Transformada Inversa de Laplace - Métodos Matemáticos para Engenharia UFGD Aula 7

Métodos Matemáticos para Engenharia UFGD Aula 7 Transformada Inversa de Laplace Tópicos Transformada Inversa de Laplace 1 Definição 2 Expansão em Frações Parciais 3 Exemplos O conhecimento da transformada inversa de Laplace é importante para a solução de equações diferenciais De modo geral não é necessário o cálculo manual desta transformada apenas a manipulação algébrica de funções racionais e o uso de tabelas é suficiente para encontrar as funções inversas de uma dada função em s 1 Definição O processo inverso de obter a função ft da função Fs é chamado de Transformada inversa de Laplace A notação utilizada para a transformada inversa é L1 e a função ft pode ser encontrada através da seguinte integral L1ft ft frac12 pi j intcj inftycj infty Fs est ds 1 com t 0 e c chamada abscissa de convergência uma constante real Obter a transformada inversa via a integral acima pode ser bastante dificultoso assim uma maneira conveniente é através da expansão em frações parciais e com o auxílio das tabelas dos pares de transformadas Expandir em frações parciais uma função polinomial formada pelo quociente de dois polinômios consiste em encontrar uma representação desta mesma função como uma soma de diversas frações mais simples isto é uma soma de frações parciais 2 Expansão em Frações Parciais Considere a função complexa Fs Fs fracBsAs sendo As e Bs dois polinômios em s Na expansão de Fs em frações parciais é importante que a maior potência de s no polinômio As seja maior que a maior potência de s no polinômio Bs A situações em que isso não ocorre e não será abordado nesta aula Se a função Fs for dividida em diversas parcelas Fs F1 s F2 s Fn s e se as transformadas inversas de F1 s F2 s Fn s forem conhecidas então L1Fs L1F1s L1F2s L1Fns f1t f2t fn t ft sendo f1 t f2 t fn t as transformadas inversas de F1 s F2 s Fn s respectivamente e ft a transformada inversa de F s 21 Denominador com raízes distintas Considere a função Fs escrita como o quociente de duas funções Fs fracBsAs fracKs z1s z2 s zms p1s p2 s pn m n sendo p1 p2 pn in z1 z2 zm as raízes dos polinômios As e Bs respectivamente Se As possuir apenas raízes distintas então Fs pode ser expandida em uma soma de frações parciais simples Fs fracBsAs fraca1s p1 fraca2s p2 fracans pn e ak k 1 2 n constantes A função ft é obtida aplicando a transformada inversa de Laplace em cada uma das frações ft L1Fs L1 left fraca1s p1 right L1 left fraca2s p2 right L1 left fracans pn right com o uso das tabelas a transformada inversa pode ser obtida De modo geral para a késima fração parcial L1 left fracaks pk right ak epk t Assim a função ft é dada por ft L1Fs a1 ep1 t a2 ep2 t an epn t t geq 0 22 Denominador com raízes múltiplas Este caso será apresentado como um exemplo 3 Exemplos 1 Encontre a transformada inversa da função Fs fracs 3s 1s 2 Neste caso o polinômio numerador possui como raiz o número z1 3 e p1 1 e p2 2 são as raízes do polinômio denominador Assim as raízes do denominador de Fs são distintas Expandindo Fs em frações parciais Fs fracs 3s 1s 2 fraca1s 1 fraca2s 2 somando as frações do lado direito da equação acima Fs fracs 3s 1s 2 fraca1 s 2 a2 s 1s 1s 2 Fs fracs 3s 1s 2 fraca1 s 2 a1 a2 s a2s 1s 2 Fs fracs 3s 1s 2 fraca1 a2 s 2 a1 a2s 1s 2 na equação acima os dois denominadores são iguais então igualando os numeradores s 3 a1 a2 s a1 a2 reescrevendo a igualdade acima como um sistema linear 1 a1 a2 3 2 a1 a2 resolvendo o sistema de equações acima as constantes são a1 2 e a2 1 Então Fs fracs 3s 1s 2 frac2s 1 frac1s 2 Aplicando a transformada inversa de Laplace a função ft pode ser encontrada ft L1Fs L1 left fracs 3s 1s 2 right L1 left frac2s 1 right L1 left frac1s 2 right A transformada inversa é uma integral deste modo as contantes 2 e 1 podem ser deslocadas para fora ft 2 L1 left frac1s 1 right 1 L1 left frac1s 2 right Com o auxílio da tabelas de transformada de Laplace número 6 a função ft é ft 2 et e2t t geq 0 2 Obtenha a transformada inversa da função abaixo Gs s2s12 Neste caso a raiz do polinômio numerador é z1 2 e as raízes do polinômio denominador são múltiplas isto é p1 1 e p2 1 A expansão Gs em frações parciais é Gs s 2s 12 a1s 12 a2s 1 somando as frações do lado direito da equação acima Gs s 2s 12 a1 a2s 1s 12 Gs s 2s 12 a2s a1 a2s 12 somando as partes que possuem o mesmo expoente no lado direito da equação acima Gs s 2s 12 a2s a1 a2s 12 Igualando os numeradores da duas equações s 2 a2s a1 a2 Deste modo as constantes são a1 1 e a2 1 A função Gs pode ser reescrita como Gs s 2s 12 1s 12 1s 1 Pela tabela dos pares da transformadas números 6 e 7 a função gt inversa de Gs é gt L1Gs L1s 2s 12 L11s 12 L11s 1 gt tet et t 0 Nas tabelas abaixo é apresentada as transformadas de Laplace para diversas funções importantes 5 Figura 1 Principais funcoes e suas transformadas de Laplace 6 Figura 2 Principais funcoes e suas transformadas de Laplace