Exercicios Resolvidos Estatistica Inferencial Intervalo Confianca Teste Hipoteses

1 Um provedor de acesso à internet deseja implantar um plano sem limite de horas Para isso verificou numa amostra de n 25 usuários os tempos de utilização mensal obtendo média amostral de 268 horas Sabendo σ² 625 horas² a Encontre um intervalo de confiança a 90 para a média b De quanto deve ser aumentado o tamanho da amostra para que mantidas as demais medidas o comprimento do intervalo caia pela metade 2 10 corpos de provas foram submetidos a um teste de corrosão onde foram submersos em água salgada durante 60 segundosdia A corrosão foi medida pela perda de peso em miligramasdezimetro quadradodia MDD Admita que os dados sejam normalmente distribuídos Os dados obtidos foram 1301 1242 1220 1108 1131 1039 1015 923 914 837 a Encontre uma estimativa intervalar para a média a 99 de confiança para MDD b Um pesquisador afirma que o desvio padrão populacional não é superior a 7 Teste essa hipótese a 10 de significância 3 Um pesquisador deseja estimar a proporção de ratos nos quais se desenvolve um certo tipo de tumor quando submetidos à radiação Ele deseja que sua estimativa não se desvie da proporção verdadeira por mais de 002 com uma probabilidade de pelo menos 90 nível de confiança a Quantos animais ele precisa examinar para satisfazer essa exigência b Como seria possível diminuir o tamanho da amostra utilizando a informação adicional de que em geral esse tipo de radiação não afeta mais que 20 dos ratos 4 O peso médio e a variância em quilogramas de peças produzidas por uma empresa é 12 kg e 22 kg² como afirma um representante da marca da ração referida Contudo é preciso testar para saber se os parâmetros de um lote recebido são realmente os valores apontados pelo vendedor Para tanto foram selecionas aleatoriamente 8 peças do lote Os valores estão abaixo 104 1132 1202 1300 101 1087 1289 1195 Admita que esses dados sigam distribuição normal Teste as afirmações feitas pelo representante da marca de ração referida ao nível de 5 de significância 5 Para inspecionar um lote de peças entregues a uma certa fabrica o auditor selecionou 200 peças aleatoriamente e encontrou 185 peças perfeitas O fornecedor diz que a proporção de peças defeituosas no lote não é superior a 006 Teste a afirmação do fornecedor ao nível de 1 de significância Dados n25 x268 σ ²625 a Como conhecemos a variância populacional utilizamos a distribuição normal z ICμ9026 81645 625 25 ICμ90259775horas276225horas b Temos que o comprimento do IC é 2 Margem de Erro Para que o comprimento do IC caia pela metade a margem de erro deve cair pela metade assim 1645 625 n 1645 625 25 2 625 n 625 25 2² n4625 25 625 n425100 Assim a nova amostra deveria de 100 indivíduos o que representa um acréscimo de 75 indivíduos em relação à amostra atual que tem tamanho 25 Dados x1301837 10 1073 10 1073 s²13011073²8371073² 101 21474 9 2386 a Como a amostra é pequena e não conhecemos o a variância populacional usamos a distribuição tStudent ICμ99107 33250 2386 10 ICμ99914248 MDD1231752 MDD b Hipóteses H 0σ ²7² H 1 σ ²7² Estatística de teste χ ²calc1012386 7² 4382 χ ²9 Região crítica α 10 χ ²crit14 68 Conclusão Como χ ²calc não pertence à região de rejeição da hipótese nula região colorida no gráfico não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 10 Não evidências de que a variância seja superior a 49 MDD² ou ainda não há evidências de que o desvio padrão seja superior a 7 MDD a Considerando que não foi utilizada nenhuma amostra piloto consideramos o caso conservador com p 50 n1645²0501050 002² 169127 Logo a amostra deverá ter 1692 elementos b Fazendo essa consideração mudamos a proporção esperada e não utilizamos mais o caso conservador este leva ao maior tamanho possível da amostra Teríamos assim n1645²0201020 002² 108241 Neste caso a amostra deverá ter 1083 elementos Dados x10401195 8 9255 8 115688 s²1040115688²1040115688² 81 82165 7 11738 Teste para variância Hipóteses H 0σ ²22kg ² H 1 σ ²22kg² Estatística de teste χ ²calc8111738 22 373 χ ²4 Região crítica α 5 χ ²crit1169 χ ²crit 21601 Conclusão Como χ ²calc não pertence à região de rejeição da hipótese nula região colorida no gráfico não se rejeita H 0 ao nível de significância de 5 Não há evidências de que a variância difira de 22 kg² Teste para médias Como o teste de variância não rejeitou a afirmação do representante da marca de ração podemos considerar que a variância populacional seja conhecida σ² 22 kg² e então utilizarmos a distribuição normal z Hipóteses H 0 μ12kg H 1 μ12k g Estatística de teste zcalc11568812 22 8 082 N01 Região crítica α 5 Zcrit196 Conclusão Como zcalc não pertence à região de rejeição da hipótese nula região colorida no gráfico não se rejeita H 0 ao nível de significância de 5 Não há evidências de que a média difira de 12 kg Por fim concluise que as alegações do representante da marca de rações são verdadeiras Dados x185 n200 p20018520000750 Hipóteses H 0 p006 H 1 p006 Estatística de teste zcalc 00750006 0061006 200 089 N01 Região crítica α 1 Zcrit258 Conclusão Como zcalc não pertence à região de rejeição da hipótese nula região colorida no gráfico não se rejeita H 0 ao nível de significância de 1 Não há evidências de que a proporção seja superior a 6 O fornecedor está correto Dados n 25 x 268 𝜎² 625 a Como conhecemos a variância populacional utilizamos a distribuição normal z IC𝜇 90 268 1645 625 25 IC𝜇 90 259775 horas 276225 horas b Temos que o comprimento do IC é 2 Margem de Erro Para que o comprimento do IC caia pela metade a margem de erro deve cair pela metade assim 1645 625 n 1645 625 25 2 625 n 625 25 2² n 4 625 25 625 n 4 25 100 Assim a nova amostra deveria de 100 indivíduos o que representa um acréscimo de 75 indivíduos em relação à amostra atual que tem tamanho 25 Dados x 1301 837 10 1073 10 1073 s² 13011073² 8371073² 101 21474 9 2386 a Como a amostra é pequena e não conhecemos o a variância populacional usamos a distribuição tStudent IC𝜇 99 1073 3250 2386 10 IC𝜇 99 914248 MDD 1231752 MDD b Hipóteses H0 𝜎² 7² H1 𝜎² 7² Estatística de teste 𝜒²calc 101 2386 7² 4382 𝜒²9 Região crítica α 10 𝜒²crit 1468 Conclusão Como 𝜒²calc não pertence à região de rejeição da hipótese nula região colorida no gráfico não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 10 Não evidências de que a variância seja superior a 49 MDD² ou ainda não há evidências de que o desvio padrão seja superior a 7 MDD a Considerando que não foi utilizada nenhuma amostra piloto consideramos o caso conservador com p 50 n 1645² 050 1 050 002² 169127 Logo a amostra deverá ter 1692 elementos b Fazendo essa consideração mudamos a proporção esperada e não utilizamos mais o caso conservador este leva ao maior tamanho possível da amostra Teríamos assim n 1645² 020 1 020 002² 108241 Neste caso a amostra deverá ter 1083 elementos Dados x 1040 1195 8 9255 8 115688 s² 1040 115688² 1040 115688² 8 1 82165 7 11738 Teste para variância Hipóteses H0 σ² 22 kg² H1 σ² 22 kg² Estatística de teste χ²calc 8 1 11738 22 373 χ²4 Região crítica α 5 𝜒²crit1 169 𝜒²crit2 1601 Conclusão Como 𝜒²calc não pertence à região de rejeição da hipótese nula região colorida no gráfico não se rejeita H0 ao nível de significância de 5 Não há evidências de que a variância difira de 22 kg² Teste para médias Como o teste de variância não rejeitou a afirmação do representante da marca de ração podemos considerar que a variância populacional seja conhecida σ² 22 kg² e então utilizarmos a distribuição normal z Hipóteses H0μ 12 kg H1 μ 12 kg Estatística de teste zcalc 11568812 22 8 082 N01 Região crítica α 5 Zcrit 196 Conclusão Como zcalc não pertence à região de rejeição da hipótese nula região colorida no gráfico não se rejeita H0 ao nível de significância de 5 Não há evidências de que a média difira de 12 kg Por fim concluise que as alegações do representante da marca de rações são verdadeiras Dados x 185 n 200 p 200185200 00750 Hipóteses H0 p 006 H1 p 006 Estatística de teste zcalc 00750006 006 1006 200 089 N01 Região crítica α 1 Zcrit 258 Conclusão Como zcalc não pertence à região de rejeição da hipótese nula região colorida no gráfico não se rejeita H0 ao nível de significância de 1 Não há evidências de que a proporção seja superior a 6 O fornecedor está correto