Séries de Fourier para Engenharia - Funções Pares Ímpares e Aplicações

Metodos Matematicos para Engenharia UFGD Aula 5 Series de Fourier Topicos Series de Fourier 1 Funcoes pares e ımpares 2 Series de Fourier 3 Exem plos A Serie de Fourier representa ou aproxima funcoes periodicas atraves da soma de funcoes trigonometricas Sao importantes na analise e processamento de sinais vibracoes audio imagens etc Para o obtencao da expressao analıtica da serie de Fourier e obrigatorio o conhecimento do calculo integral 1 Funcoes pares e ımpares Para auxiliar no calculo das Series de Fourier os conceitos de funcoes pares e ımpares e a integracao destas funcoes em um intervalo simetrico serao revisados Seja ft uma funcao real A funcao f e dita uma funcao par se ft ft Sao exemplos de funcoes pares as funcoes t2 t4 cost entre outras Para a funcao ft t2 f1 12 1 f1 12 f2 22 4 f2 22 f3 32 9 f3 32 e assim por diante Avaliando a funcao cosseno cosπ 6 3 2 cosπ 6 cosπ 4 2 2 cosπ 4 cosπ 3 1 2 cosπ 3 Ja uma funcao e dita ımpar se ft ft 2 Séries de Fourier Quando estudava problemas de fluxo de calor Joseph Fourier 1768 1830 mostrou que uma função periódica arbitrária pode ser representada por uma série infinita de funções senoidais com frequências harmonicamente relacionadas Para uma função de período T uma série de Fourier pode ser escrita ft a₀2 a₁cosw₀tb₁senw₀ta₂cos2w₀tb₂sen2w₀ta₃cos3w₀tb₃sen3w₀t cuja notação é ft a₀2 Σn1 to an cosnw₀t bn sennw₀t 1 sendo a₀ an bn n 1 2 n os coeficientes da série de Fourier e a frequência angular do primeiro modo w₀ 2πT é a frequência fundamental e os seus múltiplos constantes 2w₀ 3w₀ etc são chamados harmônicos Seja f T T R uma função integrável Os coeficientes de Fourier são definidos por a₀ 1T T to T ft dt 2 an 1T T to T ft cosnw₀t dt 3 bn 1T T to T ft sennw₀t dt 4 A obtenção da série de Fourier de uma função consiste em calcular os três coeficientes acima São exemplos de funções ímpares as funções t t³ t⁵ sent entre outras Para a função ft t³ f1 1³ 1 f1 1³ f2 2³ 8 f2 2³ f3 3³ 27 f3 3³ e assim por diante Já a função seno senπ6 12 senπ6 senπ4 22 senπ4 senπ3 32 senπ3 Além disso o produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares resulta em uma função par Já o produto de uma função par por uma função ímpar resulta em uma função ímpar assim as funções t²cost e tsent são funções pares Por outro lado as funções t⁴sent e t³cost são funções ímpares Uma característica importante das funções pares e ímpares aparece quando estas funções são integradas em intervalos simétricos Por exemplo considere a função ft cost integrada no intervalo simétrico π2 t π2 Assim π2 to π2 cost dt sentπ2 to π2 senπ2 senπ2 como senπ2 senπ2 então π2 to π2 cost dt 2senπ2 2 Observando o gráfico da função cosseno abaixo Figura 1 a área sob a curva do cosseno é o valor calculado pela integral e o gráfico do cosseno é simétrico deste modo quando se calcula a integral da função cosseno ou de qualquer função par em um intervalo simétrico podese calcular a integral da metade do intervalo e multiplicar o resultado por 2 ou seja π2 to π2 cost dt 20 to π2 cost dt Figura 1 Gráfico da função cosseno em um intervalo simétrico De maneira semelhante a integral de uma função impar como ft sent em um intervalo simétrico π2 π2 é π2 to π2 sentdt costπ2 to π2 cosπ2 cosπ2 como cosπ2 cosπ2 então π2 to π2 sentdt cosπ2 cosπ2 0 Observando o gráfico da função seno em um intervalo simétrico Figura 2 a área hachurada é o valor calculado pela integral Para cada intervalo simétrico a área calculada é a mesma porém com sinal trocado e a soma das duas áreas é zero Assim para a função ímpar ft sent em um intervalo simétrico π2 t π2 π2 to π2 sentdt 0 3 Exemplos 1 Determine a série de Fourier da função ft t π t π A função está limitada no intervalo fechado π π deste modo o período da função é este intervalo T π As equações 2 a 4 são usados para calcular os coeficientes Assim a0 1π ππ ftdt 1π ππ tdt 1π t22 ππ 12π π2 π2 12π π2 π2 0 Além disso a função ft t é uma função ímpar integrada no intervalo simétrico então a0 1π ππ ftdt 0 O coeficiente an é an 1π ππ tcosnw0tdt Neste caso uma função ímpar t multiplica uma função par cosnw0t deste modo a função resultante tcosnw0t é uma função ímpar A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero Assim an 1π ππ tcosnw0tdt 0 O coeficiente bn é bn 1π ππ tsennw0tdt Novamente temse uma multiplicação de uma função ímpar t por outra função ímpar sennw0t resultando numa função par tsennw0t A integral de uma função par sobre um intervalo simétrico é bn 1π ππ tsennw0tdt 2π 0π tsennw0tdt Esta integral é calculada usando a integração por partes ou seja 0π tsennw0tdt 1nw0 tcosnw0t0π 0π 1nw0 cosnw0tdt 1nw0 tcosnw0t0π 1nw02 sennw0tdt0π Calculando os dois termos separadamente 1nw0 tcosnw0t0π 1nw0 0cosnw00 πcosnw0π 1nw0 πcosnw0π e 1nw02 sennw0tdt0π 1nw02 sennw00 sennw0π 0 Desse modo bn 2π 1nw0 πcosnw0π 2cosnw0πnw0 Observe que a função cosnw0π oscilara entre 1 e 1 assim cosnw0π 1n n N Assim bn 1n1 2nw0 n 1 Substituindo os valores dos coeficientes calculados a0 an e bn na equação 1 a série de Fourier da função ft t no intervalo π t π é n1 1n1 2nw0 sennw0t 5 2 Determine a série de Fourier para a função ft t2 π t π Calculando o primeiro coeficiente de Fourier equação 2 a0 1π ππ t2 dt 1π t33ππ 13π π3 π3 13π 2π3 2π23 Observe que a função t2 é uma função par integrada em um intervalo simétrico assim a0 1π ππ t2 dt 2π 0π t2 dt 2π23 O coeficiente an é obtido através da equação 3 an 1π ππ t2 cosnw0tdt As funções t2 e cosnw0t são funções pares e o produto destas funções t2 cosnw0t é em uma função par então an 1π ππ t2 cosnw0tdt 2π 0π t2 cosnw0tdt A integral 0π t2 cosnw0tdt pode ser calculada usando a técnica de integração por partes 0π t2 cosnw0t dt t2 sennw0tnw0 0π 2nw0 0π t sennw0t dt Da equação acima t2 sennw0tnw0 0π 0 Verifique e 0π t sennw0tdt 1n1 πnw0 Exemplo 1 Deste modo o coeficiente an é an 2π 2nw0 1n1 πnw0 41nnw02 Já o coeficiente bn bn 1π ππ t2 sennw0tdt 0 pois a função t2 sennw0t é uma função ímpar e o intervalo é simétrico Substituindo os coeficientes a0 an e bn na equação 1 a série de Fourier da função ft t2 no intervalo π π é π2 3 n1 1n 4nw02 cosnw0t