Sequências e Séries Numéricas para Engenharia - Métodos Matemáticos UFGD

Métodos Matemáticos para Engenharia UFGD Aula 3 Sequências e Séries Tópicos Sequências e Séries 1 Sequências Numéricas 2 Séries Numéricas 3 Critérios de Convergência 4 Exemplos Séries de modo geral são adições de quantidades infinitas uma após a outra em uma dada quantia inicial Séries de Maclaurin Taylor e Fourier são importantes para representação de funções Nesta aula será apresentada a definição de série e critérios de convergência assim como exemplos para melhor compreensão dos assuntos abordados 1 Sequências Numéricas Uma sequência de números reais é uma função que associa a cada número natural n n N N 1 2 3 um número real an an R O número an representa o termo geral da sequência e através da expressão matemática an todos os termos da sequência podem ser determinados A sequência de Fibonacci e as progressões aritméticas e geométricas são exemplos de sequências numéricas 2 Séries Numéricas Seja an n q e q um número real fixo uma sequência numérica de termo geral Sn ₙq an n q 1 denominase série numérica associada à sequência an O limite da série quando existe finito ou infinito denominase soma da série e é indicado por ₖq ak Assim lim ₙ ₙqⁿ ak ₙq ak 2 Se a soma da equação 2 for finita a séria é convergente Se a soma for infinita ou ou se o limite não existir a série é divergente Uma condição necessária mas não suficiente para que uma série seja convergente é apresentada pelo seguinte teorema Teorema Se ₖ0 ak for convergente então lim ₖ ak 0 Demonstração Seja Sn ₖ0 ak Sabendo que ₖ0 ak é convergente existe um número real s tal que lim ₙ Sn S Temse também lim ₙ Sn1 S Como an Sn Sn1 resulta lim ₙ an lim ₙ Sn Sn1 lim ₙ Sn Sn1 S S 0 Portanto ₖ0 ak converge quando lim ₙ ak 0 Com base no teorema anterior podese estabelecer um critério para a divergência de séries Seja a série ₖ0 ak Se lim ₙ ak 0 ou se lim ₙ ak não existir então a série é divergente Se a série satisfazer o teorema anterior temse uma possibilidade da série convergir porém não há nenhuma garantia de convergência Para determinar se uma série converge ou diverge dois critérios são apresentados 3 Critérios de Convergência Critério da razão Seja a série ₖ0 ak ak 0 para todo k q sendo q um natural fixo Suponhamos que lim ₖ ak1ak exista finito ou infinito ou seja lim ₖ ak1ak L Então i Se L 1 a série ₖ0 ak é convergente ii Se L 1 ou L a série ₖ0 ak é divergente iii Se L 1 o critério nada revela Critério da raiz Seja a série ₖ0 ak com ak 0 para todo k q sendo q um natural fixo Suponhamos que lim ₖ kak exista finito ou infinito Seja lim ₖ kak L Então i Se L 1 a série ₖ0 ak é convergente ii Se L 1 a série ₖ0 ak é divergente iii Se L 1 o critério nada revela 4 Exemplos 1 Verifique a convergência da série ₖ1 k²k² 3 O termo geral da série é ak k²k² 3 assim lim ₖ k²k² 3 lim ₖ k²k²11 3k² lim ₖ 11 3k² 1 Como o limite do termo geral da série é diferente de zero a série ₖ1 k²k² 3 é divergente 2 Verifique a convergência da série ₖ1 2ᵏk Como ak 2ᵏk temse ak1ak 2ᵏ¹k1k2ᵏ 2ᵏ¹k2ᵏk 1 2k²1k2ᵏk 1k 2k 1 Segue que lim ₖ ak1ak lim ₖ 2k 1 0 1 Logo pelo critério da razão ₖ0 2ᵏk é convergente 3 Verifique a convergência da série ₙ1 1ⁿ¹ n2ⁿ Como an 1ⁿ¹ n2ⁿ então an1 1ⁿ²n12ⁿ¹ e an1an 1ⁿ²n12ⁿ¹ 1ⁿ¹ n2ⁿ¹ i Se L 1 a série ₖ0 ak é convergente ii Se L 1 a série ₖ0 ak é divergente iii Se L 1 o critério nada revela 1n111n12n 1n1n2n21 1n1 2n n1 2n Assim lim n an1 an lim n n1 2n lim n n n 1 1n 2 lim n 1 1n 2 12 Como lim n an1 an 12 1 pelo critério da razão a série Σn1 1n1n 2n é convergente 4 A série Σk0 k3 3k é convergente ou divergente Para este exemplo o critério da raiz pode ser aplicado Assim lim k kk3 3k lim k kk3 k3k lim k k3k 3 13 lim k k3k 1 pois lim k kk3 1 Logo a série é divergente 5 Use o teste da raiz para determinar se a série Σn1 1n 32n1 n2n é convergente ou divergente lim n nan lim n n1n 32n1 n2n lim n 32n1 n2n1n lim n 32n1n 31n n2n1n lim n 32n1n 31n n2n1n lim n 32 31n n2 0 1 Assim a série é convergente