro X 1 calcule PX 2 calcule PX 2 20 Sabendose que as alturas dos alunos da USP se distribuem normalmente com média 175cm e que 20 dos alunos tem altura inferior a 165cm determine a porcentagem de alunos com altura entre 165cm e 177cm 21 Uma loja vende em média 24 fogões por dia Certo dia ao encerrar o expediente verificouse que existiram 3 fogões em estoque sabese que a nova remessa só chegará depois de 2 dias Qual a probabilidade de no fim dessa 2 dias a loja não ter deixado de atender por falta de estoque as pessoas que vivem comprar fogão Intervalo de confiança 1 Px zα2 sn μ x zα2 sn 1 α P75 4604 155 μ 75 4604 155 099 P4411 μ 10588 099 IC 4411 10588 De acordo com a amostra 99 do custo médio de reparo de microondas está entre R 4411 e R 10588 2 n z²p1pe² 196²0505003² 106711 1068 O mínimo de eleitores necessário será de 1068 eleitores 3 Pp zα2 p1pn p p zα2 p1pn 1 α p 7251907 03804 P03804 196 03810381907 p 03804 196 03810381907 095 P03594 p 04020 095 IC 3594 4020 n 196² 038 10380022 226311 2264 mortes 4 Pn1 s²χ0005 σ² n1 s²χ0995 1 α P191 15²3716 σ² 191 15²6265 099 P1089882 σ² 6464485 099 IC 10899 64645 5 x i1 to 6 Xi 6 2966 493 S² i1 to 6 Xi x² 61 009335 00187 P493 2573 001876 μ 493 2573 001876 095 P479 μ 508 095 IC 479 508 Não está sendo cumprida visto que com 95 de confiança a media de ppm está entre 479 e 508 6 x Xin 8467778 S² Xi x² n 1 92091394 P84678 2306 920914 9 μ 84678 2306 920914 9 095 P78365 μ 9119055 095 IC 78365 91191 De acordo com o IC a afirmação está correta pois com uma confiança de 95 a média populacional está entre 78365 kgha e 91191 kgha 2 a p 2901000 029 P029 196 02910291000 p 029 196 02910291000 095 P02619 p 03181 095 IC 2619 31 23 Com 95 de confiança a proporção de tilápia no lago está entre 2619 a 3123 b A afirmação pode ser verdadeira visto que 30 está no IC para a proporção populacional 8 P9000 2093 5600 raiz50 μ 9000 2093 5600 raiz50 095 P63791494 μ 11620 8506 095 IC 637915 1162085 Com 95 de confiança o gasto médio hospitalar para vítimas de acidentes de trânsito que usaram o cinto de segurança está entre R 637915 e R 1162085 9 n 2576 025² 1061724 107 Deverão ser selecionadas pelo menos 107 residências 10 P 780 2054 40 raiz30 μ 780 2054 40 raiz30 096 P7649997 μ 7950003 096 IC 765 795 Provavelmente essa afirmação não está correta pois com 96 de confiança o 350 horas não está no IC para a média populacional Testes de Hipóteses 1 H0 μ 8kg H1 μ 8kg x 72 kg n 25 σ 2 kg Zcalc 72 8 2 raiz25 2 95 RN Rejeita H0 Como Zcalc está na Região crítica então com 5 de significância rejeitase H0 logo a fábrica poderá tirar o produto de linha 2 H0 p 09 H1 p 09 p 25200 0125 equio defeituoso p 1 0125 0875 equipo de acordo c especificações Zcalc 0875 09 raiz 091109 200 118 99 RN Rejeita H0 Com 5 de significância não há evidências suficientes para rejeitar H0 logo a afirmação do fabricante é falsa 3 a H0 μ 15 H1 μ 15 Zcalc 32 15 212 raiz27 417 95 RN Rejeita H0 Com 5 de significância rejeitase H0 logo a média populacional é diferente de 15 b Ho μ 5 Hi μ 5 Zcalc 32 5 441 212 27 95 ZC R N R H o 441 1706 Com 5 de significância rejeitase Ho logo a média populacional é menor que 5 4 Ho p 008 Hi p 008 006 12 200 Zcalc 006 008 104 008 1 008 200 95 R R N R H o 165 104 Com 5 de significância não há evidências suficientes para rejeitar Ho sendo assim a indústria não apresenta um resultado satisfatório 5 Ho μ 12 cm³min Hi μ 12 cm³min Zcalc 13 12 385 13 25 R N R Ho 1 RC 165 385 Com 5 de significância rejeitase Ho ou seja em um indivíduo com insuficiência cardíaca o consumo renal médio é significativamente maior do que em indivíduo normal 6 Ho p 05 Hi p 05 06 48 80 Zcalc 06 05 179 05 1 05 80 R N R Ho 99 1 RC 179 258 Com 5 de significância não rejeitase Ho logo não há evidências que João vencerá as eleições 7 Ho μ 120 Hi μ 120 1161111 9 S² Xi ² 38864 9 1 Zcalc 1161111 120 187 38864 9 99 R N R Ho 𝟏 RC 187 2896 Com 5 de significância não rejeita Ho logo podemos concluir que o tempo médio não ultrapassa 120 segundos 8 Ho σ² 25 Hi σ² 25 S² 002782 75 X²calc 10 1 002782 01 25 90 RC R N R Ho 05 4168 Com 10 de significância rejeitase Ho logo podemos concluir que a variância da TR é menor que 25 9 H0p004 p 112000055 H1 p004 zcalc 0055004 0041004200 108 95 5 108 165 Com 5 de significância não rejeita H0 logo o lote será aceito Distribuições de Probabilidade 1 XPoisson2 EX2 PX0PX1 e2 20 e2 21 0 1 e22e2 λ1 Logo a EX1 2 XBinomialpp EX np5 Varxnp1p4 I np 5 II np1p4 II np1p4 I np5 subst np5 subst p15 51p4 55p4 n1 5 5p1 5 p1 n 25 p02 3 XBinomial2502 Exnp25025 σVARX250208242 PX Ex2σ PX 522 PX 1 PX0PX1 25 0 0200825 25 1 0210824 0003800236 00274 274 4 XPoisson2 EX2 PX012 Ex06931 e2λ0 0 12 e2 12 λ06931 5 14 2x x8 itens em 2 dias XPoisson8 PX 3PX0PX1PX2PX3 e8800 e8811 e8822 e8833 e81832853333 e8 1263333 00424 424 6 XBinomial80095 PX 78 1PX 78 1 PX79PX80 1 80 79095790051 80 80095800050 PX 78 1 00695 00165 1 00861 09139 9139 Px3 2 P4 z 05 P0 z 4 P0 z 05 049997 019146 069143 6914 11 Pp 05 Pz 05 04 041 041 5 Pz 046 05 P0 z 046 05 017724 032276 3228 c PX 15 1 PX 15 1 PX 16 1 1616 07516 0250 1 001 099 99 14 PX 3 1 PX 3 1 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 1 e2 200 e2 211 e2 222 e2 233 1 e2 1 2 2 13333 1 08571 01429 1429 A probabilidade de enviar petroleiro a outro porto é de 1429 15 PX 8 PX 8 PX 9 PX 10 108 058 052 109 059 051 1010 0510 050 00439 00098 00010 00547 547 A prob do aluno acertar no mínimo 8 perguntas ao acaso é de 547 16 P93 Qt 96 Pz 95 110sqrt 11 Pz 452 05 P0 z 452 05 0 0 A porcentagem percentual de reprovação é de 0 17 PX 2 PX 0 PX 1 PX 2 130 0050 09513 131 0051 09512 132 0052 09511 05133 03612 01109 09755 9755 A prob de no máximo 2 pessoas terem defeitos câo iteras é de 9755 18 Pμ 003 x 7 x μ 003 x 7 P197 z 2203 P197 z 2203 P3273 z 3 2 095 P0 z 3 2 095 049865 0027 27 PX 165 020 165 175σ 084 σ 118765 P168 X 177 P1681751188 z 1771751188 P058 z 017 021904 006749 028653 2865 λ22448 jogos p 2 dias PX 3 PX0 PX1 PX2 PX3 e48 480 0 e48 481 1 e48 482 2 e48 483 3 e48 1 48 1152 18432 02942 2942 A prob da loja atender os clientes é de 2942