Series de Potencias-Teoremas-Taylor-Maclaurin-Engenharia

Métodos Matemáticos para Engenharia UFGD Aula 4 Séries de Potências Tópicos Séries de Potências 1 Introdução 2 Teoremas 3 Séries de Taylor e de Maclaurin 4 Exemplos As séries de potências são importantes para a aproximação e representação de funções Nesta aula duas séries importantes serão apresentadas as Séries de Maclaurin e Taylor que expressam uma função em termos de suas derivadas em torno de um ponto Para melhor compreensão das séries de potências o conhecimento do cálculo deferencial e integral de funções polinomiais trigonométricas exponenciais e logarítmicas é indispensável 1 Introdução Uma série de potência em xa é uma série da forma c0 c1xa c2xa2 c3xa3 cnxan cuja notação é n0 cn xan sendo a um número real cn n012n coeficientes da série e x uma variável real Quando a0 n0 cn xn Quando as séries infinitas de termos constantes foram abordadas Aula 3 o principal interesse era descobrir se a série era convergente ou divergente Nesta aula com as séries de potências a pergunta que surge é Para quais valores de x a série converge Para cada valor de x para o qual a série converge ela representa um número que é a sua soma Assim uma série de potências define uma função A função f fx n0 cn xn tem como domínio todos os valores de x para os quais a série de potência converge Para estabelecer uma base sólida de séries de potências três teoremas serão apresentadas o primeiro para tratar da convergência o segundo e o terceiro para tratar da derivação e integração respectivamente A demonstração destes teoremas fica a critério dos leitores 2 Teoremas Teorema 1 Seja n0 cn xn uma série de potências Então uma e somente uma das afirmações seguintes é válida i A série converge somente para x0 ii A série converge para todos os valores de x iii Existe um número R0 tal que a série é convergente para todos os valores de x para os quais xR e é divergente para todos os quais xR O número R é chamado raio de convergência da série Teorema 2 Seja n0 cn xn uma série de potências cujo raio de convergência é R0 Então se f for uma função definida por fx n0 cn xn a função fx existirá para todo x no intervalo aberto RR sendo dada por fx n0 n cn xn1 Teorema 3 Seja n0 cn xn uma série de potências cujo raio de convergência é R0 Então se f for uma função definida por fx n0 cn xn a função f será integrável em todo subintervalo fechado de R RR e a integral de f é calculada integrando termo a termo a série de potências dada isto é se x está em RR então 0x ft dt n0 cn xn1n1 Além disso o raio de convergência da série resultante é R 3 Séries de Taylor e de Maclaurin Seja f a função definida por fx n0 cn xn c0 c1 x c2 x2 c3 x3 c4 x4 cn xn com raio de convergência R0 e com derivadas de todas as ordens em RR A função f é infinitamente derivável em RR Sucessivas derivações da função 6 resultam em fx c1 2 c2 x 3 c3 x2 4 c4 x3 n cn xn1 fx 2 c2 23 c3 x 34 c4 x2 45 c5 x3 nn1 cn xn2 fx 23 c3 234 c4 x 345 c5 x2 nn1n2 cn xn3 fivx 234 c4 2345 c5 x nn1n2n3 cn xn4 e assim por diante Se x0 em na equação 6 então f0 c0 Se x0 em na equação 7 então f0 c1 Se x0 em na equação 8 então f0 2 c2 ou c2 f02 Fazendo x0 na equação 9 resulta em f0 23 c3 ou c3 f03 De maneira semelhante se x0 na equação 10 então c4 fiv04 Assim generalizando para n0 cn fn0 n Substituindo os coeficientes ci i012n obtidos nas equações 11 a 18 na equação 6 a função f se reescreve como fx n0 fn0n xn f0 f0x f0x22 f0x33 fn0xnn Em um sentido mais geral considerando a função f como uma série de potências em x a isto é fx n0 cnxan c0 c1xa c2xa2 c3xa3 c4xa4 cnxan 20 Se o raio de convergência dessa série for R então f será infinitamente derivável em aR aR Sucessivas derivações da função 20 resultam em fx c1 2c2xa 3c3xa2 4c4xa3 ncnxan1 21 fx 2c2 23c3xa 34c4xa2 nn1cnxan2 22 fx 23c3 234c4xa nn1n2cnxan3 23 assim por diante Tomando x a nas representações de f em séries de potências bem como nas suas derivadas resulta em c0 fa c1 fa c2 fa2 c3 fa3 24 e generalizando cn fnan 25 Substituindo as equações 24 e 25 na equação 20 podese escrever a série de potências de f em x a como fx n0 cnxan fa faxa faxa22 faxa33 fnaxann 26 A série representada pela equação 26 é chamada de série de Taylor de f em a O caso especial quando a 0 isto é a equação 19 é chamada de série de Maclaurin 4 Exemplos 1 Discuta a convergência da série abaixo n1 1n1 2n xnn 3n Fazendo uso do critério da razão discutido na Aula 3 limn an1an limn 2n1 xn1 n 3n12n xn n1 3n limn 2n 2 1 xn x 1 n 3n2n xn n1 3n 1 limn 23 x nn1 23 x pois limn nn1 1 Assim com limite igual a 23 x três possibilidades podem ocorrer 23 x 1 Neste caso a série será convergente para x 32 23 x 1 Neste caso a série será divergente para x 32 23 x 1 Neste caso se x 32 o critério da raiz nada revela 2 Ache os valores de x para os quais a seguinte série de potências é convergente n0 xnn Aplicando novamente o critério da raiz limn an1an limn xn1 nxn n1 limn xn x 1 nxn n1 n limn xn1 0 Como o limite é menor que 1 a série é convergente para todos os valores de x 3 Determine o intervalo de convergência da série de potência n0 nx2n Fazendo uso do critério da razão limn an1an limn n1x2n1nx2n limn n1x2n x21nx2n limn n1x2n x2 Para que a série convirja o resultado do limite deve ser menor que 1 assim x2 1 tirando o módulo 1 x2 1 1 2 x2 2 1 2 1 x 3 Assim a série será convergente para qualquer x no intervalo aberto 1 3 4 Considere a série estudada no exemplo 2 n0 xnn 1 x x22 x33 x44 xnn Esta série é convergente para todos os valores de x Assim seja fx representada por esta série ou seja fx n0 xnn O domínio de f será o conjunto de todos os números reais O intervalo de convergência será Derivando a função f conforme o Teorema 2 fx n1 n xn1n como nn 1n1 logo fx n1 n xn1n n1 xn1n1 n0 xnn Desta igualdade fx fx fx fnx ou seja as derivadas desta série são todas iguais a própria série A função cujas derivadas são iguais é a função exponencial natural ex Assim fx ex n0 xnn 27 A equação 27 é a série de Maclaurin para a função fx ex Fica como exercício obter a série através da equação 19 5 Ache uma representação para a série de potências para ex e calcule e1 Fazendo uso da equação 27 ex x00 x11 x22 x33 x44 x55 x66 xnn 1 x x²2 x³3 x⁴4 x⁵5 x⁶6 1ⁿxⁿn Logo eˣ Σ n0 to 1ⁿxⁿn e¹ 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 110 1 1 12 16 124 1120 1720 15040 140320 1362880 13628800 036788 6 Calcule a série de Maclaurin para senx Seja fx senx então f0 0 Derivando sucessivamente fx e fazendo x 0 para cada derivada fx cosx então f0 1 fx senx então f0 0 fx cosx então f0 1 fivx senx então fiv0 0 fvx cosx então fv0 0 e assim por diante Substituindo os valores das derivadas sucessivas em x 0 na equação 19 fx x x³3 x⁵5 x⁷7 x⁹9 x¹¹11 Observando a equação acima os valores oscilam entre positivos e negativos desta maneira multiplicando a série por 1 elevado a potências pares e ímpares fx x1⁰ 1¹ x³3 1² x⁵5 1³ x⁷7 1⁴ x⁹9 1⁵ x¹¹11 assim generalizando a equação acima a série de Maclaurin para senx é senx Σ n0 to 1ⁿ x2n1 2n 1